ГЛАВА   5

ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТРИГОНОМЕТРИИ

Группа Б

3361.   В  остроугольном   треугольнике  ABC   высота   AD = a, высота СЕ = b, острый угол между AD и СЕ равен α . Найти АС.

3362.   Острый   угол   прямоугольного   треугольника   равен   α . Найти отношение радиусов вписанной и описанной окружностей. При каком значении α  это отношение будет наибольшим?

3363.  Дуга АВ сектора АОВ содержит α  радианов. Через точку В и середину С радиуса ОА проведена  прямая. В каком отношении эта прямая делит площадь сектора?

3364.  Основания равнобочной трапеции соответственно равны а и b (а > b), угол при большем  основании  равен α . Найти радиус окружности, описанной около трапеции.

3365.   Найти отношение площади сектора с данным   центральным углом α  радианов к площади вписанного в него круга.

3366.   Боковые стороны трапеции равны соответственно р и q (p < q ), большее основание  равно а. Углы при большем основании относятся, как 2:1. Найти меньшее основание.

3367.   Площадь  равнобочной трапеции равна S, острый угол между ее диагоналями равен α . Найти высоту трапеции.

3368.   Большее основание  вписанной   в  круг  трапеции равно диаметру круга, а угол при основании равен α . В каком отношении точка пересечения диагоналей трапеции делит ее высоту?

3369.  В  равносторонний  треугольник   ABC  вписан равносторонний треугольник      А'В'С' точка А' лежит на стороне ВС, точка В' — на стороне АС и точка С' на стороне АВ. Угол А'В'С равен α . Найти отношение АВ к А'В'.

3370.  В каком отношении делит высоту равнобедренного треугольника ABC точка О, из которой все три стороны видны под одним и тем же углом , если угол при основании треугольника равен α  (α  > ^π/₆ )?

3371.  Высота равнобедренного треугольника равна h и составляет с боковой стороной угол  α  (α  < ^π/₆ ). Найти расстояние между центрами  вписанной  в треугольник и описанной около него окружностей.

3372.  В окружность радиуса R вписан треугольник, вершины которого делят окружность на   три   части в отношении   2 : 5 : 17. Найти площадь треугольника.

3373.  Тангенс угла при  основании равнобедренного треугольника  равен ³/₄. Найти тангенс угла между медианой и биссектрисой, проведенными к боковой стороне.

3374.  Найти  синус   угла   при   вершине  равнобедренного треугольника, если известно, что медиана, проведенная к боковой стороне, составляет с основанием угол, синус   которого равен ³/₅.

3375.   Через   вершину   угла α при основании  равнобедренного треугольника проведена прямая, пересекающая  противолежащую боковую сторону и составляющая с основанием угол β. В  каком отношении эта прямая делит площадь треугольника?

3376.  Через вершины равностороннего треугольника ABC проведены параллельные прямые AD, BE и CF. Прямая  BE  лежит между прямыми AD и СЕ и делит расстояние между ними в отношении т : п, считая от прямой AD. Найти угол BCF.

3377.   Найти косинус острого угла ромба, если прямая, проведенная черeз его вершину,   делит угол в отношении 1:3, а противолежащую сторону — в отношении 3:5.

3378.  Отношение   площади   прямоугольника ABCD   (BC | | AD) к квадрату   его   диагонали   равно k.   Найти угол EAF, где Е и F —соответственно середины сторон ВС и CD .

3379.  Около круга радиуса r описана равнобочная трапеция. Боковая  сторона   трапеции   составляет  с  меньшим   основанием угол α. Найти радиус круга, описанного около трапеции.

3380.  Высота треугольника делит угол треугольника в отношении 2:1,  а основание — на отрезки,   отношение   которых   (большего к меньшему)   равно  k.   Найти   синус   меньшего   угла   при основании и допустимые значения k.

3381.   Гипотенуза прямоугольного треугольника делится точкой касания вписанного круга на отрезки, отношение которых равно k. Найти углы треугольника.

3382.  Отношение боковых   сторон трапеции равно отношению ее периметра к длине   вписанной   окружности и равно k.  Найти углы трапеции и допустимые значения k.

3383.   В   сектор   радиуса R вписана   окружность   радиуса  r. Найти периметр сектора.

3384.   В остроугольном   равнобедренном   треугольнике радиус вписанной окружности в 4 раза меньше радиуса описанной около него окружности. Найти углы треугольника.

3385.  В треугольнике ABC даны   острые углы α  и γ  (α > γ ), прилежащие к стороне АС. Из вершины В проведены медиана BD и биссектриса BE. Найти отношение площади треугольника BDE к площади треугольника ABC.

3386.   Угол при вершине А трапеции ABCD равен α. Боковая сторона АВ вдвое больше меньшего основания ВС. Найти угол ВАС.

3387.   В прямоугольном  треугольнике  найти угол  между медианой и биссектрисой,   проведенными из вершины острого угла, равного α .

3388.   Найти косинусы острых углов прямоугольного треугольника,   зная,   что   произведение   тангенсов   половин   этих   углов равно ¹/₆.

3389.  Стороны   параллелограмма   относятся, как т : п, а диагонали — как p : g. Найти углы параллелограмма.

3390.    Отношение   периметра   ромба к сумме   его   диагоналей равно k. Найти углы ромба и допустимые значения k.

3391.   Найти косинусы углов   равнобедренного   треугольника, у которого точка пересечения высот делит пополам высоту, проведенную к основанию.

3392.  Периметр сектора равен l. Найти расстояние от вершины центрального   угла   сектора   до   центра   окружности,   вписанной в этот сектор, если радиус дуги сектора равен R.

3393.  Показать,   что   если в треугольнике   отношение   суммы синусов двух углов к сумме их косинусов равно синусу третьего угла, то треугольник прямоугольный.

3394.  Найти синус угла ромба, если из середины его стороны противоположная сторона видна под углом, равным α .

3395.  Сторона  треугольника   равна а, разность углов, прилежащих к данной стороне,   равна ^π/₂. Найти  углы  треугольника, если его площадь равна S.

3396.   Тангенс острого угла между медианами прямоугольного треугольника, проведенными к его катетам, равен k. Найти углы треугольника и допустимые значения k.

3397. Радиус дуги сектора равен R, центральный угол АОВ равен α. Через середину С радиуса ОА проведена прямая, параллельная радиусу ОВ и пересекающая дугу АВ в точке D, Найти площадь  треугольника  OCD.

3398.   В   треугольнике даны  сторона  а,   противолежащий  ей угол α и высота h, проведенная к данной стороне.  Найти сумму двух других сторон.

3399.   В квадрат ABCD  вписан   равнобедренный  треугольник AEF:  точка   Е  лежит   на   стороне   ВС,   точка  F— на    стороне CD и AE = EF. Тангенс угла AEF равен ⁴/₃. Найти тангенс угла FEC.

3400.   В треугольнике ABC даны  острые  углы  α  и γ  (α > γ ) при основании АС. Из вершины В проведены высота BD и медиана BE. Найти площадь треугольника   BDE,   если   площадь  треугольника   ABC  равна  S.

3401. В прямоугольном треугольнике меньший острый угол равен α. Через середину гипотенузы проведена прямая, пересекающая больший катет под острым углом β. В каком отношении эта прямая делит площадь треугольника?

3402.   В круг вписана трапеция. Большее основание трапеции составляет с боковой стороной угол α, а с диагональю — угол β. Найти отношение площади круга к площади трапеции.

3403.   В треугольнике ABC угол А равен α и сторона ВС = а. Найти длину биссектрисы AD, если угол между биссектрисой АD и высотой АЕ равен β.

3404.   Равнобедренный треугольник  с  углом  α  при   вершине пересечен   прямой,   проходящей  через вершину   угла   при   основании и составляющей с основанием угол β. В каком отношении эта прямая делит, площадь треугольника?

3405.   Радиус дуги сектора АОВ равен  R,   центральный  угол AОВ равен α .   В   этот   сектор   вписан   правильный   треугольник так, что  одна  его  вершина  совпадает   с   серединой дуги    АВ, а две другие вершины лежат соответственно на   радиусах   ОА   и  ОВ.    Найти сторону треугольника.

3406.   В равнобедренный треугольник с основанием а и углом α при основании вписана окружность. Найти радиус окружности, касающейся вписанной окружности и боковых сторон треугольника.

3407.  Внутри данного угла α расположена точка   на   расстоянии а от вершины и на расстоянии b от  одной  стороны . Найти, расстояние этой точки от другой стороны.

3408.  В прямоугольном треугольнике ABC проведена биссектриса AD острого угла А, равного α. Найти отношение  радиусов окружностей, вписанных в треугольники ABD и  ADC.

3409.   Найти синус  угла   при   вершине   равнобедренного  треугольника, зная, что периметр любого вписанного в него прямоугольника,   две   вершины   которого  лежат  на  основании,   имеет постоянную  величину.

3410.   Боковое  ребро  правильной четырехугольной  пирамиды составляет  с  плоскостью  основания   угол, равный α. Через вершину  основания   и  середину   противолежащего   бокового   ребра проведена плоскость параллельно одной из диагоналей основания. Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания пирамиды.

3411.  Основаниями   усеченной   пирамиды  служат  правильные треугольники.   Прямая,   соединяющая   середину   одной   стороны верхнего  основания   с  серединой параллельной ей стороны нижнего  основания,   перпендикулярна   плоскостям оснований. Большее боковое ребро равно l и составляет с плоскостью основания угол, равный α. Найти длину отрезка, соединяющего центры верхнего и нижнего оснований.

3412.   В основании пирамиды лежит ромб, один из углов  которого равен α. Боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания.   Через  середины  двух   смежных  сторон   основания и вершину пирамиды проведена плоскость. Эта плоскость составляет с плоскостью основания  угол, равный β.  Площадь сечения, образованного этой плоскостью, равна S. Найти сторону ромба.

3413. Основанием пирамиды служит ромб с острым углом, равным α. Все боковые грани составляют с плоскостью основания один   и  тот же угол, равный β. Площадь сечения, проведенного через большую диагональ основания и вершину пирамиды, равна S. Найти объем пирамиды.

3414.  В правильной  треугольной   пирамиде двугранный угол при  основании равен α.   Боковая  поверхность  равна   S. Найти расстояние от центра основания до боковой грани.

3415.  Высота   правильной   треугольной   пирамиды   равна   Н. Боковая грань составляет с плоскостью основания угол, равный α . Через сторону основания и середину противолежащего бокового ребра  проведена  плоскость.  Найти площадь сечения, образованного этой плоскостью.

3416.   В основании треугольной пирамиды лежит равнобедренный треугольник, у которого площадь равна S и угол при вершине равен α. Найти объем пирамиды, если угол между каждым боковым ребром и высотой пирамиды равен β.

3417.  Основанием пирамиды служит равнобочная трапеция, у которой  боковая   сторона   равна  а,   а острый угол равен α. Все боковые  грани  образуют с основанием пирамиды один и тот же угол, равный β. Найти полную поверхность пирамиды.

3418.    Двугранный   угол    при    основании    правильной   треугольной пирамиды равен α, боковая  поверхность пирамиды равна S. Найти расстояние от центра основания до середины апофемы боковой грани.

3419.  Плоский  угол при вершине правильной п-угольной пирамиды равен α. Отрезок прямой, соединяющей центр основания пирамиды  с  серединой  бокового  ребра, равен  а. Найти полную поверхность пирамиды.

3420.  Два   конуса   имеют  концентрические основания и один и тот же угол, равный α, между высотой и образующей. Радиус основания  внешнего конуса равен R. Боковая поверхность внутреннего конуса в два раза меньше полной поверхности внешнего конуса. Найти объем внутреннего конуса.

3421.   В цилиндр вписан прямоугольный параллелепипед, диагональ которого составляет с прилежащими к ней сторонами основания   углы,   соответственно   равные   α и β.   Найти  отношение объема параллелепипеда к объему цилиндра.

3422.  Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с острым  углом α.  Этот  треугольник   вписан   в  основание конуса. Вершина пирамиды совпадает с серединой одной из образующих конуса. Найти отношение объема конуса к объему пирамиды.

3423.  В   правильную четырехугольную пирамиду вписан куб: вершины его верхнего основания лежат на боковых ребрах пирамиды, вершины нижнего основания — в плоскости основания пирамиды. Найти отношение объема куба к объему пирамиды, если боковое ребро пирамиды составляет с плоскостью основания угол, равный α.

3424.  Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды  равна  а;  боковая   грань составляет с плоскостью основания угол, равный α. Найти радиус описанного шара.

3425.   Найти   центральный   угол  в  осевом   сечении  шарового сектора,  если его шаровая поверхность равновелика конической.

3426.   Найти  отношение  объема   шарового сегмента к объему всего  шара,   если  дуга  в осевом сечении сегмента соответствует центральному углу, равному α.

3427.   Гипотенуза  прямоугольного треугольника равна а, его острый  угол равен α.  Треугольник вращается вокруг биссектрисы внешнего прямого угла. Найти объем тела вращения.

3428.  В усеченный конус вписан шар. Сумма длин диаметров верхнего и нижнего оснований конуса,в пять раз больше длины радиуса  шара.   Найти   угол  между  образующей   конуса  и плоскостью основания.

3429.  Отношение  поверхности  шара,   вписанного  в  конус,  к площади  основания конуса равно k. Найти косинус угла между образующей  конуса   и  плоскостью  его  основания и допустимые значения k .

3430.  Отношение объема шара, вписанного в конус, к объему описанного шара равно k. Найти угол между образующей конуса и плоскостью его основания и допустимые значения k.

3431.  В шар, радиус которого равен R, вписан конус; в этот конус вписан цилиндр  с  квадратным  осевым  сечением.  Найти полную   поверхность цилиндра,   если   угол  между  образующей конуса и плоскостью его основания равен α.

3432.  В полушар вписано тело, состоящее из цилиндра и поставленного на него конуса. Нижнее основание цилиндра лежит в плоскости большого круга полушара; верхнее основание цилиндра совпадает с основанием конуса и касается поверхности шара. Вершина конуса лежит на поверхности шара. Образующая конуса составляет с плоскостью его основания угол, равный α. Найти отношение объема тела к объему полушара.

3433.   Боковая грань правильной усеченной треугольной пирамиды составляет с плоскостью основания угол, равный α. Найти отношение полной поверхности пирамиды к поверхности вписанного в нее шара.

3434.  В конус вписан шар. Радиус круга касания поверхности шара и боковой поверхности конуса равен r. Прямая, соединяющая центр шара с произвольной точкой окружности основания конуса, составляет с высотой конуса угол, равный α. Найти объем конуса.

3435.  Отношение  объема   конуса к объему вписанного в него шара  равно k. Найти угол между образующей и плоскостью основания конуса и допустимые значения k.

3436.  Найти  угол  между   образующей  конуса   и   плоскостью основания,   если  боковая   поверхность  конуса равна сумме площадей основания и осевого сечения.

3437.   Угол  между   высотой и образующей конуса равен α. В конус  вписана  правильная треугольная призма: нижнее основание призмы лежит в плоскости основания конуса. Боковые грани призмы — квадраты. Найти отношение боковой поверхности призмы к боковой поверхности конуса.

3438.  Около  шара описана прямая призма, основанием которой  служит ромб. Большая диагональ призмы составляет с плоскостью основания  угол,   равный  α.   Найти острый угол ромба.

3439.   Боковое  ребро  правильной  усеченной четырехугольной пирамиды  составляет  с  плоскостью  основания   угол,   равный α. В пирамиду вписан прямоугольный параллелепипед так, что верхнее его  основание совпадает с верхним основанием пирамиды, а нижнее  основание лежит  в плоскости нижнего основания пирамиды. Найти отношение боковой поверхности пирамиды  к боковой поверхности параллелепипеда, если диагональ параллелепипеда составляет с его основанием угол, равный β.    '

3440.  В конус помещена пирамида: основание пирамиды вписано в основание конуса, а вершина пирамиды лежит на одной из образующих   конуса.   Все   боковые   грани  пирамиды  одинаково наклонены к плоскости основания. Основанием пирамиды служит равнобедренный  треугольник  с углом  при   вершине,   равным α , (α  > ^π/₃).  Найти  отношение объема  конуса к объему пирамиды.

3441.  Центр шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду,  делит высоту пирамиды в отношении т : n, считая от вершины пирамиды. Найти угол между двумя смежными боковыми гранями.

3442.  Отношение стороны  основания  правильной  п-угольной пирамиды   к   радиусу   описанного   шара   равно  k.   Найти  угол между  боковым  ребром  и  плоскостью  основания   и допустимые значения k.

3443.  В конус вписан   цилиндр:   нижнее основание цилиндра лежит в плоскости основания конуса. Прямая, соединяющая центр  верхнего основания цилиндра и точку на окружности основания конуса, составляет с плоскостью основания угол, равный α. Найти отношение объема конуса к объему цилиндра, если угол между образующей и высотой конуса равен β.

3444.  Основанием   пирамиды  служит ромб с острым углом α. Все  боковые   грани   составляют  с плоскостью основания один и тот же  угол,   равный  β.   Найти радиус шара, вписанного в пирамиду, если объем пирамиды равен v.

3445.  Две грани треугольной пирамиды — равные между собой  прямоугольные  треугольники  с  общим катетом, равным l. Угол ; между  этими   гранями  равен α. Две другие грани пирамиды образуют двугранный угол, равный β. Найти радиус шара, описанного около пирамиды.

3446.  Основанием   пирамиды  служит  прямоугольник, у которого   угол  между   диагоналями  равен α. Одно из боковых ребер   перпендикулярно к плоскости основания, а наибольшее из боковых  ребер   составляет  с   плоскостью  основания угол, равный β. Радиус шара, описанного около пирамиды, равен R. Найти объем  пирамиды.

3447.  Основанием  пирамиды служит прямоугольный треугольник,   вписанный  в основание конуса. Вершина пирамиды совпадает  с вершиной конуса.  Боковые грани пирамиды, содержащие  катеты основания, составляют с плоскостью основания углы, соответственно  равные α и β. Найти отношение объема пирамиды  к объему конуса.

3448.   Сторона   квадрата,   лежащего  в основании правильной  четырехугольной   пирамиды,   равна а.   В пирамиду вписана правильная   четырехугольная   призма: вершины верхнего основания лежат на боковых ребрах, вершины нижнего основания — в плоскости основания пирамиды. Диагональ призмы составляет с плоскостью  основания   угол,   равный  φ.   Найти  объем призмы, если боковое ребро пирамиды составляет с плоскостью основания угол,  равный α.

3449.  Сторона   нижнего  основания   правильной усеченной четырехугольной пирамиды равна а, сторона верхнего основания — равна   b.    Боковая    грань   составляет   с плоскостью основания угол,   равный  α .   Через  сторону   нижнего основания и середину отрезка,   соединяющего  центры  оснований, проведена плоскость, пересекающая   противоположную   боковую   грань   по   некоторой прямой. Найти расстояние от этой прямой до нижнего основания.

3450.  Две боковые грани усеченной треугольной пирамиды — равные между собой прямоугольные трапеции с острым углом α. Двугранный  угол  между   этими   гранями  равен  β.   Найти  угол между третьей боковой гранью и плоскостью основания.

3451.   Через две образующие  конуса,   угол  между которыми равен α , проведена плоскость. Площадь сечения относится к полной  поверхности   конуса,  как 2 : π. Найти угол между образующей и высотой конуса.

3452.   Боковая   грань   правильной четырехугольной усеченной пирамиды  составляет  с  плоскостью  основания   угол,   равный α. Плоскость,   проведенная через сторону нижнего основания и параллельную   ей   сторону   верхнего  основания,   образует с  плоскостью основания угол, равный β.  Боковая поверхность пирамиды равна S. Найти стороны верхнего и нижнего оснований.

3453.   Высота   правильной   треугольной   усеченной   пирамиды равна Н и является средним пропорциональным между сторонами оснований. Боковое ребро составляет с основанием угол, равный α. Найти объем пирамиды.

3454.  Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной   пирамиды  относятся,   как  т : п   (т > п).   Высота пирамиды равна Н. Боковое ребро составляет с плоскостью основания угол, равный α. Найти, боковую поверхность пирамиды.

3455.   Через  вершину   конуса   проведена   плоскость, делящая окружность     основания    в    отношении    р : q.    Эта     плоскость отстоит от центра основания конуса на расстоянии, равном а, и составляет  с   высотой   конуса   угол,   равный α. Найти объем конуса.

3456.  Основанием пирамиды служит правильный треугольник. Две   боковые   грани   перпендикулярны   к   плоскости   основания. Сумма  двух  неравных между собой плоских углов при вершине равна ^π/₂. Найти эти углы'.

3457.  Отношение  полной   поверхности   конуса к площади его осевого сечения равно k. Найти угол между высотой и образующей конуса и допустимые значения k. '

3458.  Одна   из   граней треугольной призмы, вписанной в цилиндр,   проходит  через ось цилиндра. Диагональ этой грани составляет   с   прилежащими   к  ней  сторонами  основания   призмы углы,   соответственно  равные  α и β. Найти объем призмы, если высота цилиндра равна Н.

3459.  Две вершины равностороннего треугольника со стороной, равной  а,  лежат  на  окружности верхнего основания цилиндра, а третья вершина — на окружности нижнего основания. Плоскость треугольника составляет с образующей цилиндра угол равный α. Найти боковую поверхность цилиндра.

3460. Найти плоский угол при вершине правильной четырехугольной пирамиды, если этот угол равен углу между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды.

3461. Отрезок прямой, соединяющий точку окружности верхнего  основания цилиндра с точкой окружности нижнего основания, равен l и составляет с плоскостью основания угол, равный α. Найти  расстояние от этой прямой до оси цилиндра, если осевое  сечение цилиндра есть квадрат.

3462.   Основанием  пирамиды  служит прямоугольник. Каждое из боковых ребер равно l и составляет с прилежащими сторонами основания  углы,   соответственно равные α и β. Найти объем пирамиды.

3463.   Точка А лежит на окружности верхнего основания цилиндра,   точка  В — на  окружности  нижнего основания. Прямая   АВ    составляет   с   плоскостью    основания    угол,    равный   α ,  а  с  плоскостью  осевого сечения,   проведенного  через  точку В,   угол, равный β. Найти объем цилиндра, если длина отрезка АВ   равна l.

3464.   В конус вписан куб (одна из граней куба лежит в плоскости основания конуса). Отношение высоты конуса к ребру куба  равно  k.   Найти  угол между образующей и высотой конуса.

3465.   Основанием  пирамиды  служит прямоугольник. Две боковые  грани  перпендикулярны к плоскости основания, две другие — составляют с ней углы, соответственно равные α и β. Найти  боковую  поверхность  пирамиды, если высота пирамиды равна H.

3466.   Одна  из сторон основания прямой треугольной призмы   равна а, а прилежащие к ней углы соответственно равны α и β.  Найти боковую поверхность призмы, зная, что ее объем равен v.

3467.  Одно боковое ребро треугольной пирамиды перпендикулярно  к  плоскости  основания   и   равно l; два других образуют  между собой угол α , а с плоскостью основания — один и тот же  угол,  равный β. Найти объем пирамиды.

3468.   Основанием  пирамиды  служит  равнобочная   трапеция,   у  которой  острый  угол равен α, а площадь равна S. Все боковые грани  составляют с   плоскостью  основания   один и тот же угол, равный β. Найти объем пирамиды.

3469. Косинус угла между двумя смежными боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды равен k. Найти косинус угла между боковой гранью и плоскостью основания и допустимые значения k.

3470. Основанием пирамиды является прямоугольник ABCD (АВ || CD). Боковое ребро ОА перпендикулярно основанию. Ребра ОВ и ОС составляют с основанием углы, соответственно равные α и β. Найти угол между ребром OD и основанием.

3471.   Через диагональ основания и высоту правильной четырехугольной пирамиды проведена плоскость. Отношение площади сечения  к боковой поверхности пирамиды равно k. Найти косинус  угла  между  апофемами  противоположных  боковых граней.

3472.   Боковое ребро правильной треугольной пирамиды в два раза  больше стороны  основания.   Найти  угол между апофемой боковой грани и непересекающей ее высотой треугольника, лежащего в основании пирамиды.

3473.  Сторона  основания  правильной четырехугольной пирамиды равна а. Угол между смежными боковыми гранями равен α. Найти боковую поверхность пирамиды.

3474.  В правильной треугольной пирамиде проведена плоскость через  боковое  ребро  и  высоту.  Отношение  площади  сечения к полной  поверхности пирамиды равно k. Найти двугранный угол при основании.

3475.  Угол  между   высотой  и  образующей  конуса   равен  α. Через вершину конуса проведена плоскость, составляющая угол β с  высотой  (β < α ).  В каком отношении эта плоскость делит окружность основания?

3476.  Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого острый угол между равными сторонами равен α  (α < ^π/₂). Все боковые ребра составляют с плоскостью основания один и тот же угол, равный β. Через сторону основания, противолежащую данному углу α, и середину высоты пирамиды проведена плоскость. Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания.

3477.  Ребра  прямоугольного  параллелепипеда относятся, как 3 : 4: 12.   Через  большее  ребро проведено диагональное сечение. Найти синус угла между плоскостью этого сечения и не лежащей в нем диагональю параллелепипеда.

3478.   Боковая  грань  правильной треугольной пирамиды   составляет с плоскостью основания угол, тангенс которого равен k. Найти тангенс угла между боковым ребром и апофемой противолежащей грани.

3479.  Все  боковые  грани  пирамиды  образуют с плоскостью основания один и тот же угол. Найти этот угол, если отношение полной  поверхности  пирамиды   к  площади  основания   равно k. При каких значениях k задача имеет решение?

3480.  Отношение  полной поверхности правильной n-угольной пирамиды   к   площади   основания   равно  t.  Найти   угол  между боковым ребром и плоскостью основания.

3481.   Косинус угла между боковыми ребрами правильной четырехугольной пирамиды, не лежащими в одной грани, равен k. Найти косинус плоского угла при вершине пирамиды.

3482.   Через сторону ромба проведена плoскость, образующая с диагоналями углы, соответственно равные α и 2α. Найти острый угол ромба.

3483.  Основанием, наклонной призмы АВСА'В'С' (АА'||ВВ'||СС')  служит равнобедренный треугольник, у которого АВ = АС = а и угол САВ = α. Вершина В' верхнего основания равноудалена от всех сторон нижнего основания, а ребро В'В составляет с плоскостью основания угол β. Найти объем призмы.

3484.  Основанием наклонной призмы служит равнобочная трапеция, у которой боковая сторона равна меньшему основанию и  равна  а,   а  острый угол равен β. Одна из вершин верхнего основания призмы равноудалена от всех вершин нижнего основания. Найти объем призмы, если боковое ребро составляет с плоскостью основания угол, равный α .

3485.  Основанием прямой призмы, описанной около шара радиуса r, служит прямоугольный треугольник с острым углом, равным α. Найти объем призмы.

3486.   Диагонали АВ' и СВ' двух   смежных   боковых  граней прямоугольного   параллелепипеда   ABCDA'B'C'D'   составляют с диагональю  АС основания   ABCD  углы,   соответственно равные α и β.   Найти  угол  между   плоскостью   треугольника   АВ'С  и плоскостью основания.

3487.   В  правильной  треугольной   призме   сторона основания равна а,  угол между непересекающимися диагоналями двух боковых граней равен α. Найти высоту призмы.

3488.   В прямоугольном треугольнике через его гипотенузу проведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника угол α, а с одним из катетов — угол β. Найти угол между этой плоскостью и вторым катетом.

3489.   В прямоугольном треугольнике с острым углом α через наименьшую медиану проведена плоскость, составляющая с плоскостью треугольника угол β. Найти углы между этой плоскостью и катетами треугольника.

3490.   Найти   косинус  угла между непересекающимися диагоналями  двух  смежных  боковых граней правильной треугольной призмы, у которой боковое ребро равно стороне основания.

3491.  В   основании   прямой   призмы   лежит   равнобедренный треугольник с боковой стороной, равной а, и углом между боковыми сторонами, равным α. Диагональ  боковой грани,   противолежащей данному углу, составляет со  смежной  боковой гранью угол, равный φ. Найти объем призмы.

3492.  В  основании прямой призмы   лежит треугольник. Два его угла соответственно равны α и β, а площадь   равна S. Прямая, соединяющая вершину верхнего основания с центром круга, описанного  около  нижнего   основания, составляет с плоскостью основания угол, равный φ. Найти объем призмы.

3493.  Основанием  наклонной  призмы  служит прямоугольник со сторонами  а  и  b. Две смежные боковые грани составляют с  плоскостью основания углы, соответственно равные α и β. Найти объем призмы, если боковое ребро равно с.

3494.  Диагональ  прямоугольного  параллелепипеда равна l  и составляет с двумя смежными гранями углы, соответственно равные α и β. Найти объем параллелепипеда.

3495.  В правильной треугольной призме плоскость, проведенная  через  центр  основания  и  центры симметрии двух боковых граней, составляет с плоскостью основания острый угол α. Найти площадь  сечения,   образованного  этой плоскостью, если сторона основания равна а.

3496.   В   прямой  призме  АВСА'В'С'  (АА' || ВВ' || СС' ) стороны основания   АВ и ВС соответственно равны а и b, а угол между ними  равен  α.   Через  биссектрису  данного  угла и вершину А проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания острый угол β. Найти площадь сечения.

3497.  В  основании   прямой призмы АВСА'В'С' (АА' = ВВ' = СС') лежит равнобедренный треугольник ABC с углом α между равными  сторонами   АВ  и   АС.  Отрезок  прямой, соединяющий вершину   А'  верхнего основания  с  центром   круга,   описанного около  нижнего основания,   равен  l и  составляет с   плоскостью основания угол, равный β. Найти объем призмы.

3498.  Основанием   призмы   служит   правильный  треугольник со стороной,   равной  а.   Боковое  ребро равно b и составляет с пересекающими   его сторонами  основания равные углы, каждый из  которых   равен α. Найти объем пирамиды и допустимые значения α.

3499.  Основанием   призмы   служит   прямоугольник.   Боковое ребро составляет равные углы со сторонами основания и наклонено  к  плоскости  основания   под  углом  α.   Найти  угол между боковым ребром и стороной основания.

3500.   На шаровой поверхности радиуса R лежат все вершины равнобочной  трапеции,   у  которой меньшее основание равно боковой   стороне,   а  острый  угол  равен  α.   Найти   расстояние  от центра   шара  до  плоскости  трапеции,   если  большее  основание трапеции равно радиусу шара.

3501.  Высота   конуса  равна  Н,   угол  между   образующей   и плоскостью основания равен α. В этот конус вписан шар. К окружности касания шаровой и конической поверхностей проведена касательная   прямая,   а  через  эту   прямую  проведена плоскость параллельно  высоте  конуса.   Найти площадь сечения шара этой плоскостью.

3502.  Сторона  основания   правильной  треугольной   пирамиды равна а,  двугранный   угол  при   основании   равен α.   Пирамида пересечена плоскостью,   параллельной основанию.   Площадь сечения равна боковой поверхности образовавшейся  усеченной  пирамиды. Найти расстояние от секущей плоскости до основания пирамиды.

3503.  Высота   конуса   равна   Н,   угол  между   образующей   и плоскостью основания равен α. Полная поверхность этого конуса делится    пополам   плоскостью,    перпендикулярной   его   высоте. Найти расстояние от этой плоскости до основания конуса.

3504.   Найти угол между апофемой боковой грани правильной треугольной пирамиды и плоскостью ее основания, зная, что разность  между  этим углом и   углом,   который  составляет боковое ребро пирамиды с плоскостью основания, равна α.

3505.  Катет  прямоугольного треугольника  равен  а, противолежащий ему угол равен α. Этот треугольник   вращается вокруг прямой,   лежащей в  плоскости  треугольника,   проходящей через вершину данного угла и перпендикулярной его биссектрисе. Найти объем тела вращения.

3506.  Отношение объема  прямого  параллелепипеда  к объему вписанного в него шара равно k. Найти углы в основании параллелепипеда и допустимые значения k.

3507.  Образующая усеченного конуса, описанного около шара, равна а, угол между образующей и плоскостью основания равен α. Найти  объем конуса, основанием которого служит круг касания шаровой поверхности с боковой поверхностью усеченного конуса, а вершина совпадает с центром  большего основания  усеченного конуса.

3508.  В шар радиуса R вписаны два конуса с общим основанием; вершины конусов совпадают с противоположными концами диаметра   шара.   Шаровой  сегмент, вмещающий, меньший   конус, имеет в осевом сечении дугу, равную α^o . Найти расстояние между центрами шаров, вписанных в эти конусы.

3509.  Найти отношение объема правильной n-угольной пирамиды к объему вписанного в нее шара, если  угол  между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен α.

3510.   Боковые грани  правильной треугольной  призмы — квадраты.  Найти угол между непересекающимися диагоналями двух боковых граней.

3511.   Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно а и составляет с плоскостью основания угол, равный α. В эту пирамиду вписан  цилиндр с квадратным осевым сечением (основание цилиндра лежит в плоскости основания пирамиды). Найти объем цилиндра.

3512.  В треугольнике  ABC угол А равен  α,   угол В  равен β (α > β) и   биссектриса  BD равна  l.   Треугольники   ABD и BDC вращаются  вокруг  прямой  BD. Найти  объем  общей части этих двух тел вращения.

3513.  Основанием прямой призмы служит равносторонний треугольник. Через одну  из его  сторон  проведена  плоскость, отсекающая  от призмы   пирамиду,   объем   которой   равен  v.  Найти площадь сечения,   если угол   между секущей   плоскостью и плоскостью основания равен α.

3514.  В   правильной   четырехугольной   пирамиде    проведено сечение, параллельное основанию. Прямая, соединяющая вершину основания с  противолежащей   (т. е.   не  принадлежащей  той  же грани) вершиной сечения, составляет с плоскостью основания угол, равный α. Найти площадь сечения, если боковое ребро пирамиды равно диагонали основания и равно  а.

3515.  Основанием   пирамиды   служит   равнобедренный   остроугольный   треугольник,    у   которого  боковая   сторона  равна b, а угол  при   основании   равен α. Все  боковые   ребра   пирамиды составляют с плоскостью основания один и тот же угол, равный β. Найти  площадь сечения  пирамиды  плоскостью,   проходящей через вершину данного угла α, и высоту пирамиды.

3516.  Плоская ломаная линия состоит из п равных отрезков, соединенных в виде зигзага под  углом друг к другу, равным α. Длина каждого отрезка ломаной равна а. Эта  линия  вращается вокруг прямой, проходящей через один из ее концов параллельно биссектрисе угла α. Найти поверхность тела вращения.

3517.  Два  конуса   имеют общую  высоту;   вершины   их лежат на  противоположных концах  этой высоты.   Образующая   одного конуса равна l и составляет с высотой угол, равный α. Образующая другого конуса составляет с высотой угол, равный β. Найти объем общей части обоих конусов.

3518.   Тупоугольный  равнобедренный   треугольник   вращается вокруг прямой,  проходящей  через точку  пересечения его  высот параллельно большей стороне. Найти объем тела вращения, если тупой угол равен α, а противолежащая ему сторона треугольника равна а.

3519.   Боковая сторона равнобедренного треугольника равна а, угол при основании равен α. Этот треугольник вращается вокруг прямой, проходящей через вершину, противолежащую основанию, параллельно  биссектрисе угла  α.  Найти  поверхность тела вращения.

3520.  Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник,    у   которого   радиус   вписанной   окружности  равен   r ,   а острый угол равен α. Все  боковые  ребра  пирамиды  составляют с плоскостью основания  один и тот   же угол,   равный  β. Найти объем пирамиды.

3521.  В конус вписан шар и к  шару проведена  касательная плоскость  параллельно  плоскости  основания   конуса.   В   каком отношении эта плоскость делит боковую поверхность конуса, если угол между образующей  и плоскостью  основания  равен α?

3522.  В основание шарового сегмента вписан   прямоугольный треугольник, у которого площадь равна S, а острый угол равен α.   Найти   высоту   сегмента,   если   его  дуге  в   осевом   сечении соответствует центральный угол, равный β.

3523.  Основанием прямой призмы АВСА'В'С' (АА'||ВВ'||СС') служит равнобедренный треугольник ABC (AB = AC), у которого периметр равен 2р, а  угол при вершине А   равен  α. Через сторону   ВС  и  вершину А'  проведена  плоскость, составляющая  с плоскостью   основания   угол,   равный  β.   Найти   объем  призмы.

3524.  В правильную четырехугольную  пирамиду вписан шар. Расстояние  от центра  шара до  вершины   пирамиды   равно а, а угол  между  боковой  гранью и  плоскостью   основания   равен а. Найти полную поверхность пирамиды.

3525.  Основанием пирамиды служит прямоугольник, у которого угол между диагоналями равен α.   Около этой пирамиды  описан шар данного радиуса R.   Найти  объем  пирамиды,   зная, что все ее боковые   ребра  образуют с основанием  один и тот  же  угол,  равный β.

3526.  Образующая   конуса   равна   l  и  составляет с   высотой угол, равный α. Через две образующие конуса, угол между которыми   равен   β, проведена плоскость.   Найти   расстояние от этой плоскости до центра шара, вписанного в конус.

3527.  Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого площадь равна S, а угол между боковыми сторонами равен α. Все боковые ребра  пирамиды составляют с  плоскостью основания  один  и  тот же  угол.   Найти  этот угол,   если  объем пирамиды равен v.

3528.  Сторона основания правильной четырехугольной призмы равна а, ее объем равен v. Найти косинус угла между пересекающимися диагоналями двух смежных боковых граней.

3529.  Острый угол ромба, лежащего в основании четырехугольной пирамиды, равен α. Отношение полной поверхности пирамиды к квадрату стороны основания равно k. Найти синус угла между апофемой и высотой пирамиды, если все ее боковые грани одинаково наклонены к плоскости основания.

3530.  Сторона основания   правильной   четырехугольной пирамиды  равна а,   плоский  угол   при   вершине  пирамиды   равен α. Найти расстояние от центра основания пирамиды до ее бокового ребра.

3531.  Отношение площади диагонального сечения   правильной четырехугольной   пирамиды  к  площади  ее   основания   равно k. Найти косинус плоского угла при вершине пирамиды.

3532.  Расстояние от стороны основания правильной треугольной пирамиды до противоположного ей ребра в два раза меньше стороны основания. Найти угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды.

3533.  Линейный угол двугранного  угла,  составленного двумя смежными боковыми гранями правильной  четырехугольной пирамиды, в два раза больше плоского угла при вершине  пирамиды. Найти плоский угол при вершине пирамиды.

3534.  В правильной треугольной пирамиде сумма углов, образованных апофемой боковой грани с плоскостью основания и боковым ребром с той же плоскостью равна ^π/₄. Найти эти углы.

3535.  Объем правильной пирамиды равен v. Найти объем пирамиды,  отсекаемой  от данной    плоскостью,   проходящей  через центр   шара,   вписанного  в данную   пирамиду,   параллельно   ее основанию, если двугранный угол при основании равен α.

3536.    Найти  углы  прямоугольного  треугольника,   зная,   что объем тела, полученного от вращения треугольника вокруг меньшего катета, равен сумме объемов тел, полученных от вращения треугольника вокруг его  гипотенузы и вокруг  большего  катета.

3537.  Сторона основания   правильной   четырехугольной   пирамиды равна а, ее боковая поверхность равна S. Найти угол между смежными боковыми гранями.

3538.  Сторона   основания  правильной  треугольной   пирамиды равна а, плоский угол  при  вершине  пирамиды   равен α.   Найти радиус вписанного в пирамиду шара.

3539.   Радиус шара,   вписанного  в  правильную треугольную пирамиду, в четыре раза меньше  стороны  основания   пирамиды. Найти косинус плоского угла при вершине пирамиды.

3540. Боковые ребра и две стороны основания треугольной пирамиды имеют одну и ту же длину а, а угол между равными сторонами основания  равен α.  Найти  радиус описанного шара.

3541.   В конус вписан цилиндр,  высота   которого  равна диаметру   основания   конуса.   Полная  поверхность  цилиндра   равна площади   основания   конуса.   Найти   угол   между   образующей конуса и плоскостью его основания.

3542.  Около шара описана прямая призма, основанием  которой служит ромб с острым углом, равным α. Найти угол между большей диагональю призмы и плоскостью основания.

3543.  В усеченный конус вписан  шар,   объем  которого в два раза меньше объема конуса. Найти угол между  образующей конуса и плоскостью его основания.

3544.    Основанием  пирамиды  служит  равнобедренный  остроугольный треугольник,   у которого  основание  равно а, а противолежащий угол равен α. Боковое ребро пирамиды,   проходящее через вершину данного угла, составляет с плоскостью основания угол, равный β . Найти объем пирамиды,   если   высота   пирамиды проходит через точку пересечения высот основания.

3545.  Площадь сегмента равна S, а дуга сегмента равна α  радианам.   Этот сегмент  вращается  вокруг  своей, оси  симметрии. Найти поверхность тела вращения.

3546.   В   конус   вписан   шар.   Окружность  касания  шаровой и  конической   поверхностей   делит  поверхность  шара в отношении   1:4.   Найти  угол  между  образующей   конуса и плоскостью основания.

3547.   Боковая   поверхность  треугольной  пирамиды  равна S, а каждое из боковых  ребер   равно l. Найти  плоские  углы  при вершине,   зная,  что они образуют арифметическую  прогрессию с разностью, равной ^π/₃.

3548.   Плоский угол  при  вершине  правильной  четырехугольной пирамиды   равен α. Найти  боковую  поверхность   пирамиды, если радиус шара, вписанного в эту пирамиду, равен R.

3549.  Радиус  шара,   описанного  около правильной треугольной пирамиды, равен апофеме пирамиды. Найти угол между апофемой и плоскостью основания пирамиды.

3550.  Образующая конуса равна l и составляет с плоскостью основания  угол,  равный  α.   В этот конус вписан шар, а в шар вписана  правильная  треугольная  призма,   у  которой все ребра равны между собой. Найти объем призмы.

3551.  Около шара радиуса R описана правильная n-угольная пирамида, боковая грань которой составляет с плоскостью основания  угол,   равный  α.   Найти  боковую поверхность пирамиды.

3552.  Основанием  пирамиды  служит  ромб со стороной, равной  а.  Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости  основания   и  образуют между собой угол, равный β. Две другие боковые грани составляют с плоскостью основания угол, равный α. Найти боковую поверхность пирамиды.

3553.   Расстояние   от   середины   высоты  правильной   четырехугольной пирамиды до ее боковой грани равно d. Найти полную поверхность вписанного в пирамиду конуса, если его образующая составляет с плоскостью основания угол, равный α.

3554.  Основанием   пирамиды   SABC  служит  равносторонний треугольник ABC. Ребро SA перпендикулярно к плоскости основания.   Найти   угол  между  боковой  гранью   SBC и плоскостью основания, если боковая поверхность пирамиды относится к площади основания, как 11 : 4.

3555.   Радиус  основания  конуса  равен  R,  угол между образующей  и  плоскостью  основания равен α. В этот конус вписан шар. Через точку Р, лежащую на окружности  касания шаровой и конической поверхностей, проведена касательная прямая к этой окружности, а через эту прямую проведена плоскость параллельно образующей конуса, проходящей через точку, диаметрально противоположную точке Р. Найти площадь сечения шара этой плоскостью.

3556.  В усеченном конусе диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны   и длина каждой из них равна a. Угол между образующей и плоскостью основания равен α. Найти полную поверхность усеченного конуса.

3557.   Расстояние от вершины основания правильной треугольной пирамиды до противоположной боковой грани равно l. Угол между  боковой   гранью  и  плоскостью  основания пирамиды равен α.   Найти  полную   поверхность   конуса,   вписанного   в  эту пирамиду.

3558.   Боковое  ребро  правильной четырехугольной усеченной пирамиды  равно  стороне  меньшего основания  и равно а. Угол между боковым ребром и стороной большего основания равен α. Найти площадь диагонального сечения усеченной пирамиды.

3559.   Высота  конуса составляет с образующей угол α. Через вершину   конуса   проведена   плоскость   под углом  β ( β > ^π/₂ — α) к   плоскости  основания.   Найти   площадь   сечения,   если   высота конуса равна h.

3560.  Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник,   у   которого   один   из  острых   углов  равен  α.  Все боковые ребра  одинаково наклонены к плоскости основания. Найти двугранные углы при основании, если высота пирамиды равна гипотенузе треугольника, лежащего в ее основании.

3561.  В основании прямой призмы АВСА'В'С' (АА' || ВВ' || СС') лежит   равнобедренный   треугольник,   у   которого  АВ = ВС = а и угол АВС = α. Высота призмы равна Н. Найти расстояние от точки А до плоскости, проведенной через точки В, С и А'.

3562.   В   пирамиде,   у   которой   все  боковые грани одинаково наклонены   к   плоскости  основания,   проведена  плоскость через центр вписанного шара параллельно основанию. Отношение площади  сечения  пирамиды  этой плоскостью к площади основания равно k. Найти двугранный угол при основании пирамиды.

3563.   Высота   правильной  треугольной  пирамиды равна Н и составляет   с  боковым  ребром  угол,   равный  α.   Через сторону основания   проведена плоскость, пересекающая противоположное боковое ребро под углом, равным β. Найти объем той части пирамиды,   которая   заключена между этой плоскостью и плоскостью основания.

3564.  Отрезок прямой, соединяющей центр основания правильной  треугольной   пирамиды  с серединой  бокового ребра, равен стороне  основания.  Найти косинус угла между смежными боковыми гранями.

3565.  Основанием  пирамиды служит  квадрат со стороной а; две боковые  грани  пирамиды перпендикулярны к основанию, а большее  боковое   ребро наклонено  к   плоскости  основания   под углом, равным β. В пирамиду вписан прямоугольный параллелепипед: одно его основание лежит в плоскости основания пирамиды, вершины другого основания лежат на боковых ребрах пирамиды. Найти  объем  параллелепипеда,   зная,  что диагональ его составляет с плоскостью основания угол, равный α.

3566.  Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна а, а угол между  боковыми сторонами  равен α. Боковая грань пирамиды, проходящая через сторону основания, противолежащую данному углу α, составляет с  плоскостью  основания   угол,   равный  β. Найти объем конуса, описанного   около этой  пирамиды,   если   все ее боковые   ребра равны между собой.

3567.  Сторона  основания   правильной четырехугольной пирамиды  равна  а,  двугранный угол при основании равен α. В эту пирамиду вписан шар. Найти объем пирамиды, вершинами которой служат точки касания шаровой поверхности с боковыми гранями данной пирамиды и произвольная точка, лежащая в плоскости основания данной пирамиды.

3568.   В  шар радиуса R вписана правильная усеченная четырехугольная   пирамида,   у   которой большее основание проходит через центр шара, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол, равный β. Найти объем усеченной пирамиды.

3569.   На  отрезке  АВ,  равном а, построена как на диаметре полуокружность и проведена хорда CD параллельно АВ. Найти объем тела, образованного вращением треугольника ACD вокруг диаметра  АВ,  если вписанный угол, опирающийся на дугу АС равен α (AC<AD).

3570.  Основанием прямой призмы служит прямоугольный треугольник, у которого один из острых углов равен α. Наибольшая по площади боковая грань призмы — квадрат. Найти угол между пересекающимися диагоналями двух других боковых граней.

3571.  Сторона  основания  правильной четырехугольной пирамиды   равна  а,   угол  между боковым ребром и плоскостью основания равен α  (α > ^π/₄ ). Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через вершину основания перпендикулярно противоположному боковому ребру (т. е. ребру, не лежащему с этой вершиной в одной боковой грани).

3572.   Высота правильной четырехугольной пирамиды образует с   боковым  ребром  угол,   равный  α.   Через  вершину  пирамиды параллельно диагонали основания проведена плоскость, составляющая   угол,   равный  β, со второй диагональю. Площадь полученного сечения равна S. Найти высоту пирамиды.

3573.   Вершина конуса находится в центре шара, а основание конуса  касается   поверхности шара. Полная поверхность конуса равна поверхности шара. Найти угол между образующей и высотой конуса.

3574.  Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник,   у   которого   гипотенуза   равна   с,   а  меньший   из  острых углов  равен  α.   Наибольшее  боковое  ребро составляет с  плоскостью основания угол, равный β. Найти объем пирамиды, зная, что ее высота проходит через точку пересечения медиан основания.

3575.  Сторона правильного  треугольника равна а.  Треугольник  вращается   вокруг  прямой,  лежащей в плоскости треугольника вне его, проходящей через вершину треугольника и составляющей  со  стороной  угол,   равный  α.   Найти   объем  тела  вращения   и   выяснить,   при   каком  значении  а  этот  объем, будет  наибольшим.

3576.   Боковая грань правильной треугольной пирамиды SABC составляет с  плоскостью  основания  угол α.   Через сторону ВС основания и точку D на боковом ребре AS, проведена плоскость. Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания, если  AD : DC = k.

3577.  Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник  с углом  между   боковыми  сторонами, равным α. Пирамида помещена в некоторый цилиндр так, что ее основание оказалось вписанным  в  основание этого цилиндра,   а   вершина  совпала с серединой   одной   из   образующих   цилиндра.   Объем   цилиндра равен v. Найти объем пирамиды.

3578.   Через  вершину   квадрата,   лежащего  в основании правильной призмы, проведена плоскость параллельно противолежащей диагонали квадрата под углом, равным α, к плоскости основания. Найти углы многоугольника в сечении призмы этой плоскостью  (предполагается,   что  высота   призмы  достаточно велика для того, чтобы этим сечением оказался четырехугольник).

3579.   Большее основание равнобочной трапеции равно а, острый  угол  равен  α.   Диагональ  трапеции  перпендикулярна к ее боковой стороне. Трапеция    вращается вокруг ее большего основания.   Найти  объем  тела   вращения.

3580.   В шаровой сектор радиуса R вписан шар. Найти радиус окружности касания поверхностей шара и сектора, если центральный угол в осевoм сечении шарового сектора равен α.

ОТВЕТЫ