ГЛАВА   2

Площади фигур

Группа Б

2051.  Дан квадрат, сторона которого равна а. Определить стороны  равновеликого  ему равнобедренного треугольника, у которого  сумма   длин   основания  и  высоты равна сумме длин двух боковых сторон.

2052.  Точки М, N, Р, Q являются серединами сторон АВ, ВС, CD  и  DA   ромба ABCD. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями AN, BP, CQ и QM, если площадь ромба равна 100 см².

2053.  Определить   углы   равнобедренного  треугольника,  если его площадь относится к площади квадрата, построенного на его основании, как √3 : 12.

2054.   В  окружность  вписан  четырехугольник с углами 120°, 90°, 60° и 90°. Площадь четырехугольника равна 9√3 см². Найти радиус окружности.

2055.   В треугольнике ABC проведена прямая DE, параллельная   основанию   АС.   Площадь  треугольника   ABC  равна  8 ед², а площадь треугольника DEC равна 2 ед². Найти отношение длины отрезка DE к длине основания треугольника АВС.

2056.   Площадь   прямоугольного   треугольника   равна 24 см², а гипотенуза равна 10 см. Найти радиус вписанной окружности.

2057.  Около круга   радиуса R описаны  квадрат   и равносторонний треугольник,   причем   одна   из   сторон   квадрата   лежит на стороне треугольника. Вычислить площадь  общей   части треугольника и   квадрата.

2058.  В   круге   радиуса   R  проведены  по разные стороны от центра две параллельные хорды, одна из которых стягивает дугу в  60°, а другая — 120°.   Найти площадь части круга, заключенной между хордами.

2059.  Две  окружности  радиусов   r  и  3 r   внешне касаются. Найти площадь фигуры, заключенной между окружностями и их общей внешней касательной.

2060.   Найти площадь треугольника, вписанного в круг радиуса 2 см, если два угла треугольника равны ^π/₃ и ^π/₄.

2061.  Найти площадь трапеции,  диагонали которой равны 7 см и 8 см, а основания 3   см и 6 см.

2062.   В ромб со стороной а и острым углом 60° вписана окружность. Определить площадь четырехугольника, вершины которого лежат в точках касания окружности со сторонами ромба.

2063.  Две окружности радиусов R и r касаются внешним образом. К этим окружностям проведена общая внешняя касательная,   и   в  образовавшийся при этом криволинейный треугольник вписан круг. Найти его площадь.

2064.   Центр  круга,   вписанного  в прямоугольную трапецию, отстоит от  концов боковой стороны на 1 см и 2 см. Найти площадь трапеции.

2065.  Окружность  радиуса  R разделена на 6 равных частей, и через  каждые две соседние точки  деления проведены внутри окружности равные дуги  такого радиуса, что на данной окружности   они   взаимно   касаются.   Вычислить  площадь   внутренней части данного круга,   заключенной между проведенными дугами.

2066.  В   некоторый    угол   вписана   окружность   радиуса  R, а  длина   хорды,   соединяющей  точки  касания,   равна а. Параллельно этой хорде проведены две касательные, в результате чего получилась трапеция. Найти площадь  образовавшейся трапеции.

2067.  В треугольник  со  сторонами a, b и с вписан полукруг с диаметром, лежащим на стороне с. Найти площадь этого полукруга.

2068.  Две окружности радиусов R и r касаются внешним образом. Найти   площадь  трапеции,  образованной двумя общими касательными к этим окружностям и хордами, соединяющими точки касания.

2069.   Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Через  середину  меньшего  катета и середину  гипотенузы проведена окружность, касающаяся гипотенузы. Найти площадь круга, ограниченного этой окружностью.

2070.  Найти площадь прямоугольного треугольника, если даны радиусы описанного и вписанного в него кругов R и r.

2071.   Длины сторон  треугольника   относятся,   как   т : п : т. Найти отношение  площади  этого  треугольника  к площади, треугольника,   вершины  которого  находятся   в точках  пересечения биссектрис данного треугольника с его сторонами.

2072.  Определить  площадь  сегмента,   если  периметр  его равен р, а дуга содержит 120°.

2073.   На  отрезке  АВ  и  на каждой его половине построены как  на  диаметрах  полукруги  (в  одну  сторону). Считая радиус большого  полукруга   равным R,   найти  сумму  площадей криволинейных треугольников, образовавшихся при построении круга, касательного ко всем трем данным полукругам.

2074.  Сторона правильного треугольника равна а. Определить площадь  части  треугольника,   лежащей   вне  круга радиуса ^а/₃, центр которого совпадает с центром треугольника.

2075.   Найти  отношение площади квадрата, вписанного в сегмент с дугою в 180°, к площади квадрата, вписанного в сегмент того же самого круга с дугою в 90°.

2076.   Площадь  четырехугольника   равна   S,   Найти площадь параллелограмма, стороны которого равны и параллельны диагоналям четырехугольника.

2077.   В  треугольнике  ABC проведены  медианы  BD  и  СЕ; М — их   точка   пересечения.   Доказать,   что   треугольник   ВСМ равновелик четырехугольнику ADME.

2078.  Два круга концентричны, причем окружность меньшего круга делит больший круг на равновеликие части. Доказать, что часть кольца, заключенная между  параллельными касательными к окружности меньшего радиуса, равновелика квадрату, вписанному в меньший круг.

2079.  Дан треугольник  ABC; найти геометрическое место точек М, таких, что площади треугольников АМВ и ВМС равны.

2080.  В круге радиуса R хорда АВ, стягивающая дугу в 45°, продолжена до  пересечения в точке К с перпендикуляром, восставленным  к диаметру  AM  из  центра круга О. Из В на AM опущен перпендикуляр ВС. Найти площадь трапеции ОСВК.

2081.   Через две смежные вершины квадрата проведена окружность так, что длина касательной к ней, проведенной из третьей вершины, в три  раза больше стороны квадрата. Найти площадь круга, если сторона квадрата равна а.

2082.  Дан  квадрат со стороной а. На каждой стороне квадрата вне его построена трапеция так, что верхние основания этих трапеций и их боковые  стороны образуют правильный двенадцатиугольник. Вычислить его площадь.

2083.  Площадь равнобочной трапеции, описанной около круга, равна 32 см²; острый  угол  трапеции равен 30°. Определить стороны трапеции.

2084.  Высота равнобочной трапеции равна 14 см, а основания равны   16 см  и   12 см.  Определить  площадь  описанного  круга.

2085.  Длины диагоналей ромба относятся, как 3 : 4. Во сколько раз  площадь  ромба  больше  площади  вписанного в него круга?

2086.   В   круг  радиуса  R  вписан   правильный   треугольник. Высоты его продолжены до пересечения с окружностью. Эти точки пересечения соединены между собой, образуя новый треугольник. Вычислить ту часть площади круга, которая находится вне этих двух треугольников.

2087.  Две окружности радиуса R пересекаются так, что каждая из них проходит через центр другой. Две другие окружности того  же  радиуса  имеют центры  в  точках   пересечения   первых двух окружностей. Найти площадь, общую всем четырем кругам.

2088.  Дан  ромб  ABCD.   Его диагонали  равны 3 см и 4 см. Из  вершины тупого  угла  В  проведены две высоты   BE и BF. Вычислить площадь четырехугольника BFDE.

2089.  Отношение двух  углов  треугольника  равно  2,  а разность  противоположных  им  сторон  равна  2 см; третья сторона треугольника равна 5 см. Найти площадь треугольника.

2090.  В прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до одного  из  катетов  равно 5 см, а расстояние от середины этого катета до гипотенузы равно 4 см. Вычислить площадь треугольника.

2091.  В  треугольнике   ABC даны  три стороны: АВ = 13 см, ВС = 15 см,   АС = 14 см.  Определить  площадь  части треугольника, заключенной между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины В.

2092.   Основания  трапеции  равны  а  и   b. Определить длину отрезка, параллельного основаниям и делящего площадь трапеции пополам.

2093.  Диагонали  равнобочной  трапеции взаимно перпендикулярны,   а   площадь  ее  равна  а².   Определить   высоту  трапеции.

2094.  Медианы одного треугольника  равны сторонам другого треугольника. Найти отношение их площадей.

2095.  Медианы треугольника равны 3 см, 4 см и 5 см. Найти площадь треугольника.

2096.  Доказать, что вписанная в прямоугольный треугольник окружность делит  гипотенузу на отрезки, произведение которых равно площади этого треугольника.

2097.  Определить  площадь  трапеции при условии, что ее основания равны 142 см и 89 см, а диагонали 120 см и 153 см.

2098.  Диагональ  равнобочной  трапеции   равна   10 см, а площадь равна 48 см². Найти высоту трапеции.

2099.  В треугольник вписан круг. Прямые, соединяющие центр круга с вершинами, делят площадь треугольника на части с площадями: 4 см², 13 см²  и 15 см². Найти стороны треугольника.

2100.  Основание треугольника равно 20 см; медианы боковых сторон равны 18 см и 24 см. Найти площадь треугольника.

2101.  Медианы треугольника  равны 5 м, 6 м и 5 м. Найти площадь этого треугольника.

2102.  Определить площадь треугольника, если две его стороны равны   1 см  и  √15 см, а медиана  третьей стороны равна 2 см.

2103.   Стороны  треугольника  равны   39 см,   42 см  и   45 см. Определить площади треугольников, на которые разбивается данный  треугольник   высотой и медианой, проведенными к большей по величине стороне.

2104.   Стороны  треугольника  равны   13 см,   14 см   и   15 см. Определить площади треугольников, на которые разбивается данный треугольник его медианами.

2105.  Доказать, что три медианы треугольника разбивают его на шесть равновеликих частей.

2106. В прямоугольнике со сторонами а и b проведены биссектрисы всех углов до взаимного пересечения. Найти площадь четырехугольника, образованного биссектрисами.

2107.   Определить   стороны   прямоугольного   треугольника, у которого периметр равен 2р, а площадь равна m².

2108.   Параллелограмм ABCD, высота которого ВE = 135 см, а  стороны AВ = 153 см и AD = 180 см, нужно разделить на три равновеликие  части двумя прямыми, перпендикулярными к AD. На сколько должны быть удалены от вершины А основания этих перпендикуляров?

2109. Внутри квадрата со стороной а на каждой его стороне, как на диаметре, построена полуокружность. Найти площадь розетки, ограниченной дугами полуокружностей.

2110.   Периметр  сектора   равен  28 см,   а его площадь равна 49 см². Определить длину дуги сектора.

2111.  В равносторонний треугольник ABC со стороной а = 2 вписан круг; точка А является центром второго круга с радиусом R =1. Найти площадь общей части этих двух кругов.

2112.   Внутри правильного треугольника со стороной а расположены три  равных окружности. Каждая из них касается двух   сторон данного треугольника и двух других  окружностей. Определить   площадь  части   треугольника,   расположенной   вне этих окружностей.

2113.   Криволинейный  треугольник  составлен  тремя равными попарно   касающимися   дугами окружностей   радиуса  R.  Найти площадь этого треугольника.

2114.  Центр равностороннего треугольника  со стороной, равной 6 см, совпадает с  центром окружности радиуса 2 см. Определить  площадь  части  треугольника,   лежащей вне этой окружности.

2115.   В ромб вписана окружность радиуса R. Найти площадь ромба, если его большая диагональ в 4 раза больше радиуса вписанной окружности.

2116.  Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с. Проекция вершины  прямого  угла  на   гипотенузу делит ее на два отрезка, из которых меньший относится к большему, как больший ко всей гипотенузе. Определить площадь треугольника.

2117. Определить площадь треугольника, если две его стороны  равны 14 см  и   15 см,   а  медиана  третьей стороны равна √168,25 см.

2118.  Определить площадь треугольника, если две его стороны равны  35 см  и   14 см,   а  биссектриса   угла  между ними содержит 12 см.

2119.  Вычислить площадь общей части двух ромбов, у первого из которых диагонали  равны  4 см  и 6 см, а второй получается поворотом первого на 90° около его центра.

2120.    Радиус  окружности,   вписанной  в  треугольник,  равен 2 см. Точка касания  этой  окружности делит одну из сторон на отрезки длиной 4 см и 6 см. Определить вид треугольника и вычислить его площадь.

ОТВЕТЫ