ГЛАВА   2

Площади фигур

Группа B

2121.  В круг  радиуса R вписан равносторонний треугольник и квадрат, имеющие общую вершину. Вычислить площадь общей части треугольника и квадрата.

2122.  В   ромб вписана  окружность,   радиус которой равен R и в четыре  раза  меньше большей диагонали ромба. Определить площадь каждой из фигур,   ограниченных отрезками двух смежных сторон ромба от вершины до точек касания и меньшей дугой окружности, лежащей между точками касания.

2123.  Внутри треугольника ABC взята произвольная точка и через нее проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые делят  треугольник   ABC на шесть частей, из которых три части являются треугольниками. Площади этих треугольников равны S₁, S₂ и S₃.  

Доказать, что площадь треугольника ABC равна (√S₁+ √S₂ + √S₃)²

2124.  Центры четырех кругов расположены в вершинах квадрата со стороной  а.   Радиусы  этих  кругов равны а. Определить площадь их общей части.

2125.  В окружность радиуса R помещены три равные окружности, касающиеся  внешней  окружности   и попарно друг друга. Вычислить  площадь  фигуры,   ограниченной   всеми   тремя   этими окружностями.

2126.  Внутри окружности радиуса R расположены шесть равных окружностей  меньшего  радиуса.   Каждая   из  них   касается большей  окружности  и двух   равных ей соседних окружностей. Вычислить  площадь  фигуры,   ограниченной всеми шестью этими окружностями.

2127.   Внутри   окружности  радиуса  R   расположены   четыре равные окружности  меньшего  радиуса.  Каждая из них касается большей окружности и двух равных ей соседних окружностей. Вычислить площадь фигуры, ограниченной всеми четырьмя этими окружностями.

2128.   Сторона  правильного треугольника   равна   а.   Из   его центра  радиусом ^a/₃   описана  окружность.  Определить  площадь части треугольника, лежащей вне окружности.

2129.   Вычислить  площадь  треугольника  по двум сторонам а и b и биссектрисе l угла между ними.

2130.  Найти радиус круга, если площадь круга на q кв. единиц больше площади вписанного в него правильного двенадцатиугольника.

2131.  Окружность   радиуса R с центром в точке О разделена точками А, В, С, D, Е, F на  шесть равных частей. Определить площадь   фигуры   СОЕ,   ограниченной   дугой   ОС   с   центром   в точке В,  дугой  ОЕ с центром в точке F и дугой СЕ с центром в точке А.

2132. Найти площадь треугольника по его медианам т_а, т_b, т_c .

2133.   Через две смежные вершины квадрата проведена окружность так,   что  касательная к ней,  проведенная из третьей вершины,   равна двойной  стороне  квадрата.   Найти  площадь этого квадрата, если радиус окружности равен R.

2134.  Площадь треугольника ABC равна S₁; площадь треугольника  АОВ,  где О—точка  пересечения   высот,   равна S₂. Точка К — такая точка на прямой СО, что треугольник АВК — прямоугольный. Доказать, что площадь  треугольника АВК есть среднее геометрическое между  S₁ и S₂.

2135.  В   равносторонний  треугольник  со стороной а вписана окружность. К окружности проведена касательная так, что отрезок ее внутри треугольника   равен b. Найти  площадь треугольника, отсеченного этой касательной от данного.

2136.   Основания   высот  остроугольного    треугольника   ABC служат вершинами другого треугольника,  периметр которого равен 2 р. Найти площадь треугольника ABC, если радиус описанной около него окружности равен R.

2137.   Стороны  треугольника  ABC  разделены точками М, N и Р так, что AM : MB = BN : NC = CP : PA =1 : 4. Найти отношение площади  треугольника,   ограниченного  прямыми AN, BP и СМ, к площади треугольника ABC.

2138.  Выразить  площадь  четырехугольника   через четыре его стороны а, b, с, d  и диагонали т, п. Имеет ли  задача  решение при меньшем числе данных величин?

2139.    Найти   площадь   параллелограмма,    стороны   которого равны т  и  п,   а  расстояния от произвольной точки до четырех вершин равны а, b, с, d.

2140.   Около  окружности  радиуса 5 см описана равнобочная трапеция.   Расстояние  между  точками  касания  боковых  сторон равно 8 см. Найти площадь трапеции.

2141.   Через данную точку внутри угла провести прямую так, чтобы она отсекла от него треугольник наименьшей площади.

2142.    В  трапецию,   у   которой  меньшее  основание  равно а, вписана окружность.   Одна  из боковых сторон трапеции делится точкой  касания   на  отрезки  длины  т и  п, считая от большего основания. Определить площадь трапеции.

2143.  Даны два правильных треугольника, каждый площади S, из которых второй получается из первого поворотом на 30° около его   центра.   Вычислить   площадь  общей   части    этих   треугольников.

2144.  Площадь   прямоугольного треугольника равна ²/₃ r ²,   где r — радиус окружности,   касающейся  одного катета и продолжений другого катета и гипотенузы.   Найти стороны треугольника.

2145.   Вычислить площадь общей части двух ромбов, из которых  второй  получается   поворотом  первого  на  90° около точки пересечения его диагоналей, если известно,  что диагонали ромба равны 2 см и 3 см.

2146.  Диагонали  трапеции разбивают ее на четыре треугольника. Доказать, что если   площади  двух из них, прилежащих к основаниям  трапеции,   равны соответственно      p² и q², то площадь всей трапеции равна (р + q)²

2147.   В   четырехугольнике  ABCD  через середину диагонали BD проведена   прямая, параллельная другой диагонали АС. Эта прямая пересекает сторону AD в точке Е. Доказать, что отрезок СЕ делит площадь четырехугольника ABCD пополам.

2148.    Большая   из  параллельных  сторон  трапеции  равна а, меньшая равна  b,   непараллельные стороны равны c и d. Найти площадь трапеции.

2149.  Определить площадь треугольника по его трем высотам h₁, h₂, h₃,

2150.   В прямоугольный треугольник ABC вписана окружность, точки касания которой  служат   вершинами треугольника A₁B₁C₁. Найти  отношение площади  треугольника   ABC к  площади треугольника   A₁B₁C₁ ,   если   даны   катеты   исходного   треугольника АС = 4 см и ВС = 3 см.

2151.  Треугольник  повернут  вокруг центра тяжести на угол 180°. Определить  отношение  площади  общей части исходного и повернутого   треугольника  к  площади   исходного  треугольника.

2152.  Даны стороны  треугольника а = 13 см, b = 14 см, с  = 15 см. Две из них, а и b, служат касательными к окружности, центр которой лежит на третьей стороне с.   Определить площадь круга, ограниченного этой окружностью.

2153.  В равнобедренный треугольник с основанием, равным а, вписан  квадрат,   одна  из сторон  которого лежит на основании треугольника.   Площадь  квадрата  составляет  шестую часть площади треугольника. Определить  высоту  треугольника и сторону квадрата.

2154.   Длины  параллельных  сторон трапеции равны 20 см и 30 см,   а  площадь  ее  равна  400 см².   На  каком расстоянии от меньшей   из   параллельных   сторон   проходит   прямая линия, ей параллельная   и делящая площадь трапеции на две части, относящиеся, как 2:3 (считая от меньшего, основания)?

2155.  Длины  двух  отрезков,   соединяющих середины катетов с вершинами   противоположных  углов прямоугольного треугольника, равны а и b. Определить площадь треугольника.

2156.   Сформулировать  какой-нибудь  способ построения правильного треугольника, равновеликого данному квадрату.

2157.   Высота  треугольника,   равная  2 см,  делит  угол   треугольника в отношении 2 : 1, а основание треугольника на части, меньшая из которых равна 1 см. Определить площадь этого треугольника.

2158.   Площадь  треугольника  равна S.  Каждая сторона треугольника  разделена  на три части в отношении т : п : т.  Определить   площадь   шестиугольника,   вершинами   которого   служат точки деления.

2159.    В   прямоугольном   треугольнике   биссектриса   прямого угла  отсекает на  гипотенузе  отрезки  длины а и b. Найти площадь квадрата, стороной которого является эта биссектриса.

2160.  Около окружности радиуса R =1 см описана равнобочная трапеция, площадь которой равна 5 см², Найти площадь четырехугольника, вершинами которого служат точки касания окружности и трапеции.

ОТВЕТЫ