ГЛАВА   3

Поверхности и оъемы тел

Группа A

2161.  В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной С, и острым углом 30°. Боковые ребра пирамиды   наклонены   к   плоскости   основания   под   углом 45°. Найти объем пирамиды.

2162.  Вычислить  объем  правильного  тетраэдра,  если   радиус окружности, описанной около его грани, равен R.

2163.  Сторона   основания  правильной  треугольной  пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен  45°. Определить объем и полную поверхность пирамиды.

2164.  Определить объем наклонной треугольной призмы, у которой площадь одной  из  боковых  граней  равна  S,  а  расстояние от плоскости этой грани до противолежащего ребра равно d.

2165.  Плоский   угол   при   вершине   правильной   треугольной пирамиды равен 90°. Найти отношение боковой поверхности этой пирамиды к площади ее основания.

2166.  Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 13 см, а диагонали  его боковых   граней  равны 4√10 см  и  3√17 см. Определить объем параллелепипеда.

2167.   Найти   отношение   объема   куба к   объему правильного тетраэдра, ребро которого равно диагонали грани куба.

2168.  В   прямом   параллелепипеде  стороны  основания  равны a и b, острый угол между ними содержит 60°. Большая диагональ основания   равна   меньшей   диагонали   параллелепипеда.   Найти объем параллелепипеда.

2169.  Центр верхнего основания правильной четырехугольной призмы и середины сторон нижнего основания.служат вершинами вписанной в призму   пирамиды, объем   которой   равен   V.   Найти объем призмы,

2170.   В кубе, ребро которого равно а, центр  верхней   грани соединен   с   вершинами   основания.   Найти   полную  поверхность образовавшейся пирамиды.

2171.  Основанием правильной  пирамиды  служит многоугольник, сумма внутренних углов  которого  равна  720°.  Определить объем   этой   пирамиды,   зная,   что   боковое   ребро  ее,   равное  l, составляет с высотой пирамиды угол в 30°.

2172.  Диагональ квадрата, лежащего в основании правильной четырехугольной пирамиды, равна ее боковому ребру и равна а см. Найти полную поверхность этой пирамиды и ее объем.

2173.  Центр  верхнего  основания   куба  с  ребром,   равным а, соединен с серединами сторон нижнего основания, которые также соединены в последовательном   порядке.   Вычислить  поверхность образовавшейся пирамиды.

2174.  Апофема правильной шестиугольной пирамиды равна h. Двугранный угол при основании равен 60°. Найти полную поверхность пирамиды.

2175.   Найти    полную    поверхность   правильной   треугольной пирамиды,  сторона  основания   которой  равна а,  а  двугранный угол при основании равен 60°.

2176.  Основание четырехугольной   пирамиды — прямоугольник с диагональю, равной b, и углом 60° между диагоналями. Каждое из боковых   ребер  образует  с   плоскостью   основания   угол 45°. Найти объем пирамиды.

2177.  Сторона  основания   правильной  треугольной   пирамиды равна 1 см, а  ее боковая   поверхность  составляет 3 см². Найти объем пирамиды.

2178.  Основанием пирамиды служит треугольник со сторонами, равными а, а и b.  Все боковые  ребра  наклонены к  плоскости основания под углом 60°. Определить объем пирамиды.

2179.  Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно l , а высота равна h. Определить объем пирамиды.

2180.  В основании наклонной призмы лежит параллелограмм со сторонами 3 дм и 6 дм и острым углом в 45°. Боковое ребро призмы равно 4 дм и наклонено к плоскости основания под углом в 30°. Найти объем призмы.

2181.   Каждое из боковых ребер пирамиды равно ²⁶⁹/₃₂ см. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Найти объем пирамиды.

2182.  Определить объем правильной четырехугольной призмы, если ее диагональ образует с плоскостью боковой грани угол 30°, а сторона основания равна а.

2183.  В правильной четырехугольной пирамиде  сторона основания 6 дм, а высота 4 дм. Найти боковую поверхность усеченной пирамиды, отсекаемой от данной  плоскостью,   параллельной ее основанию и отстоящей от нее на 1 дм.

2184.  Основаниями   правильной  усеченной  пирамиды  служат квадраты со сторонами а и b (а > b ). Боковые ребра  наклонены к плоскости основания под углом 45°. Определить объем усеченной пирамиды.

2185.  Боковые ребра правильной усеченной треугольной пирамиды наклонены к плоскости основания под   углом 60°. Стороны нижнего и верхнего оснований соответственно равны  а и b (а > b ). Найти объем усеченной пирамиды.

2186.  Основанием    прямого   параллелепипеда   служит   ромб. Плоскость, проведенная через одну из сторон нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания, образует с плоскостью основания угол 45°. Полученное сечение имеет площадь, равную  Q.   Определить   боковую  поверхность   параллелепипеда.

2187.  Определить  объем  правильной   четырехугольной   пирамиды, если ее боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45°, а площадь диагонального сечения равна S.

2188.  Основанием пирамиды служит ромб с острым углом 30°. Боковые грани наклонены к плоскости  основания под углом 60°. Определить объем и полную поверхность пирамиды, если радиус вписанного в ромб круга равен r.

2189.  Сторона   основания  правильной  треугольной  пирамиды равна а, боковая  грань  наклонена  к  плоскости   основания  под углом 45°. Найти объем и полную поверхность пирамиды.

2190.   В основании прямого параллелепипеда  лежит  параллелограмм  со  сторонами   1 см  и  4 см и острым углом  60°. Большая   диагональ    параллелепипеда равна   5  см.  Определить  его объем.

2191.  Центр куба, ребро которого равно а, соединен со всеми его вершинами. Определить объем и поверхность каждой из образовавшихся пирамид.

2192.   Основание    пирамиды — равнобедренный    треугольник, основание которого  равно 6 см, а  высота   равна 9 см.   Каждое боковое ребро равно 13 см. Вычислить объем пирамиды.

2193.   В треугольной   пирамиде  боковые  ребра  взаимно  перпендикулярны и имеют длины √70 см, √99 см и √126см. Найти объем и площадь основания пирамиды.

2194.  Определить  объем  правильной  шестиугольной   призмы, у которой наибольшая  диагональ  равна  d,   а  боковые грани — квадраты.

2195.   Найти объем куба,   если   расстояние от его диагонали до непересекающегося с ней ребра равно d.

2196.  Определить  объем   октаэдра   (правильного   восьмигранника), ребро которого равно а.

2197.  Основание призмы — квадрат со  стороной,   равной   а. Одна из боковых граней — тоже квадрат, другая — ромб, с углом в 60°. Определить полную поверхность призмы.

2198.  Основанием параллелепипеда  служит  квадрат. Одна из вершин верхнего основания  одинаково отстоит от  всех  вершин нижнего основания и удалена  от  плоскости  этого  основания на расстояние,  равное b.  Сторона  основания  равна  а.  Определить полную поверхность этого параллелепипеда.

2199.  В кубе центры оснований соединены с центрами боковых граней.   Вычислить   поверхность   получившегося   октаэдра,   если ребро куба равно а.

2200.  Основанием  пирамиды  служит треугольник  с длинами сторон 6 см, 5 см  и  5 см.   Боковые  грани  пирамиды  образуют с ее основанием  равные двугранные  углы,   содержащие  по  45°. Определить объем этой пирамиды.

2201.  Определить объем прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого равна l  и составляет с одной гранью угол в 30°, а с другой в 45°.

2202.  Определить объем правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если ее диагональ равна 18 см, а длины сторон оснований 14 см и 10 см.

2203.  Основанием прямого параллелепипеда служит ромб, площадь которого равна Q. Площади  диагональных  сечений  равны S₁ и S₂ Определить объем параллелепипеда.

2204.  Боковое  ребро   правильной   четырехугольной   пирамиды равно l и наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найти объем пирамиды.

2205.  Наибольшая диагональ правильной шестиугольной призмы равна d и составляет с боковым ребром призмы угол 30°. Найти объем призмы.  

2206.  Стороны    основания    прямоугольного    параллелепипеда равны а и b. Диагональ   параллелепипеда   наклонена   к  боковой грани, содержащей сторону основания, равную b, под углом 30°. Найти объем параллелепипеда.

2207.  Стороны    основания    прямоугольного   параллелепипеда равны а и b. Диагональ параллелепипеда наклонена к плоскости основания под углом 60°. Определить боковую поверхность параллелепипеда.

2208.  Найти объем наклонной треугольной призмы, основанием которой служит  равносторонний  треугольник  со  стороной,   равной   а,  если   боковое   ребро   призмы   равно  стороне   основания и наклонено к плоскости основания под углом 66°.

2209.   Найти объем правильной треугольной призмы, если сторoна ее основания равна а  и   боковая  поверхность   равновелика сумме площадей оснований.

2210.   Найти боковую поверхность правильной  шестиугольной пирамиды,   высота  которой  равна h,   а  боковое  ребро  равно l .

2211.  Расстояние между непересекающимися диагоналями двух смежных боковых граней куба равно d. Определить объем куба.

2212.  В правильной треугольной призме площадь сечения, проходящего через боковое  ребро  призмы  перпендикулярно  к  противолежащей боковой грани, равна Q. Сторона основания призмы равна а. Найти полную поверхность призмы.

2213.  Высота правильного тетраэдра  равна h. Вычислить его полную поверхность.

2214.   Каждое из боковых ребер пирамиды   равно b. Ее основанием   служит   прямоугольный   треугольник,    катеты   которого относятся,   как   т : п, а   гипотенуза   равна  с.   Вычислить  объем пирамиды.

2215.  Центр верхнего основания куба соединен  с серединами сторон нижнего основания. Определить боковую поверхность полученной пирамиды, если ребро куба равно а.

2216.   Основанием прямой призмы служит ромб. Площади диагональных сечений этой призмы равны  Р и Q.  Найти боковую поверхность призмы.

2217.  Определить    объем    прямоугольного    параллелепипеда, если его диагональ равна d, а длина ребер относится, как т : п : р.

2218.  Определить   объем  правильной  треугольной  пирамиды, зная, что высота треугольника, служащего ее основанием, равна h и что апофема пирамиды равна т.

2219.  Площади боковых  граней  прямой  треугольной  призмы равны т, п и р. Боковое  ребро ее  равно l .  Определить  объем призмы.

2220.  По площади основания Р и объему V правильной четырехугольной призмы вычислить ее полную поверхность.

2221.   Найти   боковую   поверхность   правильной   треугольной призмы с высотой h, если прямая, соединяющая  центр  верхнего основания  с  серединой  стороны  нижнего основания,   наклонена к плоскости под углом 60°.

2222.  В   основании   пирамиды   лежит  квадрат.  Две   боковые грани ее перпендикулярны к плоскости  основания, а две другие наклонены к нему под углом в 45°. Среднее по величине боковое ребро равно l .  Найти  объем и  полную поверхность пирамиды.

2223.   Найти  объем и полную  поверхность  правильной  четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна а и угол наклона боковой грани к плоскости основания равен 60°.

2224.   Найти объем правильной треугольной пирамиды, высота которой равна h, а все плоские углы при вершине прямые.

2225.  Найти   боковую   поверхность   правильной   треугольной пирамиды, если плоский  угол при ее вершине равен 90°, а площадь основания равна S.

2226.  Найти объем правильного тетраэдра с ребром, равным а.

2227.  Правильная шестиугольная призма, боковые ребра которой равны 3 см, рассечена диагональной плоскостью на две равные четырехугольные призмы.   Определить  объем шестиугольной , призмы,    если   боковая   поверхность   четырехугольной   призмы равна 30 см².

2228.  По стороне основания,   равной а, определить  боковую поверхность   и   объем   правильной   четырехугольной   пирамиды, у которой диагональное сечение равновелико основанию.

2229.  Боковое ребро  правильной  треугольной   призмы  равно высоте основания,   а  площадь  сечения,   проведенного  через  это боковое ребро и высоту основания,   равна Q.   Определить объем призмы.

2230.  В прямом параллелепипеде стороны  основания равны а и b и образуют угол в 30°. Боковая поверхность равна S. Определить объем параллелепипеда.

2231.   Найти   отношение   объема   правильной   шестиугольной пирамиды к объему правильной треугольной пирамиды при условии, что стороны оснований этих пирамид  равны, а их апофемы в два раза больше сторон основания.

2232.  Стороны   основания    прямоугольного   параллелепипеда относятся, как т : п, а диагональное сечение  представляет собой квадрат   с   площадью,   равной  Q.  Определить  объем параллелепипеда.

2233.  Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2 см, , 3см и 6 см. Найти длину ребра такого куба, чтобы объемы этих тел относились, как их поверхности.

2234.   Высота пирамиды, в основании которой лежит правильный шестиугольник, равна 8 м. На расстоянии  3 м от вершины проведена   плоскость,   параллельная  основанию.   Площадь полученного сечения равна 4 м². Найти объем пирамиды.

2235.  Доказать,   что  объем   конуса   равен   объему  цилиндра с тем же основанием и той же высотой минус  произведение  боковой   поверхности  этого цилиндра на треть радиуса   его основания.

2236.  Высота  конуса  равна  диаметру его основания.   Найти отношение площади его основания к боковой поверхности.

2237.   Выразить  объем конуса через его боковую поверхность и расстояние от центра основания до образующей.

2238.  Цилиндр   можно образовать вращением прямоугольника вокруг  одной  из его сторон. Выразить объем v цилиндра через площадь s этого прямоугольника и длину с окружности, описанной точкой пересечения его диагоналей.

2239.  Доказать,   что  если  два  разных  конуса  имеют общую высоту  и параллельные основания, то объем их общей части составляет четверть объема каждого из них.

2240.  На основаниях цилиндра с квадратным осевым сечением построены два  конуса  с  вершинами в середине оси (цилиндра). Найти сумму полных поверхностей и сумму объемов конусов, если высота цилиндра равна 2а.

2241.  Около конуса с радиусом основания R описана произвольная пирамида, у которой периметр основания равен 2р. Определить отношение объемов  и   отношение  боковых   поверхностей конуса и пирамиды.

2242.  Высота  конуса и его образующая соответственно равны 4 см и 5 см, Найти объем вписанного в конус полушара, основание которого лежит на основании конуса.

2243.  Определить  объем  шара,  вписанного в правильную пирамиду, у которой высота равна h, а двугранный угол при основании равен 60°.

2244.  Конус и полушар имеют общее основание, радиус которого равен R. Найти боковую поверхность конуса, если его объем равен объему полушара.

2245.  В  цилиндре площадь сечения, перпендикулярного образующей,   равна М, а площадь осевого сечения равна N. Определить поверхность и объем этого цилиндра.

2246. В   конус,   осевое сечение которого есть равносторонний треугольник, вписан шар. Найти объем конуса, если объем шара  равен ³²/₃ π см³.

2247.  Доказать, что объем конуса равен ¹/₃ произведения боковой поверхности на расстояние от центра основания до образующей.

2248.  Даны шар, цилиндр с квадратным осевым сечением и конус. Цилиндр и конус имеют одинаковые основания, а их высоты равны диаметру  шара.   Как  относятся  объемы  цилиндра,  шара и конуса?

2249.  Радиус основания конуса равен R, а угол при вершине в развертке его боковой поверхности равен 90°. Определить объем конуса.

2250.  Вычислить  поверхность тела, полученного от вращения ромба с площадью Q вокруг одной из его сторон.

2251.  Отрезок АВ — диаметр полуокружности с центром в точке   О.   Внутри этой полуокружности на каждом из радиусов АО и ВО как на диаметрах построены полуокружности. Найти поверхность и объем тела, образованного вращением фигуры, заключенной  между  этими тремя   полуокружностями,   вокруг   АВ,   если АВ = 20см.

2252.   Треугольник со сторонами 10 дм, 17 дм, 21 дм вращается около большей стороны. Определить объем и поверхность полученного тела.

2253.  Найти  отношение  поверхности  и объема шара соответственно к поверхности и объему вписанного куба.

2254.  Найти отношение поверхности   и объема   шара соответственно  к полной поверхности и объему описанного вокруг него конуса с равносторонним осевым сечением.

2255.  Около правильной треугольной призмы, высота которой вдвое больше стороны основания, описан шар. Как относится его объем к объему призмы?

2256.  Определить поверхность шара, описанного около конуса, у которого радиус основания равен R, а высота равна h.

2257.  В  шар вписан конус, образующая которого равна диаметру основания. Найти отношение полной поверхности этого конуса к поверхности шара.

2258.   Боковая поверхность конуса вдвое больше площади основания. Площадь его осевого сечения равна Q. Найти объем конуса.

2259. Равнобочная трапеция с основаниями 2 см и 3 см и острым углом 60° вращается вокруг меньшего основания. Определить поверхность и объем тела вращения.

2260.  Высота   конуса  разделена  на  3  равные  части   и через точки деления проведены параллельно основанию плоскости, разбивающие  конус на три части. Найти объем средней части, если объем конуса равен V.

ОТВЕТЫ