ГЛАВА   3

Поверхности и оъемы тел

Группа Б

2261.  Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна а. Вычислить объем этой пирамиды, если известно, что ее боковая  поверхность в десять  раз больше  площади основания.

2262.  Объем  правильной  восьмиугольной  призмы равен 8 м³, а ее высота равна 2,2 м. Найти боковую поверхность этой призмы.

2263.  Основаниями  усеченной пирамиды служат два правильных  восьмиугольника.   Сторона  нижнего основания равна 0,4 м, а верхнего 0,3 м; высота усеченной пирамиды равна 0,5 м. Усеченная  пирамида достроена до  полной.  Определить  объем  полной пирамиды.

2264.   Найти объем правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания, равной а, и плоскими углами при вершине, равными углам наклона боковых ребер к основанию.

2265.  В   правильной   треугольной  призме  сторона  основания равна 4 см, боковое ребро равно √3  см. В призме проведено сечение через вершину основания параллельно противоположной стороне основания под  углом в 45° к  плоскости  основания.   Найти поверхность большей части призмы.

2266.  В   правильной   четырехугольной   пирамиде   двугранный угол при боковом ребре равен 120°. Найти боковую поверхность пирамиды, если площадь ее диагонального сечения равна S.

2267.  Основанием   пирамиды   служит  параллелограмм  ABCD с площадью т². Диагональ BD перпендикулярна AD; двугранные углы при ребрах AD и ВС равны  45°, а  при   ребрах А В и CD равны 60°. Найти боковую поверхность и объем пирамиды.

2268.  В наклонном параллелепипеде проекция бокового ребра на плоскость основания равна 5 дм, а высота равна 12 дм. Сечение, перпендикулярное боковому ребру,   есть   ромб с  площадью 24 дм² и диагональю, равной 8 дм. Найти боковую поверхность и объем параллелепипеда.

2269.  В треугольной усеченной пирамиде  высота равна 10 м, стороны одного основания равны 27 м, 29 м и 52 м, а периметр другого основания равен 72 м. Определить объем  усеченной пирамиды.

2270.  В основании призмы лежит  трапеция.   Выразить  объем этой призмы через площади S₁ и S₂ параллельных боковых граней и расстояние h между ними.

2271.   Площадь  основания прямой треугольной призмы равна 4 см²,   площади  боковых  граней   равны 9 см²  , 10 см² и 17 см². Определить объем призмы.

2272.   Основанием прямой призмы служит равнобочная трапеция ABCD со сторонами АВ = CD = 13 см; ВС = 11 см; AD =21 см. Площадь ее диагонального сечения  равна   180  см² . Определить полную поверхность этой  призмы.

2273.  Основанием параллелепипеда служит ромб со стороной а и острым углом 30°. Диагональ одной  боковой  грани  перпендикулярна к плоскости основания, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол в 60°. Найти  полную  поверхность и объем параллелепипеда.

2274.  Сторона  основания  правильной треугольной  пирамиды равна а, а высота, опущенная из какой-нибудь вершины основания на противоположную ей боковую грань, равна b. Определить объем пирамиды.

2275.   Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды в три раза больше площади основания. Площадь круга,   вписанного в основание,   численно равна  радиусу этого  круга. Найти объем пирамиды.

2276.   Правильная   треугольная   пирамида   пересечена   плоскостью, проходящей через  вершину   основания и середины двух боковых ребер. Найти отношение боковой поверхности пирамиды к площади основания, если известно, что секущая плоскость перпендикулярна к одной  из боковых  граней.   (Указать,   к  какой именно.)

2277.   Стороны  оснований  правильной   четырехугольной  усеченной пирамиды равны 2 см и 1 см, а высота равна 3 см. Через точку пересечения диагоналей  пирамиды  проведена  параллельно основаниям пирамиды плоскость, делящая пирамиду на две части. Найти объем каждой из полученных  частей.

2278.  Площадь того сечения куба, которое представляет собой правильный шестиугольник, равна Q. Найти полную  поверхность куба.

2279.   Основанием   прямой   призмы   служит   равнобедренный треугольник, основание которого равно а, а угол при нем  равен 45°.  Определить  объем   призмы,   если  ее  боковая   поверхность равна сумме площадей ее оснований.

2280.   Основанием   призмы   ABCA₁B₁C₁   служит   правильный треугольник ABC со  стороной  а.   Вершина   А₁  проектируется в центр  нижнего основания,   а  ребро AA₁ наклонено к плоскости основания  под углом  в  60°.  Определить   боковую   поверхность призмы.

2281.  Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна а. Все диагональные сечения ее равновелики. Найти объем и боковую поверхность этой пирамиды.

2282.   Куб, ребро которого  равно а,   срезан  по  углам  плоскостями так, что от каждой грани  остался  правильный   восьмиугольник. Определить объем полученного многогранника.

2283.  В правильную четырехугольную  пирамиду  вписан  куб так, что четыре его вершины  находятся   на   апофемах   пирамиды и четыре — в плоскости основания.   Все  ребра   пирамиды  равны между собой и каждое из них равно а.   Вычислить  полную  поверхность и объем куба.

2284.  Высота   правильной   усеченной   четырехугольной   пирамиды  равна 3 см,  объем ее 38 см³, а площади  оснований  относятся,   как   4 : 9.   Определить   боковую   поверхность   усеченной пирамиды.

2285.    Найти   отношения   объемов   правильных   тетраэдра   и октаэдра, у которых полные поверхности равны.

2286.   В основании наклонной призмы лежит правильный треугольник со стороной, равной а. Одна из боковых граней призмы перпендикулярна  к  плоскости  основания  и  представляет  собой ромб, диагональ которого равна b. Найти объем призмы.

2287.   В основании четырехугольной  пирамиды лежит  прямоугольник,   площадь   которого равна S;   боковые ребра пирамиды равны между собой и образуют с плоскостью основания угол 45°. Угол  между  диагоналями  основания   равен  60°.   Найти   объем пирамиды.

2288.  Основанием пирамиды служит равносторонний треугольник со стороной, равной а. Одна из боковых граней также равносторонний треугольник и перпендикулярна к плоскости основания. Определить полную поверхность  этой пирамиды.

2289.  Правильная треугольная пирамида рассечена плоскостью, перпендикулярной к основанию и делящей две стороны основания пополам.   Определить  объем отсеченной пирамиды,   если сторона основания первоначальной пирамиды равна а, и двугранный угол при основании содержит 45°.

2290.  Определить объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если сторона большего основания равна а, сторона меньшего   основания    равна   b, а острый   угол   боковой    грани равен 60°.

2291.  Сторона основания   правильной   треугольной пирамиды равна а.  Через одно из ребер   основания   проведена   плоскость, перпендикулярная к противоположному   боковому ребру и делящая это ребро в отношении т : п, считая От вершины основания. Определить полную поверхность пирамиды.

2292.   В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ через вершины А, С и D₁,   проведена   плоскость,   образующая   с   плоскостью основания   двугранный угол в 60°.   Стороны   основания равны 4 см и 3 см.  Найти объем параллелепипеда.

2293.   Основанием пирамиды служит параллелограмм, у которого  стороны   равны 10 см и 18 см,   а площадь   равна  90 см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 6 см. Определить боковую поверхность этой пирамиды.

2294.   В правильный октаэдр вписан куб так, что его вершины находятся на ребрах октаэдра. Во сколько раз поверхность октаэдра больше поверхности вписанного куба?

2295.   Найти объем правильной треугольной пирамиды,  у которой плоский угол при вершине равен 90°, а расстояние между боковым ребром и противоположной стороной основания равно d.

2296.   Площадь того cечения тетраэдра, которое   имеет   форму квадрата, равна т². Найти поверхность тетраэдра.

2297.  В правильной   треугольной   призме через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания проведена плоскость. Она составляет с плоскостью нижнего основания угол в 45°. Площадь сечения равна S. Найти объем призмы.

2298.  В   тетраэдр   помещена   правильная треугольная призма так,   что вершины   одного ее   основания   находятся на   боковых ребрах тетраэдра,   а  другого в плоскости   его основания.   Ребро тетраэдра равно а. Определить объем призмы, если все ее ребра равны.

2299.  Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник   с гипотенузой,   равной с, и острым  углом 30°.   Через гипотенузу нижнего основания и вершину прямого угла верхнего основания проведена плоскость, образующая с плоскостью   основания угол 45°.   Определить объем треугольной пирамиды, отсеченной от призмы плоскостью.

2300.   Боковые грани треугольной   пирамиды взаимно перпендикулярны, а площади их   равны   а², b² и с².  Определить объем пирамиды.

2301.  Основанием пирамиды служит   правильный шестиугольник,со стороной, равной а. Одно из боковых   ребер перпендикулярно к плоскости основания и равно стороне основания. Определить полную поверхность этой пирамиды.

2302.  Основанием пирамиды служит параллелограмм, у которого стороны равны, 10 м и 8 м, а одна из диагоналей равна 6 м. Высота пирамиды проходит через точку   пересечения диагоналей основания   и равна   4 м.   Определить   полную   поверхность этой пирамиды.

2303.  Площади оснований усеченной пирамиды равны S₁ и S₂, а ее объем равен V. Определить объем полной пирамиды.

2304.  Основанием прямого   параллелепипеда служит параллелограмм, один из углов которого равен 30°. Площадь основания равна 4 дм².   Площади   боковых граней   параллелепипеда   равны 6 дм² и 12 дм². Найти объем параллелепипеда.

2305.  Определить   объем   правильной   треугольной  усеченной пирамиды,   у   которой    стороны   оснований   равны 3 м и 2 м, а боковая   поверхность   равновелика   сумме   площадей   оснований.

2306.  Основанием   наклонного   параллелепипеда служит ромб ABCD со стороной, равной а, и острым углом в 60°. Ребро АА₁ также равно а и образует с ребрами АВ и AD углы в 45°. Определить объем параллелепипеда.

2307.  Центры   граней   тетраэдра   служат   вершинами   нового тетраэдра.   Найти   отношение их   поверхностей и   отношение   их объемов.

2308.  В треугольной усеченной пирамиде через сторону верхнего основания проведена плоскость параллельно противоположному   боковому   ребру.   В каком   отношении   разделился   объем усеченной   пирамиды,   если   соответственные   стороны  оснований относятся, как 1 : 2?

2309.   Расстояние   между   любыми   двумя   боковыми   ребрами наклонной треугольной призмы равно а. Боковое ребро равно l и наклонено к плоскости основания под   углом 60°.   Определить поверхность призмы.

2310.  Основанием наклонной призмы служит правильный треугольник со стороной, равной а. Длина бокового ребра равна b, а одно из боковых ребер образует с прилежащими сторонами основания   углы   в 45°.    Определить   боковую   поверхность   этой призмы.

2311.  Доказать, что объем прямой призмы,   основанием которой служит   трапеция, равен   произведению   среднего арифметического между площадями параллельных боковых граней на расстояние между ними.

2312.  В   правильной     усеченной   четырехугольной   пирамиде стороны оснований   равны а и b,   а боковая   поверхность   равна половине полной поверхности. Найти объем пирамиды.

2313.   В треугольной пирамиде, каждое из боковых ребер которой равно а, один плоский угол при вершине пирамиды прямой, а каждый из остальных равен 60°.   Вычислить объем пирамиды.

2314.  Основанием пирамиды служит параллелограмм,  смежные стороны которого равны 9 см и 10 см,   а одна из диагоналей содержит 11 см. Противоположные   боковые ребра равны и каждое из больших ребер равно 10,5 см. Вычислить объем пирамиды.

2315.  Основанием пирамиды служит ромб с диагоналями d₁  и d₂. Высота пирамиды проходит через   вершину   острого   угла ромба. Площадь  диагонального  сечения,   проведенного  через меньшую диагональ, равна Q. Вычислить объем пирамиды.

2316.    В треугольной   пирамиде две   боковые   грани   взаимно перпендикулярны.   Площади этих   граней равны Р и Q, а длина их общего ребра равна а.   Определить объем пирамиды.

2317.  В треугольной   пирамиде   все   четыре   грани — равные равнобедренные треугольники с основанием, равным а, и боковой стороной, равной b. Вычислить объем пирамиды. При всяких ли а и b задача имеет решение?

2318.  У наклонной   треугольной   призмы расстояния боковых ребер друг от друга равны а, b и с. Бокозое ребро равно l , высота призмы равна h. Определить   полную   поверхность призмы.

2319.  Сторона   основания   правильной    треугольной    призмы меньше бокового ребра и равна а. Через сторону верхнего основания    проведена   плоскость,    которая   составляет с плоскостью основания угол в 45° и делит призму на две части.   Определить объем и полную поверхность верхней части призмы.

2320.  Диагонали граней прямоугольного параллелепипеда равны а, b и с. Определить его полную поверхность.

2321.  Длины ребер   параллелепипеда   равны а, b и с.  Ребра, длины которых равны а и b, взаимно перпендикулярны,  а ребро длиной с   образует с   каждым   из   них   угол   в 60°.   Определить объем параллелепипеда.

2322.  Основанием прямого параллелепипеда   служит параллелограмм с углом в 120° и сторонами, равными 3 см и 4 см. Меньшая диагональ параллелепипеда   равна большей диагонали основания. Найти объем параллелепипеда.

2323.   Основанем пирамиды   служит прямоугольник,   площадь   которого равна S. Две боковые грани перпендикулярны к плоскости   основания,    а две   другие   наклонены к ней под   углами в 30° и 60°. Найти объем пирамиды.

2324.   Через   вершину   основания и   середины   двух    боковых ребер   правильной   треугольной   пирамиды   проведена плоскость. Найти отношение боковой   поверхности   пирамиды к площади ее основания, если известно, что секущая плоскость перпендикулярна к боковой грани.

2325.   Из середины   высоты    правильной   треугольной    пирамиды опущены  перпендикуляры   на боковое ребро и на боковую грань. Длины этих перпендикуляров соответственно равны а и b. Найти объем   пирамиды.   При всяких ли а и b задача имеет решение?

2326.  В полушар радиуса R вписан куб так,   что четыре его вершины лежат на основании полушара, а другие четыре вершины   расположены   на   его   сферической   поверхности.   Вычислить объем куба.

2327.  Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 30°. Боковая поверхность конуса равна 3π√3   ед².   Определить объем   правильной   шестиугольной  пирамиды,   вписанной в этот конус.

2328.  Около   шара   радиуса   R   описана   правильная   шестиугольная призма. Определить ее полную поверхность.

2329.  В шар радиуса R вписана   правильная   шестиугольная усеченная   пирамида,   у которой   плоскость   нижнего   основания проходит через центр шара, а боковое   ребро составляет с плоскостью основания угол в 60°. Определить объем пирамиды.

2330.  Около шара описан прямой параллелепипед, у которого диагонали основания равны а и b.   Определить   полную поверхность этого параллелепипеда.

2331.  В шар   радиуса   R вписана   правильная   четырехугольная пирамида.   Определить   объем   этой   пирамиды,  если радиус окружности, описанной вокруг ее основания, равен r.

2332.   Конус образован   вращением   прямоугольного треугольника площади S вокруг одного из катетов. Найти объем конуса, если длина окружности, описанной при вращении этого треугольника точкой пересечения его медиан, равна L.

2333.   Треугольник со сторонами, равными а, b и с, вращается поочередно   около   каждой из   своих   сторон.   Найти   отношение объемов получающихся при этом тел.

2334.  Доказать, что боковая   поверхность конуса, вписанного в шаровой сегмент,   есть среднее   пропорциональное  между площадью основания и боковой поверхностью сегмента.

2335.  Определить объем шарового сектора, если площадь ограничивающей   его   конической   поверхности   равна Q,   а площадь поверхности сферического сегмента равна S.

2336.   Полная поверхность конуса   равна πS квадратных единиц.   Развернутая   на   плоскости   боковая   поверхность   конуса представляет   собой   сектор   с углом   в 60°.   Определить   объем конуса.

2337.  Радиус основания   конуса   равен R,   а боковая поверхность равна сумме площадей основания и осевого сечения. Определить объем конуса.

2338.  Около шара описана правильная треугольная призма, а около   нее   описан   шар.   Найти   отношение   поверхностей   этих шаров.

2339.  Даны   цилиндр   и шар.   Радиусы   основания   цилиндра и большого   круга   шара равны.   Полная   поверхность цилиндра относится к поверхности   шара,  как т : п.   Найти отношение их объемов.

2340.   Найти площадь поверхности шара,   вписанного в пирамиду,   в основании   которой   лежит   треугольник   со сторонами, равными 13 см,  14 см,   и 15 еж,   если вершина пирамиды удалена от каждой стороны основания на 5 см.

2341.   Высота конуса равна h. Разверткой боковой поверхности   этого   конуса   является сектор с центральным   углом   120°. Вычислить объем конуса.

2342.   Вычислить   поверхность   шара,   вписанного в треугольную пирамиду,  все ребра которой равны а.

2343.  Определить   боковую   поверхность   и   объем усеченного конуса с образующей, равной l , описанного около шара радиуса r.

2344.  В   цилиндрический   сосуд,   радиус   основания которого R = 4cм, помещен шар с радиусом r = 3 см. В сосуд наливается вода так,   что   свободная   поверхность   ее касается   поверхности шара   (шар при этом   не всплывает).   Определить   толщину того слоя воды, который получится, если шар из сосуда вынуть.

2345.  Радиус основания   конуса равен R.   Две   взаимно перпендикулярные образующие делят площадь боковой поверхности конуса на части в отношении 1:2. Найти объем конуса.

2346.  Около шара описана правильная четырехугольная усеченная   пирамида,    у   которой   стороны    оснований   относятся, как т : п. Определить отношение объемов пирамиды и шара.

2347. Плоскость, проведенная через вершину конуса, пересекает основание по хорде, длина которой равна радиусу этого основания. Определить отношение объемов образовавшихся частей конуса.

2348.  Основание пирамиды   есть прямоугольный треугольник. Боковые ребра пирамиды равны между собой,   а боковые грани, проходящие   через   катеты,   составляют с плоскостью   основания углы   в 30°   и 60°.   Найти   объем   описанного   около  пирамиды конуса, если высота пирамиды h.

2349.   Параллелограмм,   периметр   которого   равен   2 р,   вращается  вокруг   оси,   проведенной   через   конец   диагонали, равной d, перпендикулярно к ней. Найти поверхность тела вращения.

2350.   Радиус  основания  конуса   равен  R,  а   угол развертки его боковой  поверхности  равен 90°.  Определить объем конуса.

ОТВЕТЫ