ГЛАВА   2

Площади фигур

Группа A

1951.   Площадь   прямоугольника   равна   9,   а   один из углов, образованных  его диагоналями,   содержит  120°. Определить стороны прямоугольника.

1952.  Площадь равнобочной трапеции, описанной около круга, равна   S,  а высота трапеции в два раза меньше ее боковой стороны. Определить радиус вписанного круга.

1953.  Сумма длин диагоналей ромба равна т, а его площадь равна S. Найти сторону ромба.

1954.   В четырехугольник, три последовательные стороны которого равны соответственно 2 см, 3 см, 4 см, вписана окружность радиуса 1,2 см. Найти площадь этого четырехугольника.

1955.  В равнобочную трапецию вписана окружность радиуса R. Верхнее основание трапеции в два раза меньше ее высоты. Найти площадь трапеции.

1956.   На   каждой медиане треугольника взята точка, делящая медиану   в отношении  3:1,  считая от вершины. Во сколько раз площадь  треугольника  с  вершинами  в этих трех точках меньше площади исходного треугольника?

1957.  В равнобедренный  треугольник вписан квадрат единичной площади, одна сторона которого лежит на основании треугольника.   Найти  площадь  треугольника,  если известно, что центры тяжести   треугольника   и   квадрата   совпадают.   (Центр тяжести треугольника лежит на пересечении его медиан.)

1958.   В  окружность  радиуса R вписана трапеция, у которой нижнее   основание   вдвое   больше   каждой  из остальных сторон. Найти площадь трапеции.

1959.  Найти   площадь  круга,   описанного  около равнобедренного треугольника, если основание этого треугольника равно 24 см, а боковая сторона 13 см.

1960.   Хорда круга, равная 16 см, отстоит от центра на 15 см. Найти площадь треугольника, описанного около круга, зная, что периметр треугольника равен 200 см.

1961.   Найти   площадь   круга,  вписанного в равнобочную трапецию, если ее большее основание равно а, а угол при меньшем основании равен  120°.

1962.   В  окружность  радиуса R вписан треугольник с углами 15° и 60°. Найти площадь  треугольника.

1963.  Периметр прямоугольного треугольника равен 2р, а гипотенуза   равна  с.   Определить  площадь  круга,  вписанного в этот треугольник.

1964.  Найти   площадь   круга,   вписанного   в   прямоугольный треугольник,   если  проекции  катетов  на  гипотенузу   равны 9 м  и 16 м.

1965.  Площадь равнобедренного треугольника равна ¹/₃ площади  квадрата,   построенного  на   основании данного треугольника. Боковые стороны треугольника  короче  его основания на 1 см. Найти стороны треугольника и его высоту, опущенную на основание.

1966.  Площадь равнобочной трапеции, описанной около круга, равна 32√3 см². Определить боковую сторону трапеции, если известно, что острый угол при основании равен   ^π/₃.

1967.  Площадь прямоугольного треугольника равна 2√3 см². Определить его высоту, опущенную на гипотенузу, если она делит прямой угол в отношении 1:2.

1968.  Прямая,   параллельная  основанию треугольника, делит его площадь в отношении 2:1, считая от вершины. В каком отношении она делит боковые стороны?

1969.  Площадь равнобочной трапеции, описанной около круга, равна 8 см². Определить стороны трапеции,  если угол при основании содержит 30°.

1970.  Равносторонний шестиугольник ABCDEF состоит из двух трапеций, имеющих общее основание CF. Известны две его диагонали: АС= 13 см и АЕ = 10 см. Найти площадь шестиугольника.

1971.  Найти  площадь  правильного треугольника, вписанного в квадрат со стороной а, при условии, что одна из вершин треугольника совпадает с вершиной квадрата.

1972.  Диагональ.равнобочной трапеции делит тупой угол пополам.   Меньшее основание трапеции  равно 3 см, периметр равен 42 см. Найти площадь трапеции.

1973.  Определить площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если высота, опущенная на гипотенузу, делит гипотенузу на отрезки, равные 25,6 см и 14,4 см.

1974.  Периметр прямоугольного треугольника   равен  24 см, площадь его равна 24 см². Найти ллощадь описанного круга.

1975.   Найти  площадь  равнобедренного треугольника с углом в 120°, если радиус вписанного  круга равен ⁴√12 см.

1976.   На сторонах равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой с вне этого треугольника построены квадраты. Центры  этих   квадратов соединены между собой. Найти площадь получившегося треугольника.

1977. В квадрат вписан другой квадрат, вершины которого лежат на сторонах первого, а стороны составляют со сторонами первого квадрата углы по 60°. Какую часть площади данного квадрата составляет площадь вписанного?

1978. Найти площадь квадрата, вписанного в правильный треугольник со стороной а.

1979.    На   сторонах   равностороннего   треугольника   вне   его построены  квадраты.  Их   вершины,   лежащие  вне треугольника, последовательно   соединены.   Определить   площадь   полученного шестиугольника, если сторона данного треугольника равна а.

1980.  Данный   квадрат   со стороной  а срезан  по углам так, что образовался правильный восьмиугольник. Определить площадь этого восьмиугольника.

1981.  Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность,   равна  а.   Вычислить  площадь квадрата, вписанного в ту же окружность.

1982.   Вычислить  отношение площадей квадрата, правильного треугольника  и правильного шестиугольника, вписанных в одну и ту же окружность.

1983.  Сторона равностороннего треугольника, вписанного в окружность, равна а. Вычислить площадь отсекаемого ею сегмента.

1984.  Сторона  квадрата,   вписанного  в окружность, равна а. Вычислить площадь отсекаемого ею сегмента.

1985.  На диаметре 2R полуокружности построен правильный треугольник, сторона которого равна диаметру. Треугольник расположен  по  ту же сторону от диаметра, что и полуокружность. Вычислить площадь  той части треугольника, которая лежит вне круга.

1986.   Круг  радиуса R обложен четырьмя равными кругами, касающимися   данного   так,   что   каждые два  соседних   из этих четырех кругов касаются друг друга. Вычислить площадь одного из этих кругов.

1987. В точках пересечения двух окружностей радиусов 4 см и 8 см касательные к  ним взаимно перпендикулярны. Определить площадь фигуры O₁ABO₂, где  АВ — общая касательная к окружности, а О₁ и О₂ — их центры.

1988.  Определить сторону ромба, зная, что площадь его равна S, а длины диагоналей относятся, как т : п.

1989.  Периметр ромба равен 2р ; длины диагоналей относятся, как т : п. Вычислить площадь ромба.

1990.  Две окружности радиусов R с центрами в точках О₁ и О₂  касаются друг друга. Их пересекает прямая в точках А, В, С и D так, что AB = BC = CD. Найти площадь четырехугольника О₁ADО₂.

1991.  Вычислить  площадь  прямоугольной  трапеции,  если ее острый   угол  равен  60°,  меньшее  основание равно а и большая боковая сторона равна b.

1992.   Вычислить площадь равностороннего треугольника, если сумма длин его стороны и высоты равна т.

1993.  Площадь равнобочной трапеции, описанной около круга, равна S. Определить боковую сторону этой трапеции, если известно, что острый угол при основании трапеции равен ^π/₆.

1994.   Трапеция разбита диагоналями на четыре части. Доказать,   что части,  прилегающие к боковым сторонам, равновелики.

1995.   В прямоугольный треугольник с катетами а и b вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол (т. е. две стороны  квадрата лежат на катетах, а одна вершина — на гипотенузе). Найти площадь квадрата.

1996.  На диаметре полукруга построен правильный треугольник, стороны которого равны диаметру. Как относятся площади частей треугольника, лежащих вне и внутри полукруга?

1997.   В правильный треугольник со стороной, равной а, вписана окружность,   в которую вписан правильный шестиугольник. Найти площадь шестиугольника.

1998.   Вокруг   квадрата,   сторона   которого  равна а, описана окружность, а около окружности описан правильный шестиугольник. Определить площадь шестиугольника.

1999.   В равнобочную трапецию вписан круг. Одна из боковых сторон ее делится точкой касания на отрезки длины т и п. Определить площадь трапеции.

2000.  Сторона   квадрата,   вписанного  в  окружность, отсекает сегмент,   площадь  которого  равна   (2π — 4)  см².  Найти площадь квадрата.

2001.  В ромб с острым углом 30° вписан круг. Площадь круга равна q. Найти площадь ромба.

2002.   В круговой сектор, дуга, которого содержит 60°, вписан круг. Найти отношение площади этого круга к площади сектора.

2003.  Из точки М, отстоящей от, ближайшей точки окружности на расстоянии, равном  а, проведена к этой окружности касательная, равная 2а. Определить площадь правильного шестиугольника, вписанного в эту окружность.

2004.  В равнобочной трапеции нижнее основание равно 40 см, а верхнее 24 см. Диагонали этой трапеции взаимно перпендикулярны. Найти ее площадь.

2005.  Основание треугольника равно 30 см, а боковые стороны 26 см  и 28 см.   Высота  разделена в отношении 2:3 (считая от вершины)  и  через  точку деления проведена прямая, параллельная   основанию. Определить площадь получившейся при этом трапеции.

2006. В прямоугольном треугольнике биссектриса острого угла делит противоположный катет на отрезки длиной 4 см и 5 см. Определить площадь треугольника.

2007.   Хорда А В постоянной длины скользит своими   концами по окружности радиуса R. Точка С этой хорды, находящаяся на расстояниях а и b от концов А и В этой хорды, описывает при полном  обороте окружность. Вычислить площадь кольца, заключенного между  данной   окружностью и окружностью, описанной точкой С.

2008.  Три   равные   окружности  радиуса  r попарно касаются - одна  другой.   Вычислить площадь фигуры, лежащей вне окружностей и ограниченной их дугами, заключенными между точками прикосновения.

2009. На сторонах ромба, как на диаметрах, описаны полуокружности, обращенные внутрь. Определить площадь полученной розетки, если диагонали ромба равны а и b.

2010.  Доказать,   что   если   через   вершины четырехугольника провести прямые, параллельные его диагоналям, то площадь параллелограмма,   образованного этими  прямыми,   в  два раза больше площади данного четырехугольника.

2011.  Определить боковые стороны равнобочной трапеции, если ее основания и площадь равны соответственно 8 см, 14 см и 44 см²

2012.  В правильный треугольник вписана окружность, а в нее вписан  правильный  шестиугольник.   Найти отношение площадей треугольника и шестиугольника.

2013.  Общей хордой двух кругов стягиваются дуги в 60° и 120°. Найти отношение площадей этих кругов.

2014.   В  прямоугольнике. проведены  биссектрисы двух углов, прилежащих к   большей   стороне.   Определить,   на   какие   части делится площадь прямоугольника этими биссектрисами, если стороны прямоугольника равны 2 м  и 4 м.

2015.   Высота  ромба  равна   12  см,  а одна из его диагоналей равна  15 см. Найти площадь  ромба.

2016.  Две стороны треугольника равны 13 см и 14 см, его площадь равна 84 см². Найти третью сторону.

2017.  Расстояние между центрами двух пересекающихся окружностей,  имеющих одинаковый  радиус R, равно их радиусу. Определить площадь общей части кругов.

2018.   Найти   площадь   равнобочной трапеции, если ее высота равна h, а боковая сторона видна из центра описанной окружности под углом 60°.

2019.   Круг,   радиус   которого  равен R, разделен на два сегмента  хордой,   равной стороне вписанного квадрата. Определить площадь меньшего из этих сегментов.

2020.   Определить   площадь   кругового   кольца,  заключенного между двумя концентрическими окружностями, длины которых равны C₁ и С₂ (C₁  >  C₂).

2021.   Круг, радиус которого равен R, разделен на два сегмента хордой,   равной   стороне   правильного   вписанного треугольника. Определить отношение площадей образовавшихся сегментов.

2022.   В правильный шестиугольник, сторона которого равна а, вписана окружность, и около него же описана окружность. Определить   площадь   кругового   кольца,   заключенного между этими окружностями.

2023.  Площадь  круга,   имеющего  радиус R, разделена двумя концентрическими окружностями на три равные части. Определить радиусы этих окружностей.

2024.  Площадь  кругового  кольца   равна S. Радиус   большей окружности равен длине меньшей окружности. Определить радиус меньшей   окружности.

2025.  В круге радиуса R  по разные  стороны от центра  проведены две параллельные хорды, одна из которых равна стороне правильного   вписанного треугольника,   а другая — стороне правильного вписанного шестиугольника. Определить площадь части круга, содержащейся   между   хордами.

2026.  В круг радиуса R   так   вписаны   два правильных   треугольника,   что   при   взаимном   пересечении их    сторон   каждая из сторон разделилась на три равные части. Определить площадь многоугольника, сторонами которого служат средние отрезки сторон  треугольников.

2027.   На сторонах АВ и AD   параллелограмма   ABCD  отложены отрезки AR = ²/₃AB и AE = ¹/₃AD и точки R и Е соединены прямой RE. Найти отношение площади параллелограмма к  площади  треугольника.

2028.   Три  окружности  радиусов R₁ = 6 см, R₂ = 7 см, R₃ = 8 см попарно касаются друг друга. Определить   площадь треугольника, вершины которого совпадают с центрами этих окружностей.

2029.   Найти отношение  площадей   равностороннего  треугольника, квадрата и правильного шестиугольника, стороны которых равны.

2030.  В трапеции,   площадь   которой   равна   594   м²,   высота 22 м, а разность параллельных сторон равна  6 м,   найти длину каждой из параллельных сторон.

2031.  Катеты прямоугольного треугольника равны 6 м и 8 м. Из вершины прямого угла опущен перпендикуляр на гипотенузу. Определить площади   образовавшихся   треугольников.

2032.  Найти площадь равнобедренного треугольника, если высота, опущенная на его основание, равна 10 см,   а высота,   опущенная на боковую сторону, равна 12 см.

2033.  Стороны треугольника равны   13 см,   14 см   и   15   см. Найти отношение площадей описанного и вписанного в этот треугольник кругов.

2034.   Боковые стороны трапеции продолжены до их взаимного пересечения. Найти площадь трапеции, если длины ее оснований относятся, как 5 : 3, и площадь всего образовавшегося треугольника равна  50 см².

2035.  В правильный треугольник вписана окружность и около него описана окружность. Найти площадь образовавшегося кольца, если сторона треугольника равна  а.

2036.  Один из   катетов   прямоугольного  треугольника   равен 15 см, а радиус окружности, вписанной в этот треугольник, равен 3 см. Найти площадь этого треугольника.

2037.  Доказать,   что площадь  трапеции  равна   произведению одной из непараллельных сторон  на   перпендикуляр, опущенный из середины другой непараллельной стороны  на первую.

2038.  Доказать, что если диаметр полукруга разделить на две произвольные части и на каждой из них   построить как на диаметре полуокружность (внутри данного   полукруга), то площадь, заключенная между тремя полуокружностями, будет  равна  площади   круга,диаметр   которого    равен   длине   перпендикуляра к диаметру полукруга, восставленного в точке  деления.

2039.  В   круг   радиуса   R   вписан   прямоугольник,   площадь которого вдвое меньше площади круга. Определить стороны прямоугольника.

2040.  Определить  площадь круга, вписанного в сектор круга радиуса R с хордой 2а.

2041.  Основания  трапеции   равны  а  и  b,  углы при большем основании равны ^π/₆ и   ^π/₄. Найти площадь трапеций.

2042.  В   ромб  с  острым  углом 30° вписан круг, а в круг — квадрат.   Найти отношение площади ромба к площади квадрата.

2043.  По трем данным сторонам a, b и с треугольника определить площадь описанного около него круга.

2044.  Площадь равнобочной трапеции, описанной около круга, равна S.  Определить радиус этого круга, если угол при основании трапеции равен 60°.

2045.   Найти   площадь   равнобедренного   треугольника,   если основание его равно а, а высота, опущенная на основание, равна отрезку,  соединяющему  середины основания и боковой стороны.

2046.  Доказать,   что в параллелограмме расстояния от любой точки диагонали до двух прилежащих сторон обратно пропорциональны длинам этих сторон.

2047.  Доказать, что отношение периметра треугольника.к одной из его  сторон  равно отношению высоты, опущенной на эту сторону, к радиусу вписанной окружности.

2048.  Определить величину сторон равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) по двум высотам AN = n, BM = m.

2049.  Ромб,   у  которого  сторона  равна   меньшей   диагонали, равновелик кругу радиуса R. Определить сторону ромба.

2050.  Вычислить   площадь  трапеции  по  разности оснований, равной   14 см,   и двум непараллельным сторонам, равным 13 см и   15 см,  если известно, что в трапецию можно вписать окружность.

ОТВЕТЫ