|
|
|
|
|
ГЛАВА 3 КРУГЛЫЕ ТЕЛА Ответы и решения |
|
______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ ______________________________________________ 214. О вычерчивании эллипса (изображения окружносш, лежащей в основании конуса) см в задаче 104.'
рис. 192 Радиус основания R = l sin α (рис. 192) высота конуса Н = l cos α. Объем Полная поверхность Sп. = πR ( l +R ) = πl sin α ( 1 + sin α ). По условию l + H = m; следовательно,.
______________________________________________
рис. 193 Плоскости A1B1 и A2B2 отделили от конуса АСВ, конус A1CB1 и конус А2СВ2, подобные данному конусу. Их объемы (V, V1 и V2) относятся, как кубы высот:
Объем Vcp средней части A1A2B2B1 равен V1— V2. Вычитая из первой пропорции вторую, найдем Vcp
______________________________________________ 216. Из треугольника АОЕ (рис. 194) находим
рис. 194 Из треугольника OBD имеем H = R ctg β,
______________________________________________ 217. По условию OC—OC1= h (рис. 195).
рис. 195 Имеем OC = R ctg β OC1= R ctg α Следовательно,
Искомый объем V равен разности объемов конусов АСВ и AC1B . Следовательно,
______________________________________________ Площадь основания Socн. = πR2 равна Р—S. Деля почленно равенство πR2 = Р — S на равенство πRl = S получаем
Обозначим искомый угол через β; из треугольника OBD (см. рис. 194) имеем
______________________________________________ 219. Из равнобедренного треугольника ADA1 (рис. 196) находим
рис. 196 Если α есть радианная мера угла ADA1, то
До развертывания боковой поверхности отрезок AD был образующей конуса, так что
дуга АВСА1 была окружностью основания, так что
Высота Н конуса равна
______________________________________________ 220. Угол DOM (рис. 197) равен углу φ = / DEO.
Из /\ ODM и /\ ОЕМ находим
______________________________________________ 221. Радиус основания конуса R = a/√2 (рис. 198).
рис. 198 Из /\ АЕF находим
Выражение в скобках можно преобразовать следующим образом:
______________________________________________ 222. Из треугольника AA1C (рис. 199) имеем АС = l cos α.
рис. 199 Из треугольника АА1В находим АВ = 2R = l/cos α, так что АО = R = l/2cos α Значит,
______________________________________________ 223. Из соотношений V = πR2H и R = H ctg α получим
Пусть требуется разделить пополам боковую поверхность.
рис. 200 Так как конусы AВС и А1В1С (рис. 200) подобны, то их боковые поверхности S и S1 относятся, как Н2=ОС2 к H12=O1C2. Следовательно,
Пусть теперь требуется разделите пополам полную поверхность, Тогда πR1l1 = 1/2π(R2+ Rl).
откуда H1 = H cos α/2. Отв. Если пополам делится боковая поверхность, то
если полная, то
______________________________________________ |
где α — радианная мера данного угла.
из /\ АОE находим
; 