|
|
|
|
|
ГЛАВА 2 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Ответы и решения |
|
194. Из данной системы сразу получаем x + y = kπ, х — у = l π. Отсюда x = k + l / 2 π, y = k — l / 2 π По условию задачи 0 < k + l < 2, 0 < k — l < 2. Этим неравенствам удовлетворяют следующие 5 пар значений k и l : 1) k = 0, l = 0; 2) k = 1, l = 0; 3) k = l , l = —1; 4) k = l , l = 1; 5) k = 2, l = 0. Ответ: x1 = 0, y1 = 0; x2 = π/2, y2 = π/2; x3 = 0, y3 = π; x4 = π, y4 = 0; x5 = π, y5 = π; ________________________________________________ 195. Преобразуем систему к виду sin2 x = 1 + sin х sin у, cos2 х = l + cos х cos у (1) Складывая и вычитая уравнения системы (1), получаем систему cos 2х — cos (x + y) = 0, l + cos ( x — y) = 0. (2) Первое из уравнений системы (2) можно записать так: cos 2х — cos (x + у) =2 sin ( 3x + y / 2 ) sin (у — x) = 0. Если sin (х— y) = 0, то x — y = kπ. Но из второго уравнения системы (2) находим: cos (x—y) = — 1, х — у = (2п + 1) π. Следовательно, в этом случае имеем бесчисленное множество решений: х — у = (2п + 1) π. Если sin ( 3x + y / 2 ) = 0, то 3х + у = 2kπ. Но х — у = (2п + 1) π. Следовательно,
________________________________________________ 196. Возведем оба уравнения в квадрат, сложим почленно и воспользуемся тождеством sin6 x + cos6 x = 1 — 3/4sin2 2x (см. задачу 50). Получим: sin2 2x = 1. Если sin 2x = 1, то либо х = π/4 +2kπ, либо х = π/4 + (2k + 1)π. В первом случае из исходной системы найдем sin y = cos y = 1/√2 , а во втором случае sin y = cos y = — 1/√2 Аналогично рассматривается случай sin 2x = —1. Ответ: x1 = π/4 +2kπ, y1 = π/4 +2lπ; х2 = π/4 + (2k + 1)π, y2 = π/4 + (2l + 1)π x3 = 3π/4 +2kπ, y3 = 3π/4 +2lπ; х4 = 3π/4 + (2k + 1)π, y4 = 3π/4 + (2l + 1)π ________________________________________________ 197. Первое уравнение можно записать в виде
откуда в силу второго уравнения получаем: sin (x + y) = cos x cos y = √2/2. Следовательно, либо x + y = π/4 +2kπ, (1) либо x + y = — π/4 + (2k + 1)π. (2) Второе уравнение исходной системы преобразуем так: cos (x + y) + cos (x—у) = √2 . Отсюда cos (x—у) = √2 — cos (x + y) (3) Если имеет место (1), то cos (x + y) = √2/2, и из (3) находим cos (x—у) = √2/2 , х — у = ± π/4 +2lπ. Если имеет место (2), то cos (x + y) = — √2/2 и cos (x—у) = 3√2/2 , что невозможно. Итак, для нахождения х и у мы получили систему уравнении x + y = π/4 +2kπ х — у = ± π/4 +2lπ В соответствии с выбором знака во втором уравнении системы (4) получим две серии решений x1 = π/4 + (k + l ) π, y1 = (k — l ) π и x2 = (k + l ) π, y2 = π/4 + (k — l ) π. ________________________________________________ 198. Преобразуем второе уравнение к виду 1/2 [cos (x + y) + cos(x —y)] = a. Но так как х + у = φ, то cos (x —y) = 2а — cos φ. Получаем систему уравнений х + у = φ, x —y = ± arccos (2а — cos φ) + kπ. Ответ: х = φ/2 ± arccos (2а — cos φ) + kπ, у = φ/2 + arccos (2а — cos φ) — kπ, причем а и φ должны быть связаны условием |2а — cos φ | < 1. ________________________________________________ 199. Так как левая часть первого уравнения системы не превосходит единицы, то система может иметь решения лишь при а = 0. Полагая а = 0, получаем систему sin х cos 2у = l, (1) cos х sin 2у = 0. Из второго уравнения системы (1) следует, что либо cos х = 0, либо sin 2у = 0. Если cos x = 0, то при x1 = π/2 + 2mπ из первого уравнения находим y1 = nπ, а при x2 = — π/2 + 2kπ получаем y2 = ( l + 1/2 ) π . Случай sin 2у = 0 не дает новых решений. Итак, система уравнений разрешима лишь при а = 0 и имеет две следующие серии решений x1 = π/2 + 2mπ, y1 = nπ x2 = — π/2 + 2kπ , y2 = ( l + 1/2 ) π ________________________________________________ 200. Заметим, что cos у не может быть равен нулю. Действительно, если cos у= 0, то у = π/2 + kπ и cos (х — 2у) = cos (х — π) = — cos х = 0, sin (х — 2у) = sin (х — π) = — sin х = 0. Но sin х и cos х не могут быть одновременно равны нулю, так как sin2 х + cos2 x = 1. Очевидно, а =/= 0 (в противном случае cos (х — 2у) = sin (х — 2у) = 0). Разделив второе уравнение на первое почленно (в силу сделанных выше замечаний деление возможно), получим: tg (х — 2у) = l, х — 2у = π/4 + kπ. (1) Рассмотрим два случая: а) k четное. В этом случае
Подставляя это значение у в (1), получаем: х = ± 2arccos λ + (4m + k) π + π/4. б) k нечетное. Тогда cos (х — 2у) = — 1/√2 = а cos3 у, у = ± arccos (—λ) + 2mπ. Из (1) найдем: х = ± 2arccos (—λ) + (4m + k) π + π/4. Система разрешима при а > 1/√2 . ________________________________________________ 201. Возводя данные соотношения в квадрат, получим: sin2x + 2 sin x sin y + sin2 у = а2, (1) cos2 x + 2 cos x cos y + cos2 y = b2. (2) Складывая и вычитая (1) и (2) почленно, найдем: 2 + 2 cos (х — y) = а2 + b2, (3) cos 2x + cos 2y + 2cos (x + y) = b2 — а2. (4) Уравнение (4) можно преобразовать к виду 2cos (x + y) [cos(x—у) + 1] = b2 — а2. (5) Из (3) и (5) найдем:
________________________________________________ cos 2х + cos 2у = 2 cos (x + y) cos (x—у), запишем второе уравнение системы в виде 4 cos (х—у) cos (x + y) = 1 + 4 cos2 (х—у). Исходную систему можно заменить следующей эквивалентной: 4 cos α cos (x + y) = 1 +4 cos2 α, (1) х—у = α. (2) Сравним левую и правую части уравнения (1). Имеем | 4 cos α cos (x + y) | < 4 | cos α |. С другой стороны, из неравенства (1 ± 2 cos α)2 > 0 следует, что 4 | cos α | < 1 +4 cos2 α, причем знак равенства здесь имеет место лишь в случае 2 | cos α | = 1. Следовательно, система (1) — (2) может иметь решения лишь при условии, что | cos α | = 1/2 . Рассмотрим две возможности: а) cos α = 1/2 Из (1) находим, что cos (x + y) = 1, т. е. х + у = 2kπ. (3) Решая систему (2) — (3), получаем x1 = α/2+ kπ, y1 = kπ — α/2 б) cos α = — 1/2. Поступая аналогично, находим x1 = ( k + 1/2 ) π + α/2 y2 = ( k + 1/2 ) π — α/2 ________________________________________________ 203. Эта задача аналогична предыдущей. Приведем, однако, несколько иное решение. Применив формулу (14) , представим первое уравнение системы в виде 4 cos2 (х—у) + 4 cos (х + у) cos (х—у) + 1 =0. Положив cos (х—у) = t и пользуясь тем, что х + у = α, получим уравнение 4t2 + 4t cos α + l = 0. (1) Это уравнение имеет вещественные корни лишь при условии, что D = 16 ( cos2 α —1) > 0, т. е. когда | cos α | = l. Рассмотрим два возможных случая: cos α = l и cos α = — 1. Если cos α = l, то из (1) следует, что t = cos (х—у) = — 1/2. Получаем систему х — у = ± 2/3 π + 2kπ, х + у = α, из которой находим x1 = ± π/3 + kπ + α/2 , y1 = + π/3 — kπ + α/2. Если cos α = — 1, то, поступая аналогично, получим x2 = kπ + α/2 ± π/6 y2 = α/2 — kπ + π/6 ________________________________________________ 204. Рассмотрим первое уравнение системы. В силу неравенства (a2 + b2) > 2 |ab| , имеем | tg x + 1/tg x | > 2, причем знак равенства имеет место лишь в случае tg x = l и tg x =— 1. Так как правая часть первого уравнения удовлетворяет условию | 2 sin ( у + π/4) | < 2, то первое уравнение системы может удовлетворяться лишь в следующих случаях: а) tg x = l , б) tg x = — 1, sin ( у + π/4) = l, (1) sin ( у + π/4) = — 1 (2) Система (1) имеет следующие решения: x1 = π/4+ kπ, y1 = π/4 + 2lπ, (3) а система (2) — решения x2 = — π/4+ mπ, y2 = — 3π/4 + 2nπ,. (4) Легко проверить, что решения, определяемые формулами (3), не удовлетворяют второму уравнению исходной системы, а решения, задаваемые формулами (4), удовлетворяют второму ураннеиию (а значит, и всей системе) лишь при нечетном т. Полагая в (4) m = 2k + l. записываем решения исходной системы в виде x = 3π/4+ 2kπ, y = — 3π/4 + 2nπ ________________________________________________ 205. Заметим, что cos х =/= 0, cos у =/= 0, так как в противном случае третье уравнение системы не имеет смысла. Поэтому первый два уравнения можно преобразовать к виду (а — 1) tg2 x = 1— b, (1) (b — 1) tg2 y = 1— a. (2) Но а =/= 1, так как если а = 1, то из (1) будем иметь b =1, что противоречит условию а =/= b. Аналогично, если b =1, то и а =1. Следовательно, (1) можно почленно разделить на (2). Разделив, получим:
Убедимся еще в том, что а =/= 0. Действительно, если а = 0, то из второго уравнения получим, что sin y =/= 0, а из третьего тогда получим, что b = 0, т. е. а = b = 0, что невозможно. В силу этого замечания можем из третьего уравнения найти
Итак,
Если Если же Ответ: а + b = 2аb. ________________________________________________ 206. Второе соотношение можно, в силу первого, переписать так:
или sin β (A cos β — B cos α ) = 0. Это соотношение может быть выполнено либо при sin β = 0 и тогда также sin α = 0, cos β = ± 1, cos α = ± 1, либо при A cos β — B cos α = 0. В этом последнем случае получаем систему
Возведя каждое из этих уравнений в квадрат и сделав замену по формулам sin2 α = 1 — cos2 α и cos2 β = l — sin2 β, получим систему
Отсюда cos2 α и sin2 β находятся единственным образом тогда и только тогда, когда А2(1— В2) =/= 0; в этом случае
Рассмотрим особые случаи, когда А2(1— В2) = 0. Если А = 0, то из (1) получаем cos α = ± 1 и В = 0; в этом случае cos α = ± 1, sin β остается неопределенным. Если В2 =1, то из (2) получаем также А2 = 1, и данные уравнения не содержат параметров А и В; поэтому задача о выражении cos α и sin β через А и В теряет смысл. ________________________________________________ 207. Из второго уравнения заключаем, что sin x = sin ( π/2 — 2у ) ; и, следовательно, либо x = π/2 — 2у + 2kπ, (1) либо х = 2у—π/2 + (2l + 1)π. (2) Обращаясь к первому уравнению данной системы, в случае (1) находим: ctg 2у = tg3 у или (1—tg2 у ) / 2 tg у = tg3 у. Решив биквадратное уравнение, получим tg у = ± √2/2 . Во втором случае, внося х из формулы (2) в уравнение tg x = tg3 у, убеждаемся в отсутствии вещесгвенных решений. Итак, tg у = ± 1/√2 и х = π/2 —2у + 2kπ, откуда y1= arctg 1/√2 + nπ, x1 = π/2+ 2kπ —2arctg 1/√2 — 2πn и y2= — arctg 1/√2 + nπ, x2 = π/2+ 2kπ +2arctg 1/√2 — 2πn или x1 = π/2 —2arctg 1/√2 + 2mπ, y1= arctg 1/√2 + nπ и x2 = π/2 + 2arctg 1/√2 + 2mπ, y2= — arctg 1/√2 + nπ где m, n —любые целые числа. ________________________________________________ 208. Преобразуя левую и правую части первого уравнения, получим:
Это уравнение удовлетворяется в следующих случаях: 1°. x = — y + 2kπ (k = 0, ± 1, ...). 2°. у = 2lπ, х —любое число (l = 0, ± 1, ...). 3°. х = 2mπ, у —любое число (т = 0, ±1, ...). Соотношение 1° совместимо со вторым уравнением системы | х | + | у | = 1 лишь при условии k = 0; действительно, из 1° следует неравенство | х | + | у | > 2| k | π которое при условии | х | + | у | = 1 возможно лишь в случае k = 0. Решая тогда систему х = — y , | х | + | у | = 1, находим два решения: x1 = 1/2 , y1 = — 1/2 и x2 = — 1/2 , y2 = 1/2 , Рассуждая аналогично в случаях 2° и 3°, находим еще две пары решений! x3 =1, y3 = 0; x4 = —1, y4 = 0, а также x5 = 0, y5 = 1; x6 = 0, y6 = — 1. Таким образом, рассматриваемая в задаче система имеет шесть указанных решений. ________________________________________________ 209. Возведем обе части каждого уравнения системы в квадрат и, сложив полученные равенства, будем иметь: sin2 (у —3x) + cos2(у —3x) = 4(sin6x + cos6x), т. е. sin6x + cos6x = 1/4 . (1) Рассмотрим тождество о sin6x + cos6x =1 — 3/4sin2 2x, (2) доказанное в задаче 50. Сравнивая (1) и (2), находим: sin2 2x = 1, sin 2x = ± 1, х = π/4 (2п + 1) (п = 0, ±1, ±2, ...). Перемножив уравнения заданной системы, будем иметы sin (у —3x) cos (у —3x) = 4 sin3x cos3x т. е. sin 2 (у —3x) = sin3 2x. Но sin 2x = ± 1, поэтому sin 2 (у —3x) = ± 1, у —3x = π/4(2m + l) (m = 0, ±1, ±2, ...) Следовательно, у = 3π/4(2n + l) + π/4(2m + l). В процессе решения системы производилось умножение обеих частей уравнений на выражения, содержащие неизвестные, поэтому могли получиться посторонние решения. Проверим, все ли найденные пары значений х и у являются решениями. Должно быть : sin π/4 (2m + 1) = 2 sin3 π/4 (2n + 1), соs π/4 (2m + 1) = 2 cos3 π/4 (2n + 1), или, полагая sin π/4 (2m + 1) = 1/√2 sin πm/2 + 1/√2соs πm/2 и соs π/4 (2m + 1) = 1/√2 соs πm/2 — 1/√2sin πm/2 и делая аналогичную замену в правой части, получим после сокращения на постоянный множитель: sin πm/2+ соs πm/2 = ( sin πn/2+ соs πn/2 )3 соs πm/2— sin πm/2 = ( соs πn/2— sin πn/2 )3 Так как основание степени в правой части этих новых равенств может принимать при целых п только значения 0, +1, —1 и эти значения не изменяются при возведении в третью степень, то sin πn/2+ соs πn/2 = ( sin πn/2+ соs πn/2 )3 соs πn/2— sin πn/2 = ( соs πn/2— sin πn/2 )3 отсюда получаем: sin π/2 m — sin π/2 n = соs π/2 n — cos π/2 m —sin π/2 m + sin π/2 n = соs π/2 n — cos π/2 m Складывая и вычитая последние соотношения, получим: sin π/2 m — sin π/2 n = 0, соs π/2 n — cos π/2 m = 0, (3) или sin π/4(m — n) cos π/4(m + n) = 0, sin π/4 (m — n) sin π/4 (m + n) = 0. Так как cos π/4(m + n) и sin π/4 (m + n) одновременно в нуль не обращаются, то полученная система равносильна уравнению sin π/4 (m — n) = 0, откуда m — n = 4k (k = 0, ±1, ±2, ...). (4) Таким образом, полученные пары значений х и у х = π/4 (2n + 1), у = 3π/4(2n+1) + π/4(2т + 1) дают решения системы тогда и только тогда, когда целые числа n и m связаны соотношением (4). Следовательно, х = π/4 (2n + 1), y = π/4[3(2n + 1) + 2(n + 4k) + l] = π[2(n + k)+l]. Но n + k есть произвольное целое число. Обозначив его через р, будем иметь окончательно х = π/4 (2n + 1), у = π(2р+1) (n, р = 0, ± 1, ±2, ...) ________________________________________________ 210. Возведя в квадрат обе части первого и второго уравнений и переписав третье уравнение без изменений, придем к системе: (sin x + sin у )2 = 4a2, (cos x + cos у)2 = 4b2, (1) tg x tg y = c. Будем искать условия, которым должны удовлетворять числа а, b, с, чтобы система (1) имела хотя бы одно решение. Так как данную систему мы заменяем не равносильной ей системой (1), то надо показать, что обе системы имеют хотя бы одно решение при одних и тех же условиях, наложенных на числа а, b, с. Если данная система при некоторых а, b, с имеет решение, то, очевидно, при тех же а, b, с имеет решение и система (1). Верно и обратное утверждение: если при некоторых а, b, с система (1) имеет решение, то при тех же значениях а, b, с имеет решение и данная система. В самом деле, пусть x1 , y1 есть решение системы (1); тогда осуществляется одна из четырех возможностей: либо sin x1 + sin у1 = 2а, cos x1 + cos у1 = 2b, либо sin x1 + sin у1 = — 2а, cos x1 + cos у1 = 2b, либо sin x1 + sin у1 = — 2а, cos x1 + cos у1 = — 2b, либо sin x1 + sin у1 = 2а, cos x1 + cos у1 = — 2b, Если имеет место первый случай, то x1 , y1 есть решение данной системы; во втором случае данная система имеет, например, решение — x1 , — y1 ; в третьем случае — решение π + x1 , π + y1 ; в четвертом — решение π — x1 , π — y1 ;. Следовательно, данная система имеет хотя бы одно решение тогда и только тогда, когда имеет хотя бы одно решение система (1). Когда же система (1) имеет решение? Складывая и вычитая первое и второе уравнения системы (1), найдем: cos (x — у) = 2(a2 + b2) — 1, cos 2х + cos 2y + 2 cos (x + у) = 4 (b2 — a2), или cos (x — у) = 2(a2 + b2) — 1, cos (х + у) cos (х—у) + cos (x + y) = 2 (b2 — a2), откуда cos (x — у) = 2(a2 + b2) — 1, (a2 + b2) cos (x + y) = b2 — a2. Мы пришли к системе cos (x — у) = 2(a2 + b2) — 1, (a2 + b2) cos (x + y) = b2 — a2, tg x tg y = c. равносильной системе (1). Если a2 + b2 = 0, то второе уравнение удовлетворяется при любых х и у. Из первого уравнения получаем: х — у = π + 2kπ (k = 0, ±1, ±2, ...), третье уравнение дает tg (у + π + 2kπ)tg y = c или tg2 y = c. Последнее уравнение имеет решение при любом c > 0. Если a2 + b2 =/= 0, то имеем:
Эта система имеет решение тогда и только тогда, когда | 2(a2 + b2) — 1 | < 1, (3)
Неравенство (4) при наличии условия a2 + b2 =/= 0 очевидно, справедливо, а неравенство (3) равносильно следующему. 0 < a2 + b2 < 1 Представим левую часть третьего уравнения системы (1) следующим образом:
и подставим в (5) значения cos (x + y) и cos (x—у) из (2). В результате получим, что решение системы (2) будет удовлетворять третьему уравнению исходной системы, если
Мы пришли к следующему результату: данная система имеет хотя бы одно решение в двух случаях:
2) a = b = 0 и с — любое неотрицательное число. ________________________________________________
|
, то а = b, что невозможно.
, то а + b = 2аb.
(1)
(2)
(2)
(4)
(5)
