ГЛАВА   1

Метрические соотношения между элементами фигур

Группа B

1931.    В  треугольнике   ABC  угол   А   вдвое больше  угла В, а  стороны,   противолежащие этим  углам,   соответственно   равны 12 см и 8 см. Найти третью сторону треугольника.

1932.   Гипотенуза прямоугольного треугольника равна т, радиус вписанной  окружности  равен  r .  Определить  катеты.   При каком соотношении между r и т задача имеет решение?

1933.   В   равнобедренный  треугольник  с  основанием в 12 см вписана окружность и к ней проведены три касательные так, что они  отсекают от данного треугольника трималых треугольника. Сумма  периметров малых треугольников равна 48 см. Найти боковую сторону данного треугольника.

1934.    В   равнобедренный   треугольник   вписана   окружность. Точки касания делят каждую боковую сторону на отрезки длины т см  и п см, считая от вершины. К. окружности проведены три касательные, параллельные каждой из сторон треугольника. Найти длины отрезков касательных, заключенных между сторонами треугольника.

1935.   Определить острые углы прямоугольного треугольника, если   отношение  радиусов  описанной  и   вписанной окружностей  равно (√3  + 1).

1936.  Две окружности касаются внешним образом в точке А. Найти радиусы окружностей, если хорды, соединяющие точку А с точками касания одной из общих внешних касательных, равны 6 см и 8 см.

1937.   Сторону  правильного  десятиугольника  выразить через радиус R описанной окружности.

1938.   В  треугольнике ABC со сторонами АВ = 12 см, ВС = 18 см и AС=15 см  проведена биссектриса угла А. Найти ее длину.

1939.   В   треугольник  с  периметром,   равным 20 см, вписана окружность.   Отрезок   касательной,   проведенной   к   окружности параллельно основанию, заключенный между сторонами треугольника, содержит 2,4 см. Найти основание треугольника.

1940.   В   равнобедренном  треугольнике  биссектриса угла при основании  делит боковую сторону на отрезки 4 см и 1 см, считая от вершины. Найти длину биссектрисы.

1941.  Медианы треугольника равны m₁ ,  m₂ , m₃. Найти стороны треугольника.

1942.   Биссектриса угла А треугольника ABC пересекает описанную  около  него окружность в точке D. Найти длину хорды DC,   если   центр  окружности,  вписанной в данный треугольник, удален от точки D на расстояние п см.

1943.   Доказать,   что во всяком равнобедренном треугольнике центр   описанной   окружности лежит внутри   вписанной  окружности.

1944.   В   треугольник со сторонами 6 см, 10 см и 12 см вписана  окружность. К окружности проведена касательная так, что она  пересекает две большие  стороны.   Найти периметр отсеченного треугольника.

1945.   Биссектриса  угла   при основании равнобедренного треугольника делит противоположную сторону так, что отрезок, прилежащий к вершине треугольника, равен его основанию. Доказать, что и биссектриса равна основанию треугольника.

1946.  Три окружности, две из которых имеют равные радиусы, касаются друг  друга  внешним образом. В треугольник, образованный  линиями   их центров, вписана окружность, радиус которой равен 3 см. Найти радиусы равных окружностей, если радиус третьей равен 4 см.

1947.   Сторона,   высота  и  биссектриса треугольника, выходящие   из одной  и  той  же  вершины,   равны соответственно 5 см, 2√6 см и 5 см. Найти две другие стороны треугольника.

1948.   Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону  на  отрезки  длиной  4 см  и 2 см, а высота, опущенная на ту же сторону, равна 15 см. Каковы длины сторон треугольника, если известно, что они выражаются целыми числами?

1949.  Две окружности касаются друг друга внешним образом. Четыре точки касания их внешних общих касательных A, В, С, D соединены  последовательно. Показать, что в четырехугольник ABCD  можно  вписать  окружность и найти ее радиус, если радиусы данных окружностей равны R и r.

1950. Высота и медиана треугольника, проведенные из однoй его вeршины, различны и образуют равные углы со сторонами, выходящими из той же вершины. Определить радиус описанной окружности, если  медиана равна т.

ОТВЕТЫ