ГЛАВА   1

Метрические соотношения между элементами фигур

Группа А

1801.  В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной в 5 см и 12 см. Найти катеты треугольника.

1802.  Найти диагональ  и боковую сторону   равнобочной трапеции  с основаниями  20 см  и   12 см, если   известно, что центр описанной окружности лежит на  большем   основании трапеции.

1803.  В   равнобочной   трапеции   даны   основания а = 21 см, b = 9 см и высота h = 8 см. Найти радиус описанного круга.

1804.  Высота ромба делит его сторону   на отрезки длиной т и п. Определить диагонали ромба.

1805.  В прямоугольный треугольник с катетами а и b вписан квадрат, имеющий с треугольником  общий   прямой угол. Найти периметр квадрата.

1806.  Две окружности радиусов R = 3 см и r = 1 см касаются внешним образом. Найти расстояния от точки касания окружностей до их общих касательных.

1807.  Около окружности с диаметром в 15 см описана равнобочная трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найти основания трапеции.

1808.   В   равнобедренном   треугольнике   с боковой  стороной, равной 4 см,   проведена медиана  боковой стороны. Найти основание треугольника, если длина медианы равна 3 см.

1809.   В   равнобедренном   треугольнике   основание  равно   16, а боковая сторона 10. Определить радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами.

1810.  Основание   равнобедренного треугольника   равно 4√2, а медиана боковой стороны 5. Найти   длины боковых сторон.

1811.   Из точки   А, не   лежащей   на   окружности,   проведены к ней касательная и секущая.  Расстояние  от  точки А до точки касания равно 16 см, а расстояние от точки А до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 32 см. Найти радиус окружности, если секущая удалена от ее центра на 5 см.

1812.  Дан треугольник  со  сторонами   12  см,  15 см и 18 см. Проведена   окружность,   касающаяся   обеих   меньших, сторон и имеющая центр на большей стороне.  Найти отрезки, на которые центр окружности делит большую сторону треугольника.

1813.   Хорда окружности равна 10 см. Через один конец хорды проведена касательная   к  окружности,   а   через другой секущая, параллельная касательной. Определить радиус окружности,   если внутренний отрезок секущей равен 12 см.

1814.   Каждая сторона а правильного треугольника  разделена на четыре равные части. Точки, делящие стороны в отношении 1:3, соединены последовательно и в образовавшийся правильный треугольник вписана окружность.   Найти ее радиус.

1815.   Через концы дуги   окружности,   содержащей 120°, проведены касательные до взаимного пересечения и в фигуру, ограниченную этими касательными  и данной   дугой, вписана окружность. Доказать, что ее длина равна длине   исходной дуги.

1816.   В   правильный   треугольник   вписан   квадрат,   сторона которого равна т. Найти сторону треугольника.

1817.  Дана точка Р, удаленная на 7 см от центра окружности с радиусом в 11 см. Через  эту  точку   проведена хорда, длиною в 18 см.   Каковы   длины   отрезков,   на   которые делится   хорда точкой Р?

1818.   В   равнобедренный   треугольник   с  углом   при вершине в 120° и боковой стороной, равной а, вписана окружность. Найти радиус  окружности.

1819.  Центр вписанной   окружности   делит  высоту  равнобедренного треугольника,  опущенную  на  основание,   на   отрезки в 5 см и 3 см, считая от вершины.   Определить стороны треугольника.

1820.   В  общую часть   двух равных   пересекающихся окружностей вписан ромб с диагоналями 12 см и 6 см. Найти радиусы окружностей.

1821.  Медиана гипотенузы прямоугольного треугольника равна т и делит  прямой  угол в   отношении 1:2. Найти  стороны треугольника.

1822.  Определить острые углы прямоугольного треугольника, если медиана его гипотенузы делит прямой угол в отношении 1 : 2.

1823.  Дан квадрат, две  вершины  которого   лежат на окружности радиуса R, а  две другие  вершины   лежат на касательной к этой окружности. Найти диагональ   квадрата.

1824.  Найти стороны равнобедренного треугольника, если высоты, опущенные  на его   основание   и   боковую сторону,   равны соответственно 5 см и 6 см.

1825.  Общая хорда  двух  окружностей   служит для одной из окружностей стороной вписанного квадрата,   а для другой — стороной правильного вписанного шестиугольника. Найти расстояние между центрами окружностей, если радиус меньшей из них равен r. (Рассмотреть два возможных случая расположения окружностей.)

1826.   Из внешней  точки   проведены   к  окружности  секущая длиною 12 см и касательная,   длина   которой  составляет ²/₃ внутреннего отрезка секущей. Определить длину касательной.

1827.  Каждая из трех равных окружностей радиуса r касается двух других. Найти площадь треугольника, образованного общими внешними касательными к этим окружностям.

1828.  Из точки вне окружности проведены к ней касательная и секущая. Определить длины той и другой линии, если известно, что касательная меньше секущей на 2 см, и что внешний отрезок секущей равен 4¹/₂ см.

1829.  Общая хорда двух  пересекающихся окружностей равна а и служит для   одной   окружности   стороной   правильного  вписанного треугольника, а для другой — стороной вписанного квадрата. Определить   расстояние между  центрами окружностей (рассмотреть два возможных случая).

1830.  На  сторонах  квадрата вне   его построены   правильные треугольники и   их   вершины   последовательно соединены.   Определить отношение периметра полученного таким образом четырехугольника к периметру данного  квадрата.

1831.   В ромб, который делится своей диагональю на два равносторонних треугольника, вписана окружность   радиусом в 2 единицы. Найти сторону ромба.

1832.   В  треугольнике  известны длины двух  сторон  6 см и 3 см. Найти длину третьей стороны, если полусумма высот, опущенных на данные стороны, равна третьей высоте.

1833.   К  окружности,   вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 12 см а высотой 8 см, проведена касательная, параллельная основанию. Найти длину отрезка этой касательной, заключенного между  сторонами треугольника.

1834.   Из  одной точки проведены к окружности две касательные. Длина каждой касательной 12 см, а расстояние между точками касания 14,4 см. Определить радиус окружности.

1835.    Большее  основание трапеции   равно  24 см.   Найти ее меньшее  основание,   зная,   что  расстояние между серединами ее диагоналей равно 4 см.

1836. В прямоугольный треугольник с углом 60° вписан ромб со стороной, равной 6 см так, что угол в 60° у них общий и все вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Найти стороны треугольника.

1837.  Дан правильный треугольник ABC. Точка К делит сторону   АС в отношении 2: 1, а точка М — сторону АВ в отношении 1 :2 (считая в обоих случаях от вершины А). Показать, что длина отрезка КМ равна радиусу окружности, описанной около треугольника ABC.

1838.   Периметр параллелограмма равен 90 см и острый угол содержит 60°. Диагональ параллелограмма делит его тупой угол на части в отношении 1:3. Найти стороны параллелограмма.

1839. Боковые стороны равнобочной трапеции при их продолжении пересекаются под прямым углом. Определить все стороны трапеции, если ее площадь равна 12 см², а высота содержит 2 см.

1840.   Биссектриса  острого  угла  параллелограмма  делит его диагональ  на  отрезки  длиной 3,2 см  и 8,8 см. Найти стороны параллелограмма, если его периметр равен 30 см.

1841.   Один из  углов параллелограмма равен 60° и меньшая диагональ содержит  2√31 см.   Перпендикуляр,   опущенный  из  точки пересечения диагоналей на большую сторону, равен ^√75/₂ см. Найти стороны и большую диагональ параллелограмма.

1842.  Один из углов трапеции равен 30°, а боковые стороны при продолжении  пересекаются  под,  прямым углом. Найти меньшую боковую сторону трапеции, если  ее средняя линия равна 10 см, а одно из оснований 8 см.

1843.   В  окружность с диаметром, равным √12, вписан правильный треугольник.   На  его высоте, как на стороне, построен другой правильный треугольник, в который вписана новая окружность. Найти радиус  этой окружности.

1844.   Из точки М  к  окружности   проведена секущая МАВ, проходящая через центр окружности О, и секущая MCD, внешняя часть которой равна радиусу окружности. Найти угол между секущими, если центральный угол DOB равен 72°.

1845.   Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из  их  центров  под  углами 90° и 60°. Найти радиусы окружностей, если расстояние между их центрами равно    (√3 +1).

1846.   Окружность  касается  большего катета прямоугольного треугольника, проходит через вершину противолежащего острого угла  и  имеет центр  на  гипотенузе треугольника. Каков радиус окружности, если длины катетов 5 и 12?

1847.   Длины параллельных сторон  трапеции равны 25 см и 4 см,  а   длины  непараллельных  сторон   20 см  и   13 см. Найти высоту трапеции.

1848.   В  острый угол,  равный 60°, вписаны две окружности, извне касающиеся друг друга. Радиус меньшей окружности равен r. Найти радиус большей окружности.

1849.  Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 см и 40 см. Найти катеты треугольника.

1850.  Найти радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника,   если   радиус  окружности,   вписанной в этот треугольник, равен 3 см, а меньший катет равен 10 см.

1851.   Три   окружности   разных  радиусов  попарно  касаются друг друга.  Прямые,   соединяющие их центры, образуют прямоугольный треугольник. Найти радиус меньшей окружности, если радиусы большей и средней окружностей  равны соответственно 6 см и 4 см.

1852.  Окружность касается одного из катетов равнобедренного прямоугольного треугольника и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найти радиус окружности, если ее центр лежит  на   гипотенузе  треугольника,   а   катет  треугольника   равен а.

1853.  Доказать, что сумма расстояний от точки, взятой внутри равностороннего треугольника,  до  его сторон равна высоте треугольника.

1854.  Секущая в 6¹/₄ раз  больше своей  внешней части.   Во сколько раз эта секущая больше касательной, проведенной к окружности из той же точки?

1855.   Из точки, удаленной от центра окружности на 8¹/₂ см, проведена секущая так, что она делится окружностью в отношении  3:2,   считая от внешней точки. Найти длину этой секущей, если радиус окружности равен 3¹/₂ см.

1856.   Доказать,   что сумма  расстояний  любой точки, взятой внутри   правильного  многоугольника,   до   всех   его  сторон   есть величина постоянная.

1857.   Диагональ   прямоугольной трапеции   равна ее боковой стороне.   Найти  длину  средней  линии трапеции, если ее высота равна 2, а боковая сторона равна 4.

1858.  Параллелограмм с периметром 44 см разделен диагоналями на четыре треугольника. Разность между периметрами двух смежных из этих треугольников равна 6 см. Определить стороны параллелограмма.

1859.   В  окружности радиуса  r проведена хорда, равная ^r/₂ . Через один конец хорды проведена касательная к окружности, а через другой — секущая, параллельная касательной. Найти расстояние между касательной и секущей.

1860.   Радиусы  вписанной  и  описанной  окружностей  прямоугольного треугольника соответственно равны 2 см и 5 см. Найти катеты треугольника, если расстояние между центрами окружностей равно √5 .

1861.    Перпендикуляр,   опущенный   из   вершины   параллелограмма на его диагональ, делит эту диагональ на отрезки длиной 6 см и 15 см. Разность сторон параллелограмма равна 7 см. Найти стороны параллелограмма и его диагонали.

1862.   В  большем из двух концентрических кругов проведена хорда,  равная 32 см и касающаяся меньшего круга. Определить длину радиуса каждого из кругов, если ширина образовавшегося кольца равна 8 см.

1863.  В треугольник вписан ромб так, что один угол у них общий, а противоположная вершина делит сторону треугольника в отношении 2 : 3. Диагонали ромба равны т и п. Найти стороны треугольника, между которыми лежит общий угол треугольника и ромба.

1864.   Боковая  сторона  равнобедренного  треугольника равна 10 см, основание—12 см. К  окружности, вписанной в треугольник,   проведены касательные, параллельные высоте треугольника и  отсекающие от данного треугольника два малых прямоугольных треугольника. Найти стороны этих треугольников.

1865.    В   равносторонний   треугольник   вписана   окружность. В  отсеченные окружностью  части   углов  треугольника   вписаны малые   окружности.   Найти  сторону  треугольника,  если  радиус малой окружности равен r.

1866.   Один   из  катетов  прямоугольного треугольника  равен 15 см,   а  проекция другого  катета  на гипотенузу равна 16 см. Найти радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

1867.   Внутри  окружности  с радиусом   15 см взята точка М на расстоянии 13 см от центра. Через точку М проведена хорда длиною   18 см.  Каковы  длины  отрезков,   на   которые точка М делит хорду?

1868.   Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону   на  отрезки длиной  8 см  и   10 см.   Найти  все стороны треугольника,   если  центр вписанной окружности делит эту биссектрису в отношении 3:2, считая от вершины угла.

1869.   Радиус  окружности,  описанной  около  прямоугольного треугольника 15 см, а радиус вписанной в него окружности 6 см. Найти стороны треугольника.

1870.   В круговой  сектор с центральным углом в 120° вписан круг. Найти радиус вписанного круга, если радиус данного круга равен R.

ОТВЕТЫ