|
62. Определим радиус R дуги окружности сегмента.
рис. 55
Периметр его равен сумме длин дуги  и хорды АВ (рис. 55).
Получаем 2/3πR + R√3 = р, откуда
Площадь S сегмента равна площади сектора без площади треугольника ОАВ, так что
______________________________________________
63. Для того чтобы найти стороны АВ и ВС треугольника ABC (рис. 56), достаточно определить EB = BG = x, так как АЕ = AD = 6 см и CG = CD = 8 см.
рис. 56
Для этого сравним два выражения для площади треугольника:
S = rp и S =√р(р — а)(р — b)(р — с) ,
где р есть полупериметр треугольника, т. e.
1/2(ЕА + AD + DC + CG + GB + BE) = 1/2 (28 + 2х) = 14 + х.
Получим уравнение
4(14 + х) = √(14 + х) х • 6 • 8 .
Отсюда х = 7 (см).
Oтв. АВ = 13 см; ВС = 15 см.
______________________________________________
64. Пусть CD : DB = m : n (рис. 57).
рис. 57
Тогда BD : BC = n : (m + n)
Следовательно,  Так как B = 180°—2С,
то  .
Отсюда
______________________________________________
65. Окружность разделится на четыре попарно равные дуги АВ = ВС и CD = DA (рис. 58).
рис. 58
Пусть дуга ВС содержит меньше чем 90° (мы оставляем в стороне простейший случай m : n = 1, когда все дуги содержат по 90°). Найдем центральный угол α = / ВOC, измеряющийся дугой ВС. По условию DE : ЕВ = m : n. Приняв за единицу измерения длин величину DE/m, будем иметь DE = m и ЕВ = п. Значит,
______________________________________________
66. Пусть α (рис. 59) есть угол параллелограмма.
рис. 59
Тогда
h1 = ВМ = АВ • sin α
и
h2 = BN = BC • sin α .
Значит h1 + h2 = (АВ + ВС) sin α = p sin α, откуда 
Если α — острый (или прямой) угол, то 
Тогда тупой (или прямой) угол параллелограмма будет 
Замечание. Задача не иыеет решения, если h1 + h2 > p. Если же h1 + h2 < р, то задача имеет решение (при h1 + h2 = p имеем прямоугольник).
Отв. Один из углов равен  другой 
______________________________________________
67. По условию BD : BE = 40 : 41 (рис. 60).
рис. 60
Примем за единицу длины 1/40 часть BD. Тогда BD = 40, BE = 41. Так как треугольник ABC прямоугольный и BE — медиана прямого угла, то АЕ = ВЕ = 41. Треугольник BDE прямоугольный, поэтому
BЕ = √BЕ2— BD2 = 9.
Следовательно, AD = AE — DE = 32. Из подобия треугольников ABD и ABC находим
АB/ВC = АD/ВD = 32/40 = 4/5
Отв. АB/ВC = 4/5
______________________________________________
68. Так как АО (рис. 61) есть биссектриса угла α = / CAD, то / BAO = α/2 .
рис. 61
Таким же образом получаем / ABO = 1/2(90°— α) = 45°— α/2. Из треугольников AOD и BOD имеем
AD = OD ctg α/2 и DB = OD • ctg (45° — α/2).
Следовательно,
с = АВ = AD + DB = OD [ctg α/2+ ctg (45° — α/2)]
Отсюда находим
 .
Знаменатель можно преобразовать к виду, удобному для логарифмирования:
Замечание. Применив формулу r = S : p (S — площадь треугольника, р — полупериметр), мы получили бы решение в равносильном виде
______________________________________________
69. Обозначим стороны треугольника через а, b и с и пусть a = 7 см, b = 24 см, а с = 25 см. Так как а2 + b2 = с2, то данный треугольник прямоугольный. Следовательно, радиус R описанного круга равен c/2 . Радиус вписанного круга найдем по формуле r = S/p , где S — площадь треугольника, а р — полупериметр.
Отв. R = 12,5 см, r = 3 см.
______________________________________________
70. По условию / BAE = φ (рис. 62).
рис. 62
Следовательно, / BAO1 = φ/2 . Требуется определить R = O1B и r = О2С.
Имеем
R+ r = О1F+FO2 = O1O2 = d
и
R— r = О1B — O2C = О1D
Из прямоугольного треугольника O1DO2, где / O1O2D = / BAO1 = φ/2 находим
O1D = O1O2 • sin φ/2 , т. е. R— r = d sin φ/2.
Из двух полученных уравнений находим
Заменяя sin φ/2 через cos (90° — sin φ/2), можно преобразовать эти выражения.
Отв. R = d cos2(45°— φ/4) , r = d sin2(45°— φ/4)
______________________________________________
71. Из рис. 63 имеем
рис. 63
sin / BAD = DE/AD = MN/AD = 2r/a
По условию MN•DC = Q, т. е. 2ra = Q и, кроме того, πr2 = S. Из этих уравнений можно определить отдельно r и а, но так как нам нужно знать лишь отношение r/a, то лучше разделить почленно второе уравнение на первое. Получим  откуда
______________________________________________
72. Площадь правильного вписанного 2n - угольника равна nR2 sin 180°/n . Площадь правильного описанного n-угольника равна nR2 tg 180°/n
По условию
nR2 (tg 180°/n — sin 180°/n ) = P
Отсюда
где α = 180°/n . Выражение tg α — sin α можно преобразовать так:
tg α — sin α = tg α ( l — cos α) =2 tg α sin2 α/2.
______________________________________________
73. Правильные одноименные многоугольники подобны; поэтому (рис. 64) площади их (S1—площадь вписанного многоугольника, S2— площадь описанного) относятся как квадраты радиусов
S1 : S2 = OD2 : OA2.
рис. 64
Но из треугольника OAD имеем
OD/OA= cos / DOA = cos 180°/n
Отв. S1 : S2 = cos2 180°/n.
______________________________________________
74. Пусть АВ = а (рис. 65) есть сторона правильного n-угольника.
рис. 65
Тогда
/ BON = α = 180°/n , a / NAM = α/2 = 90°/n
(как вписанный, опирающийся на дугу α). Площадь Q кольца равна
Q = π (ОA2 — OM2 ) = π • AM2 = π (α/2 )
Ширину d кольца можно найти из треугольника NAM.
______________________________________________
75. Обозначим искомый радиус через х, так что. (рис. 66) О2А = О2В = х.
рис. 66
Из прямоугольного треугольника O1O2A, где / O1O2A = α/2 и O1O2 = O1B—O2B=R—x имеем O2A = O1O2 sin α/2 , т. e. x = (R — x)sin α/2.
______________________________________________
76. Площадь S1 четырехугольника АВОС (рис. 67) равна 2• 1/2ОВ • AB = R2 ctg α.
рис. 67
Из нее нужно отнять площадь S2 сектора COBD, центральный угол которого равен (180 — 2α)°. Имеем
(α — градусная мера).
Отв. S = S1— S2 = R2 [ctg α — π/2 + πα/180], где α - градусная мера угла или
S = R2 [ctg α — π/2 + α'], где α'— радианная мера угла.
______________________________________________
|