ГЛАВА   5

ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТРИГОНОМЕТРИИ

Группа А

3251.  Сумма двух неравных высот равнобедренного  треугольника равна l, угол при вершине равен α. Найти боковую сторону.

3252.  Угол при основании равнобедренного треугольника равен α. Найти отношение радиусов   вписанной и описанной   окружностей.

3253.   В   ромбе  через вершину острого угла, равного α, проведена прямая, делящая угол α в отношении 1 : 2. В каком отношении эта прямая делит сторону ромба, которую она пересекает?

3254.  В квадрате ABCD через середину М стороны АВ проведена прямая, пересекающая противоположную сторону CD в точке N.   В   каком  отношении  прямая   MN  делит   площадь квадрата, если угол AMN равен   α ?

3255.   Высота  равнобочной  трапеции   равна h,   острый   угол между ее диагоналями равен α. Найти среднюю линию трапеции.

3256.   В  прямоугольном треугольнике даны его площадь S и острый  угол  α. Найти расстояние от точки   пересечения  медиан треугольника до гипотенузы.

3257.  В прямоугольник ABCD (АВ | | CD) вписан треугольник AEF. Точка Е лежит на стороне ВС, точка F — на стороне CD.
 Найти тангенс угла EAF, если ^AB/_BC = ^BE/_EC = ^CF/_FD = k.

3258.   В параллелограмме со сторонами а и b и острым  углом α  найти   тангенсы   углов,   образуемых   диагональю   параллелограмма с его сторонами.

3259.   Основание равнобедренного треугольника равно а, угол при   вершине   равен α.   Найти  длину  биссектрисы,   проведенной к боковой стороне.

3260.  Около круга радиуса R описана равнобочная  трапеция с острым углом α при основании. Найти периметр этой трапеций.

3261.  Доказать, что во всяком треугольнике  разность  между суммой квадратов любых двухх его сторон и произведением   этих сторон, умноженным на косинус угла между ними, есть для данного треугольника величина  постоянная.

3262.   Даны стороны а, b, с   и d  четырехугольника,   вписанного в окружность. Найти его углы.

3263.  Отношение площади прямоугольного треугольника к площади квадрата, построенного на его гипотенузе, равно k.   Найти сумму тангенсов острых углов треугольника.

3264.    Площадь   прямоугольной   трапеции   равна   S,   острый угол   равен  α.   Найти  высоту  трапеции,   зная,   что  ее  меньшая диагональ равна большему основанию.

3265.  Общая   внешняя   касательная  двух внешне касающихся окружностей составляет с линией центров угол α. Найти отношение радиусов этих окружностей.

3266.  Две высоты параллелограмма, проведенные из вершины тупого угла,   соответственно  равны h₁ и h₂  ,  а угол  между ними равен α. Найти большую диагональ параллелограмма.

3267.  Диагональ  прямоугольника   равна d и делит угол прямоугольника в отношении  т : п. Найти периметр прямоугольника.

3268.   В равнобочной трапеции, описанной около круга, отношение  боковой  стороны  к меньшему  основанию равно k. Найти углы трапеции и допустимые  значения k.

3269.  Площадь равнобедренного треугольника равна S, острый угол между  медианами,   проведенными   к его боковым  сторонам, равен α. Найти основание.

3270.  В сегмент, дуга которого содержит α^o, вписан правильный треугольник  так,   что  одна  его  вершина   совпадает с серединой дуги, а две другие — лежат на хорде. Площадь треугольника равна S. Найти радиус дуги сегмента.

3271.    В   равнобедренном   треугольнике   угол  при   основании равен α,   радиус вписанного  круга равен r. Через вершину угла при   основании   и   центр   вписанного   круга   проведена   прямая. Найти отрезок  этой прямой,   заключенный внутри треугольника.

3272.   Найти угол треугольника,   если известно,  что стороны, прилежащие  к этому   углу,   равны а и b,  а биссектриса, проведенная через вершину этого угла, равна l.

3273.   В   равнобедренном   треугольнике   даны   основание а   и угол при основании α. Найти длину медианы, проведенной к боковой стороне.

3274.   Найти отношение периметра трапеции, описанной около окружности, к длине этой  окружности,   если углы   при большем, основании трапеции соответственно равны α и β.

3275.   В   прямоугольном   треугольнике   ABC  острый   угол   А равен α радианам.  Дуга  окружности  с центром в вершине прямого угла С касается гипотенузы в точке D и пересекает катеты, АС и ВС соответственно в точках Е и F.   Найти отношение площадей криволинейных .треугольников ADE и BDF.

3276.   В параллелограмм со сторонами а и b (a < b) и острым углом α вписан ромб;  две его  вершины  совпадают с серединами больших сторон параллелограмма, две другие — лежат на меньших сторонах (или на их продолжениях). Найти углы ромба.

3277.   Около  круга   радиуса  R описана  трапеция   с острыми углами α и β при бoльшем основании. Найти площадь этой трапеции.

3278.   В равнобедренный треугольник с углом α при основании вписана окружность радиуса r.   Найти радиус  окружности, описанной около треугольника.

3279.  Площадь  равнобедренного  треугольника  равна S, угол между   высотой,   проведенной  к боковой  стороне,  и основанием равен α. Найти радиус круга, вписанного в треугольник.

3280.   Равносторонний треугольник   пересечен прямой, проходящей через середину одной из его сторон и составляющей с этой стороной угол α. В каком отношении эта прямая  делит площадь треугольника?

3281.  В квадрат  ABCD вписан  равнобедренный  треугольник AEF:  точка E лежит на  стороне ВС,  точка  F — на стороне CD и AE = AF.   Тангенс  угла   AEF равен  3.   Найти  косинус угла FAD.

3282.  В   равнобедренном  треугольнике   угол между боковыми сторонами равен α, радиус вписанной окружности равен r. Найти площадь треугольника.

3283.  Около круга описана прямоугольная трапеция с острым углом α. Найти высоту трапеции, если периметр ее равен Р.

3284.  В равнобедренном треугольнике угол при основании равен α. Найти отношение  площади   треугольника к площади описанного около него круга.

3285.  В треугольнике даны длины  двух сторон а и b и угол α  между ними. Найти длину биссектрисы, проведенной к третьей стороне.

3286. Показать, что если в треугольнике отношение тангенсов двух углов равно отношению квадратов синусов этих же углов, то треугольник равнобедренный или прямоугольный.

3287.  В прямоугольном параллелепипеде диагональ основания равна d и составляет   угол,   равный  α,   со стороной   основания. Через эту сторону и противоположную ей сторону верхнего основания проведена плоскость,  образующая с плоскостью основания угол,   равный β.   Найти  боковую   поверхность   параллелепипеда.

3288.  Разность между образующей конуса и его высотой равна d, а угол между ними равен α. Найти объем конуса.

3289.  Основанием пирамиды служит правильный треугольник. Одно   боковое   ребро   перпендикулярно   плоскости   основания   и равно l ,  два других — образуют с плоскостью   основания  угол, равный α. В пирамиду вписана прямая призма:   три ее вершины лежат на боковых ребрах   пирамиды,   три другие — на соответствующих  сторонах  основания.  Диагональ  боковой грани призмы составляет с плоскостью основания угол, равный β. Найти высоту призмы.

3290.   Диагонали  осевого  сечения усеченного   конуса точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, считая от большего основания. Угол между   диагоналями,   обращенный к основаниям конуса, равен α. Длина  каждой   диагонали  равна l.   Найти.объем усеченного конуса.

3291.   Найти угол при вершине осевого сечения  конуса,   если центральный угол в развертке  его боковой  поверхности равен α радианам.

3292.  Плоский угол при вершине  правильной   шестиугольной , пирамиды равен углу между боковым ребром и плоскостью основания. Найти этот угол.

3293.   Через  вершину  С основания   правильной  треугольной пирамиды ABCS проведена плоскость перпендикулярно боковому ребру SA. Эта плоскость составляет с плоскостью основания угол, косинус которого равен ²/₃.  Найти   косинус   угла  между двумя боковыми гранями.

3294.  В основании прямой треугольной призмы лежит   равнобедренный треугольник ABC, у которого АВ = ВС = а и угол А равен  α.   Через сторону  АС проведена  плоскость  под  углом φ  ( φ < ^π/₂) к основанию.   Найти   площадь   сечения,   если  известно, что в сечении получился треугольник.

3295.   Треугольник ABC вращается  вокруг прямой, лежащей в плоскости  этого треугольника   проходящей вне его через вершину А и одинаково  наклоненной к сторонам   АВ и АС. Найти объем тела вращения, если АВ = а, АС = b и угол ВАС = α.

3296.   Боковая поверхность правильной треугольной пирамиды в пять раз больше площади  ее основания.   Найти  плоский угол при вершине пирамиды.

3297. Высота конуса равна Н, угол между образующей и высотой равен α. В этот конус вписан другой конус так, что вершина второго конуса совпадает с центром основания первого конуса, а соответствующие образующие обоих конусов взаимно перпендикулярны. Найти объем вписанного конуса.

3298.  Сторона большего основания  правильной  четырехугольной  усеченной  пирамиды  равна а.   Боковое  ребро  и  диагональ пирамиды  cоставляют с  плоскостью основания  углы,   соответственно равные α и β. Найти площадь меньшего основания пирамиды.

3299.  Радиус круга,   вписанного в прямоугольную трапецию, равен r, острый угол трапеции равен α. Эта трапеция вращается вокруг  меньшей  боковой  стороны.   Найти боковую   поверхность тела вращелия.

3300.  В  основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с острым углом α. Диагональ   большей  боковой   грани равна d и образует с боковым ребром угол β. Нарти объем призмы.

3301.  Диагонали осевого сечения цилиндра пересекаются  под углом,   равным α,   обращенным  к основанию.   Объем   цилиндра равен v. Найти высоту цилиндра.

3302.  Найти острый угол ромба, зная, что объемы тел, полученных от вращения ромба вокруг его большей диагонали и  вокруг его стороны, равны.

3303.  Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого боковая  сторона равна а, а угол при  вершине равен α.   Все боковые  ребра  наклонены к  плоскости  основания под углом β. Найти объем пирамиды.

3304.  Основанием прямой призмы служит равнобочная трапеция,  у  которой основания соответственно равны а и b (a > b), а острый  угол  равен α.   Плоскость,   проходящая через большее основание верхней трапеции и меньшее основание нижней трапеций, составляет с плоскостью нижнего основания угол  равный β. Найти объем призмы.

3305.  Угол между диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда   равен α.  Диагональ  параллелепипеда  составляет  с плоскостью основания угол β. Найти высоту параллелепипеда, если его объем равен v.

3306.   Каждое из боковых  ребер  четырехугольной  пирамиды образует с высотой угол α. Основанием пирамиды служит прямоугольник с углом β между диагоналями. Найти объем пирамиды, если ее высота равна h.

3307.  В основание конуса   вписан  квадрат,   сторона которого равна а. Плоскость, проходящая через одну из сторон этого квадрата и через вершину   конуса,   при  пересечении с поверхностью конуса  образует равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине равен α. Найти объем конуса.

3308.   Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно l и  составляет с  плоскостью основания  угол,   равный α.   Найти объем пирамиды.

3309.  Через диагональ нижнего основания правильной четырехугольной призмы и противоположную вершину ее верхнего основания проведена плоскость. Угол  между   равными сторонами сечения равен α. Найти отношение высоты призмы к стороне основания.

3310.  Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник с углом α при вершине.  Диагональ   грани,  противоположной данному  углу,   равна l и составляет с плоскостью основания угол β. Найти объем призмы.

3311.   Боковое ребро правильной треугольной пирамиды образует со  стороной основания угол α. Найти  угол между   боковым ребром и высотой пирамиды и допустимые значения α.

3312.  Плоскость, проведенная параллельно оси цилиндра, делит окружность основания в отношении  т : п.   Площадь сечения равна S. Найти боковую поверхность цилиндра.

3313.   Боковые ребра   правильной треугольной  пирамиды попарно  взаимно   перпендикулярны.   Найти   угол   между   боковой гранью и плоскостью основания.

3314.  В полушар  вписан  конус:  вершина конуса совпадает с центром  окружности,   являющейся   основанием   полушара,   плоскость основания конуса параллельна плоскости основания полушара. Прямая, соединяющая центр основания конуса с произвольной точкой  окружности  большого  круга   полушара,   составляет с плоскостью основания  конуса  угол,   равный α. Найти отношение объема полушара к объему конуса.

3315.  Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с острым углом α. Высота пирамиды равна  H . Все боковые ребра  составляют с плоскостью  основания  один и тот же угол, равный β. Найти объем пирамиды.

3316.  Образующая   конуса   равна  а,   расстояние  от вершины конуса до центра   вписанного в него шара равно b.   Найти угол между образующей и плоскостью основания.

3317.   В конус вписан  шар.   Отношение   радиуса  окружности касания шаровой и конической поверхности к радиусу основания конуса равно k.   Найти косинус угла между образующей конуса и плоскостью основания.

3318. Площадь основания цилиндра относится к площади его осевого сечения, как т : п. Найти острый угол между диагоналями осевого сечения.

3319. В основании прямой призмы лежит ромб с острым углом α. Отношение высоты призмы к стороне основания равно k. Через сторону основания и середину противоположного бокового ребра проведена  плоскость.   Найти  угол между этой плоскостью и плоскостью основания.

3320.  Стороны основания прямого параллелепипеда относятся, как 1 : 2, острый угол в основании   равен α. Найти  угол между меньшей  диагональю  параллелепипеда  и   плоскостью основания, если высота параллелепипеда равна большей диагонали основания.

3321.  Отношение одной из сторон основания  треугольной пирамиды к каждому из остальных   пяти ее ребер   равно k. Найти двугранный угол между двумя равными боковыми гранями .пирамиды и.допустимые значения k.

3322.  Плоскость квадрата  составляет  угол,   равный α, с плоскостью, проведенной через одну из его сторон.   Какой  угол составляет с той же плоскостью диагональ квадрата?

3323.  Боковое ребро  правильной  треугольной  призмы  равно стороне основания. Найти угол между стороной основания и непересекающей ее диагональю боковой грани.

3324.  Диагонали боковых граней прямоугольного параллелепипеда   составляют с плоскостью   основания   углы,   соответственно равные α и β. Найти  угол между   диагональю  параллелепипеда и плоскостью основания.

3325.  Найти угол между пересекающимися диагоналями двух смежных боковых  граней  правильной  четырехугольной  призмы, если  плоскость, в которой  они  лежат,   составляет с плоскостью основания угол, равный α.

3326.  Найти  угол  между  апофемами  двух смежных боковых граней правильной п-угольной пирамиды, если плоский угол при ее вершине равен α.

3327.  Найти косинус угла между апофемой и диагональю основания правильной четырехугольной пирамиды, у которой боковое ребро равно стороне основания.

3328.  В конус вписана треугольная пирамида, у которой боковые ребра попарно взаимно перпендикулярны. Найти угол между образующей конуса и его высотой.

3329.  В грани двугранного   угла,   равного α, проведена  прямая,   составляющая  угол   β с ребром   двугранного  угла.   Найти угол между этой прямой и другой гранью.

3330.  Найти угол между образующей и высотой конуса, у которого боковая поверхность есть среднее пропорциональное  между площадью основания и полной  поверхностью.

3331.  Все боковые  ребра  треугольной  пирамиды  составляют о плоскостью основания один и тот же угол, равный одному   из острых углов прямоугольного треугольника, лежащего в основании пирамиды. Найти этот угол, если гипотенуза этого треугольника равна с, а объем пирамиды равен v.

3332.   Диагональ   прямоугольного   параллелепипеда   равна   l  и составляет с боковым ребром угол α. Найти объем  параллелепипеда, если периметр его основания равен Р.

3333.   Плоскость,   проведенная через  образующую  цилиндра, составляет с плоскостью  осевого сечения,   содержащего ту   же образующую, острый угол, равный α. Диагональ прямоугольника, полученного в сечении цилиндра этой плоскостью, равна l и образует  угол,   равный   β,   с   плоскостью  основания.   Найти  объем цилиндра.

3334.  Сторона ромба равна а, его острый угол равен α. Ромб вращается вокруг прямой, проходящей через его вершину параллельно большей диагонали. Найти объем тела вращения.

3335.  Объем шара равен v. Найти объем его сектора, у которого центральный угол в осевом сечении равен α.

3336.  Угол между высотой правильной треугольной пирамиды и боковым  ребром  равен α (α < ^π/₄) . B каком  отношении  делит высоту пирамиды центр описанного шара?

3337.   Основания  двух   конусов,   имеющих  общую   вершину, лежат в одной плоскости. Разность их объемов равна   v.   Найти объем меньшего конуса, если касательные, проведенные к окружности его основания из произвольной точки окружности основания большего конуса, образуют угол, равный α.

3338.   Боковая грань правильной усеченной треугольной пирамиды составляет с плоскостью основания острый угол, равный α. Найти угол между высотой и боковым ребром пирамиды.

3339.  В конус вписан полушар: большой круг полушара лежит в плоскости основания конуса, а шаровая  поверхность  касается поверхности  конуса.   Найти  объем   полушара, если образующая конуса равна l и составляет с плоскостью основания угол, равный α.

3340.   Стороны  оснований  правильной   n-угольной усеченной пирамиды соответственно равны а и b. Боковая грань составляет с плоскостью основания угол, равный α. Найти боковую поверхность пирамиды.

3341.  В шар вписан конус. Площадь осевого сечения   конуса равна S, а угол между   высотой  и образующей   равен α.   Найти объем шара.

3342.   Основанием   четырехугольной   пирамиды   служит  ромб со стороной а и острым углом α. Все боковые грани   наклонены к  плоскости  основания  под  одним  и  тем же углом, равным β. Найти полную поверхность  пирамиды.

3343.  В основании прямой   призмы  лежит равнобочная  трапеция, у которой  диагональ  равна а и угол между диагональю и  большим  основанием  равен α.   Диагональ  призмы  наклонена к основанию под углом β. Найти объем   призмы.

3344.  Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна а. Угол между пересекающимися диагоналями двух  смежных боковых граней равен α. Найти объем призмы.

3345. Объем конуса равен v. В конус вписана пирамида, в основании которой лежит равнобедренный треугольник с углом между боковыми   сторонами,   равным α. Найти объем пирамиды.

3346.  Через  две  образующие  конуса,   угол между которыми равен α, проведена плоскость. Найти отношение площади сечения к полной  поверхности конуса, если образующая   конуса  составляет с плоскостью основания угол, равный β.

3347.   Отношение боковой поверхности  правильной  треугольной пирамиды   к   площади  ее  основания   равно k.   Найти угол между боковым ребром и высотой пирамиды.

3348.   Через  две образующие  конуса,   угол между которыми равен α, проведена плоскость, составляющая с основанием угол β. Найти объем конуса, если его высота равна h.

3349.   Высота правильной  треугольной  пирамиды   равна   H , двугранный угол при основании равен α. Найти полную поверхность пирамиды.

3350.   Около шара описан усеченный конус, у которого   площадь  одного  основания в четыре раза больше площади  другого основания. Найти угол между образующей конуса и плоскостью его основания.

3351.  Через сторону нижнего основания куба проведена плоскость, делящая объем куба в отношении  т : п, считая от нижнего основания. Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания.

3352.  Высота правильной треугольной призмы равна H. Плоскость,   проведенная   через  среднюю  линию   нижнего  основания и параллельную ей сторону верхнего основания, составляет с плоскостью  нижнего  основания  острый  двугранный  угол  α.   Найти площадь сечения, образованного этой плоскостью.

3353.  Найти боковую поверхность усеченного конуса, описанного  около правильной треугольной усеченной пирамиды,   зная, что острый угол трапеции, служащей боковой гранью пирамиды, равен α и что в эту трапецию можно вписать окружность радиуса r.

3354.  Сторона основания треугольной пирамиды равна а,  прилежащие к ней углы основания соответственно равны α и β. Все боковые  ребра  составляют  с  высотой   пирамиды   один и тот же угол, равный φ . Найти объем пирамиды.

3355.   Расстояние от центра основания конуса до его образующей равно d. Угол между образующей и высотой равен α. Найти полную поверхность  конуса.

3356.   Основанием   пирамиды  ABCD  служит   прямоугольный треугольник ABC (угол С равен 90°). Боковое ребро AD перпендикулярно к основанию. Найти острые углы треугольника ABC, если угол /   DBA = α и угол /  DBC = β   (α < β).

3357.   В правильной шестиугольной призме плоскость,   проведенная  через сторону основания и середину  отрезка,   соединяющего центры оснований, составляет с плоскостью основания острый угол, равный α. Найти площадь сечения, образованного этой плоскостью, если сторона основания призмы равна  а.

3358.  В конус вписан шар, поверхность которого равна площади основания конуса. Найти косинус угла при вершине в осевом сечении конуса.

3359.  Основанием   прямой   призмы   служит    равнобедренный   треугольник, у которого боковая сторона равна а и угол между боковыми сторонами равен α. Найти объем призмы, если ее боковая поверхность равна S.

3360.  Основанием пирамиды, вписанной в конус, служит четырехугольник, у которого смежные стороны попарно равны, а угол между  одной   парой смежных сторон равен α. Найти   отношение объема пирамиды к объему конуса.

ОТВЕТЫ