ГЛАВА   1

Метрические соотношения между элементами фигур

Группа Б

1871.   Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию,   удален  от  концов ее боковой стороны на расстояния 3 см и 9 см. Найти стороны трапеции.

1872.   Две окружности  касаются   внешним  образом.   Их   радиусы относятся, как 3:1, а длина их общей внешней касательной равна 6√3 . Определить периметр фигуры, образованной внешними касательными и внешними частями окружностей.

1873.   Внутри  прямого угла, дана точка М, расстояния которой  от сторон  угла  равны  4 см и  8 см. Прямая, проходящая через точку М, отсекает от прямого угла треугольник с площадью 100 см². Найти катеты треугольника.

1874.   Из  концов отрезка а радиусом, равным этому отрезку, проведены две дуги до их взаимного пересечения. В полученный криволинейный  треугольник  вписана  окружность.   Найти длину ее хорды, соединяющей точки касания дуг с окружностью.

1875. Окружность касается двух смежных сторон квадрата и делит каждую из двух других его сторон на отрезки равные 2 см и 23 см. Найти радиус окружности.

1876.   В   прямоугольной  трапеции  основания  равны   12 см и 30 см,   а  большая  боковая  сторона равна 2√145   см. Середины сторон  трапеции  служат  вершинами  четырехугольника. Определить вид этого четырехугольника и найти длины его сторон.

1877.  В прямоугольный треугольник со сторонами 6, 8 и 10 см вписана окружность. Через центр окружности проведены прямые, параллельные   сторонам   треугольника.   Найти   средние   отрезки сторон  треугольника,   полученные   при   пересечении  прямых  со сторонами.

1878.   Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются  на другом ее основании. Найти все стороны трапеции, если ее высота равна 12 см, а длины биссектрис 15 см и 13 см.

1879.  Основания трапеции равны 4 см и 16 см. Найти радиусы окружностей, вписанной в трапецию и описанной около нее, если известно, что эти окружности существуют.

1880.   В   треугольник   вписан  ромб со стороной  т так, что один угол у них общий, а противоположная вершина ромба лежит на  стороне треугольника и делит эту сторону на отрезки длины р и q. Найти стороны треугольника.

1881.  Дан треугольник ABC со сторонами АВ = 15 см. ВС  = 12 см и  АС = 18 см.  Определить, в каком отношении центр вписанной  окружности  делит биссектрису угла С, считая от его вершины.

1882.  Дан равнобедренный треугольник с основанием, равным а, и   боковой  стороной,   равной  b.   Доказать,  что центр вписанной окружности делит биссектрису угла при основании в отношении ^a+b/_b  , считая от вершины угла.

1883.   Из одной точки окружности проведены две хорды длиной  9 см  и  17 см.   Найти радиус  окружности, если расстояние между серединами данных хорд равно 5 см.

1884.   Из одной точки окружности проведены две хорды длиной   10 см и 12 см.   Найти радиус окружности, если расстояние от середины меньшей хорды до большей хорды равно 4 см.

1885.   В  некоторый  угол   вписана окружность радиуса 5 см. Длина  хорды,   соединяющей точки  касания,   равна 8, см. К окружности проведены две касательные параллельно хорде до пересечения  со сторонами угла. Определить стороны образовавшейся трапеции.

1886.  Какими  целыми   числами  выражаются  стороны равнобедренного   треугольника,   если   радиус   вписанной   окружности равен ³/₂ см, а описанной ²⁵/₈ см.

1887.  В треугольник со сторонами  10 см, 17 см и 21 см вписан прямоугольник с периметром в 24см так, что одна его сторона лежит на  большей  стороне  треугольника.  Найти  стороны прямоугольника.

1888.  Из вершины острого угла ромба опущены два перпендикуляра на продолжения его сторон. Длина каждого перпендикуляра равна 3, а расстояние между их основаниями 3√3  . Найти диагонали ромба.

1889.   Дан треугольник со сторонами 10, 24 и 26. Две меньшие стороны являются касательными к окружности, центр которой лежит на большей стороне. Найти радиус окружности.

1890.  В сектор круга радиуса R с центральным углом в 150° вписан круг. Определить радиус вписанного круга.

1891.   Найти  радиус окружности, описанной около равнобочной трапеции с основаниями 2 и  14 и боковой стороной 10.

1892.   На  большем  катете прямоугольного треугольника, как на   диаметре,   построена   окружность.   Определить   радиус   этой окружности,   если   меньший   катет   треугольника   равен   7,5  см, а  длина   хорды,   соединяющей   вершину   прямого  угла с  точкой пересечения гипотенузы и окружности, равна 6 см.

1893.   Вершины   прямоугольника,   вписанного   в  окружность, делят ее  на   четыре дуги. Найти расстояния от середины одной из  больших  дуг  до  вершин   прямоугольника,   если стороны его равны  24 см и 7 см.

1894.   Центр   полуокружности,   вписанной   в   прямоугольный треугольник так, что ее диаметр лежит на гипотенузе, делит гипотенузу   на отрезки 30 и 40.  Найти длину дуги полуокружности, заключенной между точками ее касания с катетами.

1895.   Около   круга   радиуса   3  описан  равнобедренный треугольник с острым углом при основании в 30°. Определить стороны треугольника.

1896.   В прямоугольном треугольнике медианы катетов равны √52  и √73 . Найти гипотенузу треугольника.

1897.   Две окружности,   радиусы   которых   4 и   8,  пересекаются под прямым углом. Определить длину их общей   касательной.

1898.   Каким   необходимым   и   достаточным   условиям должна удовлетворять трапеция, чтобы в нее можно было вписать и вокруг нее можно было описать окружность?

1899.   Прямая,   параллельная основаниям трапеции, проходит через точку пересечения ее диагоналей. Найти длину отрезка этой прямой, заключенного между боковыми сторонами трапеции, если основания трапеции равны 4 см и 12 см.

1900.   В  четырехугольник   вписана   окружность. Длины трех последовательных сторон четырехугольника относятся, как 1:2:5, а  его  периметр  равен  60 см. Найти все стороны четырехугольника.

1901.   Показать,   что  сумма  расстояний любой точки, взятой на стороне правильного треугольника до двух других его сторон, есть величина постоянная.

1902.   Две стороны треугольника  равны  соответственно 6 см и 8 см.  Медианы,   опущенные  на   эти стороны, взаимно перпендикулярны. Найти третью сторону треугольника.

1903.  Окружности радиусов R и r касаются друг друга внешним   образом.   Боковые  стороны   равнобедренного   треугольника являются  их общими касательными, а основание касается одной из окружностей. Найти основание треугольника.

1904.   Периметр   прямоугольного  треугольника  равен  60 см. Найти его стороны, если высота, опущенная на гипотенузу,  равна 12 см.

1905.  Дан равнобедренный треугольник с основанием 12 см и боковой  стороной   18 см. Отрезки какой длины нужно отложить от   вершины  треугольника на его боковых сторонах, чтобы, соединив их концы, получить трапецию с периметром, равным 40 см?

1906.   Две окружности   радиусов R и r касаются друг друга внешним образом. Найти угол, образованный хордами, соединяющими точку   касания  окружностей с точками касания их общей внешней касательной.

1907.    В   прямоугольный   треугольник   вписана   окружность. Точка  касания делит гипотенузу  в отношении   2:3. Найти все стороны треугольника, если центр вписанной окружности удален от вершины прямого угла на расстояние √8  см.

1908.  Внутри равностороннего треугольника взята точка М, отстоящая от его сторон на расстояниях b, с, d. Найти высоту этого треугольника.

1909.  Один  конец диаметра полуокружности совпадает с вершиной угла при основании равнобедренного треугольника, а другой лежит на  этом  основании.   Найти   радиус полуокружности, если  она   касается  одной  боковой  стороны  и делит другую на отрезки длиной 5 см и 4 см, считая от основания.

1910.  Каждая сторона правильного треугольника разделена на три равные части и соответственные точки деления, считая в одном направлении, соединены  между собой. В получившийся правильный   треугольник  вписана  окружность   радиуса  r = 6 см. Определить стороны треугольников.

1911.    В   треугольник   вписан   параллелограмм   со  сторонами 3 см  и  5 см  и диагональю,   равной 6 см. Найти стороны треугольника,  если  известно,   что  диагонали   параллелограмма соответственно параллельны боковым сторонам треугольника, а меньшая из его сторон лежит на основании треугольника.

1912.   Высота,  основание  и  сумма  боковых сторон треугольника  равны  соответственно  24 см,  28 см и 56 см. Найти бокoвые стороны.

1913.  В   прямоугольную трапецию  вписана, окружность радиуcа r .  Найти  стороны  трапеции,   если  ее меньшее основание  равно ⁴/₃ r.

1914.   В треугольник   с   боковыми  сторонами  9 см  и   15 см вписан параллелограмм так, что одна из его сторон длиной в 6 см лежит на основании треугольника, а диагонали параллелограмма соответственно параллельны боковым сторонам треугольника. Найти другую сторону параллелограмма и основание треугольника.

1915.   Найти  среднюю линию  равнобочной   трапеции с высотой h ,  если боковая сторона видна из центра  описанной окружности  под углом в 120°.

1916.  Окружность радиуса 13 см касается двух смежных сторон  квадрата  со стороной в 18 см. На какие два отрезка делит окружность каждую из двух других сторон квадрата?

1917.    В   равнобедренном   треугольнике   угол   при  основании содержит 72°, а биссектриса этого угла имеет длину, равную т. Найти длины сторон треугольника.

1918.  В равнобедренном треугольнике угол при вершине содержит 36°,   а  биссектриса угла при основании равна √20 . Найти длины сторон треугольника.

1919.   Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая,   параллельная основаниям.   Найти   длину   этой   прямой, если основания трапеции соответственно равны 6 см и 18 см.

1920.   Большее основание трапеции в два раза больше ее меньшего  основания.   Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Найти отношение высоты каждой из двух образовавшихся трапеций к высоте данной трапеции.

1921.   Найти радиус круга, в сегмент которого, соответствующий хорде длиной в 6 см, вписан квадрат со стороной 2 см.

1922.   Основание равнобедренного треугольника  равно  12 см, а боковая сторона 18 см. На боковые стороны треугольника опущены высоты. Найти длину отрезка прямой между точками пересечения этих высот с боковыми сторонами треугольника.

1923.    В   равнобедренном  треугольнике  с  боковой  стороной, равной b,   проведены биссектрисы углов при основании. Отрезок прямой  между  точками пересечения биссектрис с боковыми сторонами равен т. Определить основание треугольника.

1924.  Основание равнобедренного треугольника равно 8, а боковая сторона 12. Найти длину отрезка, соединяющего точки пересечения  биссектрис  углов  при,основании с боковыми сторонами треугольника.

1925.   Внутри  угла  в 60° расположена  точка, отстоящая на расстояниях √7  см и 2√7  см от сторон угла. Найти расстояние этой точки от вершины угла.

1926.   В треугольник вписана окружность радиуса 3 см. Найти стороны  треугольника, если одна из них разделена точкой касания на части, равные 4 см и 3 см.

1927.   В   угол   вписаны   три   окружности — малая, средняя и большая.   Большая  окружность  проходит  через  центр  средней, а средняя  через  центр  малой окружности. Определить радиусы средней и большей окружностей, если радиус меньшей равен r и расстояние ее центра от вершины угла равно а.

1928.   Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию,   удален  от  концов  боковой  стороны на расстояния 8 см и 4 см. Найти среднюю линию трапеции.

1929. Основания двух правильных треугольников со сторонами а и 3а лежат на одной и той же прямой. Треугольники расположены по разные стороны от прямой и не имеют общих точек, а расстояние между ближайшими концами их оснований равно 2а. Найти расстояние между вершинами треугольников.

1930.   К  двум  внешне касающимся окружностям радиусов R и r проведена секущая так, что окружности отсекают на ней три равных отрезка. Найти длины этих отрезков.

ОТВЕТЫ