ГЛАВА  9

СТЕРЕОМЕТРИЯ

НАИБОЛЬШИЕ И НАИМЕНЬШИЕ ЗНАЧЕНИЯ

Ответы и решения

240.  Не нарушая общности,   можно считать,   что секущая плоскость   пересекается с ребром куба   СЕ   (рис.   245).  

рис.   245

 Легко   видеть, что в сечении   всегда   получается некоторый параллелограмм AMBN. Площадь S   параллелограмма   может быть найдена по формуле

S = AB•MK,

где через МК обозначен перпендикуляр, опущенный из точки М ребра СЕ на диагональ АВ. Таким образом, площадь S будет наименьшей вместе с длиной отрезка МК. Но среди отрезков, соединяющих точки двух скрещивающихся прямых СЕ и АВ, наименьшую длину имеет общий к ним перпендикуляр. Нетрудно сообразить, что общим перпендикуляром к указанным прямым является отрезок М'О, соединяющий середину ребра СЕ и диагонали АВ. Действительно, /\ AМ'В равнобедренный и поэтому М'О _|_АВ. Так как и /\ СОE равнобедренный, то М'О_|_СE. Таким образом, наименьшую площадь имеет сечение, делящее ребро СЕ пополам; соответствующая площадь

  Эту же   задачу можно решить и иначе, если воспользоваться следующей теоремой: квадрат площади плоского многоугольника равен сумме квадратов площадей его проекций на три взаимно перпендикулярные плоскости. Эта теорема без большого труда доказывается на основании формулы, по которой площадь проекции плоского многоугольника на плоскость равна площади многоугольника, умноженной на косинус угла между плоскостями (см. формулу (1) в решении задачи 165). Считая эту теорему доказанной, обозначим через х длину отрезка СМ (см. рис. 245). Проекции интересующего нас параллелограмма на плоскости ACD, ECDB и BDN изображены в соответствующем порядке на рис. 246, а, б и в.

рис. 246

Площади проекций соответственно равны а², ах, а²—ах, так что в силу упомянутой теоремы    S² = (а²)² + (ax)² + (а² — ax)² = 2а² (x² — ах + а²).     

Представив квадратный трехчлен x² — ах + а² в виде (х —^a/₂)² + ³/₄ а²  , находим, что наименьшее значение S² будет иметь при х = ^a/₂,   а минимум   площади  равен  

______________________________________________

241.   Четырехугольник MNKL, полученный в сечении пирамиды ABCD (рис. 247), есть параллелограмм, так как LK || CD и MN || CD; следовательно, LK|| MN и, аналогично, LM || KN. Если  /  LKN = α, то площадь параллелограмма по известной формуле равна

S = KN • KL sin α.

рис. 247

Так как /  LKN равен углу между скрещивающимися прямыми АВ и CD, то его синус есть величина постоянная для всех рассматриваемых параллельных сечений. Таким образом, площадь сечения зависит    только   от   величины   произведения   KN • KL.   

Обозначим длину отрезка АК через х. Тогда, в силу подобия треугольников, имеем:

Перемножим эти равенства:

Так  как     есть   величина постоянная,     то   из   предыдущей формулы   следует,    что   интересующее   нас   произведение   KN • KL принимает наибольшее значение вместе с произведением (AD—х) х. Рассматривая     это   произведение    как   квадратный    трехчлен     — x² + ADx    и представляя его в виде , убеждаемся в том, что наибольшее его значение достигается при х = ^AD/₂

______________________________________________