|
211. Имеем
arcsin ( — √3/2) = — π/3 , arcctg(—1) = 3π/4
arccos 1/√2 = π/4, arccos (— 1) = π.
Отв. 5π/6
________________________________________________
212. Угол φ = arccos x заключен между 0 и 180° (по определению главного значения арккосинуса). Значит, sin φ положителен (или равен нулю).
Имеем cos φ = х , откуда sin φ = + √1 — х2 (перед радикалом берется только знак плюс).
Следовательно,
т. е.
что и требуется доказать.
________________________________________________
213. См. решение предыдущей задачи.
________________________________________________
214. Положим arсctg ( — 3/4) = φ , так что ctg φ = — 3/4 . Угол φ заключен между 90° и 180° (ибо главное значение арккотангенса заключено между 0 и 180°). Требуется найти sin φ/2. Применим формулу
где из двух знаков ± нужно взять только знак + (ибо угол φ/2 принадлежит первой четверти ). Предварительно нужно найти cos φ по формуле
получаем
(перед радикалом берем только знак плюс, так как φ принадлежит второй четверти). Теперь находим
________________________________________________
215. Положим arcsin (— 2√2/3) = φ , так как sin φ = — 2√2/3 . Угол φ заключен в пределах между —90° и 0° ( так как главное значение арксинуса заключено между —90° и + 90°). Требуется найти sin φ/2 . Эта величина - отрицательная. Поэтому , формуле
нужно удержать только знак минус. Получаем
(перед радикалом берем только знак плюс!).
Отв. sin [ 1/2 arcsin (— 2√2/3)] = — 1/√3
________________________________________________
216. Угол φ = arccos (— 4/7) заключен между 90° и 180° (см. решения двух предыдущих задач). Значит, ctg φ/2 положителен, так что
(перед радикалом берется только знак плюс). Сюда подставляем cos φ = — 4/7
Отв. ctg [ 1/2 arccos (— 4/7)] = √33/11
________________________________________________
217. Так как
arctg √3/3 = π/6
arcsin √3/2 = π/3
то имеем
tg (5 • π/6 — 1/4 • π/3) = tg 3π/4 = — 1.
Отв. —1.
________________________________________________
218. Имеем
arctg √3 = π/3
и
arccos 1/2 = π/3
Дальше — как в предыдущей задаче.
Отв. — √3/2
________________________________________________
219. Отв. 1/2
________________________________________________
|