|
187. Левую часть первого уравнения представим в виде 1/2 (cos х + cos у). Решив систему, найдем cos х = 1/2; cos у = 1/2.
Отв. х = 2πk ± π/3; у = 2πl ± π/3.
________________________________________________
188. Так как
то второе уравнение можно записать так:
соs(x—у) — cos(x + у) =2m,
Но х + у = α; следовательно,
cos (x — y)= 2 m + cos α,
откуда
x — y = 2πn ± аrс cos(2 m + cos α),
и данная система распадается на две:
________________________________________________
189. Применив формулу  запишем второе уравнение так: 
Заменив cos x cos у на  и х + у на α получим
или
Следовательно, имеем либо
х — у = 2πn ± аrс cos( 2sin α /m — cos α),
либо
y — x = 2πn ± аrс cos( 2sin α /m — cos α).
Каждое из этих уравнений в отдельности надо решить совместно с уравнением х + у = α. Впрочем, из двух систем, которые мы получим, одна отличается от другой лишь тем, что неизвестные обмениваются ролями, поэтому достаточно решить одну из систем.
Отв. x1 (= y2) = πn + α/2 + 1/2 arccos ( 2sin α /m — cos α ),
y1 (= x2) = — πn + α/2 — 1/2 arccos ( 2sin α /m — cos α ),
________________________________________________
190. Решается как предыдущая задача.
Отв.
x1 = π/4 (4n + 1) x2 = — πn
y1 = — πn y2 = π/4 (4n + 1)
________________________________________________
191. Так как 1=20 и 4 = 161/2, то данную систему можно записать так:
{sin х + cos у = 0, sin2 х + cos2 у — Tj-,
откуда получим
1) sin x = 1/2, cos y = — 1/2 и 2) sin x = — 1/2, cos y = 1/2.
Отв. x1 = 180°n + (— 1)n 30°, y1 = 360°n ± 120°;
x2 = 180°n — (— 1)n 30°, y2 = 360°n ± 60°.
________________________________________________
192. Второе уравнение можно представить в виде
где в силу первого уравнения sin x sin у = 1/4√2 .
Получаем систему уравнений:
sin x sin у = 3/4√2 , sin x sin у = 1/4√2 .
Складывая и вычитая их почленно, получим
cos (х — у) = 1/√2 и cos (х + у) = 1/4√2
откуда
х + у = 2πm ± arc cos 1/2√2, х — у = 2πk ± π/4,
где т и k — произвольные целые числа. В каждом из этих уравнений можно взять любой из знаков ±.
Замечание. Числа m + k и т — k тоже целые, но не вполне произвольные (если одно из них четное, то и другое четное, а если одно из них нечетное, то и другое нечетное).
Отв. 1) х = πn + 1/2 arc cos 1/2√2 + π/8 ,
y = πt + 1/2 arc cos 1/2√2 — π/8
2) х = πn + 1/2 arc cos 1/2√2 — π/8 ,
y = πt + 1/2 arc cos 1/2√2 + π/8
3) х = πn — 1/2 arc cos 1/2√2 + π/8,
y = πt — 1/2 arc cos 1/2√2 — π/8
4) х = πn — 1/2 arc cos 1/2√2 — π/8 ,
y = πt — 1/2 arc cos 1/2√2 + π/8
где n = m + k; t = m — k (m и k — любые целые числа).
________________________________________________
193. Возведем в квадрат обе части каждого из данных уравнений и сложим почленно. Получим
l = 4 sin2 у + 1/4 cos2 у, или l = 4(1 — cos2 у) + 1/4 cos2 у,
откуда cos2 у = 4/5 и sin2 у = 1/5
В каждом из выраженийcos cos у = ± 2/√5 и sin у = ± 1/√5 можно взять любой знак (так что в пределах от 0 до 360° угол у может иметь четыре значения). Подставляя эти значения в данные уравнения, находим, что углы x и у удовлетворяют одному из следующих четырех соотношений:
1) cos x = 1/√5 , sin x = 2/√5 , cos у = 2/√5 , sin у = 1/√5 ,
2) cos x = 1/√5 , sin x = — 2/√5 , cos у = 2/√5 , sin у = — 1/√5 ,
3) cos x = — 1/√5 , sin x = 2/√5 , cos у = — 2/√5 , sin у = 1/√5 ,
4) cos x = — 1/√5 , sin x = — 2/√5 , cos у = — 2/√5 , sin у = — 1/√5 ,
Рассмотрим первое из них.
Если взять отдельно равенство cos x = 1/√5 , то оно дает х = 2πn1 ± arc cos 1/√5 Но (по определению главного значения арккосинуса) угол φ = arccos 1/√5 принадлежит первой или второй четверти, где функция синус всегда положительна. Значит, нужно сохранить только знак плюс.
Действительно, из равенства х = 2πn ± φ следует, что sin x = ± φ = ± 2/√5 Между ттем во взятом нами первом соотношении sin x = 2/√5 ( а не —2/√5 ). То же имеет место для угла у, так что в случае соотношения 1) мы получим
х = 2πn + arc cos 1/√5 , у = 2πn1 + arc cos 2/√5 ,
где n и n1—любые целые числа.
Рассуждая так же, найдем, что в случае второго соотношения
х = 2πn — arc cos 1/√5 , у = 2πn1 — arc cos 2/√5
и аналогично для третьего и четвертого соотношений.
Отв. х = 2πn ± arc cos (± 1/√5 )
у = 2πn1 ± arc cos (± 2/√5 )
где знаки в скобках одни и те же для х и для у и знаки перед аркусами также одинаковы.
________________________________________________
|