ГЛАВА   5

ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ТРИГОНОМЕТРИИ

Группа B

3581.  Стороны   параллелограмма  соответственно  равны а и b (a < b). Меньшая диагональ составляет с меньшей стороной тупой угол,   а  с  большей стороной — угол, равный α. Найти большую диагональ параллелограмма.

3582. В сектор радиуса R с центральным углом α вписан прямоугольник: две его вершины лежат на дуге сектора, две другие — на радиусах. Найти площадь прямоугольника, если острый угол между его диагоналями равен β.'

3583.   В треугольнике   ABC  даны  острые  углы α и γ ( α > γ ) при основании АС. Из вершины В проведены высота BD и биссектриса BE. Найти площадь треугольника  BDE, если площадь треугольника ABC равна S.

3584.   В   сегмент   окружности радиуса R вписаны две равные окружности, касающиеся друг друга, дуги сегмента и его хорды. Найти радиусы этих  окружностей, если центральный угол, опирающийся на дугу сегмента, равен α (α < π).

3585.  Отношение радиуса окружности,  вписанной в равнобедренный   треугольник,   к   радиусу  окружности,   описанной около него, равно т. Найти углы треугольника и допустимые значения т.

3586.   В  параллелограмме даны  две  стороны а и b (a > b) и острый угол α  между диагоналями. Найти углы параллелограмма.

3587.   В сегмент  с  центральным  углом α  вписан правильный треугольник так,   что одна его  вершина  совпадает с серединой хорды сегмента,   а две другие лежат  на  дуге сегмента. Высота треугольника равна h. Найти радиус дуги сегмента.

3588.   Расстояние  между  центрами  двух внешне касающихся окружностей  равно  d.   Угол  между   их общими внешними касательными равен α  радианам. Найти площадь криволинейного треугольника,   ограниченного  отрезком  одной   касательной и двумя соответствующими дугами окружностей.

3589. В параллелограмме даны две стороны а и b (a > b) и высота h, проведенная к большей стороне. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма.

3590.   Стороны   параллелограмма   соответственно равны а и b (a < b).  Из  середины   большей   стороны  параллельная  сторона видна под углом α. Найти площадь параллелограмма.

3591.   В треугольнике даны две  стороны а и b (a > b) и площадь S. Найти  угол  между  высотой и медианой, проведенными к третьей стороне.

3592.  Отношение  радиуса   круга, описанного около равнобочной трапеции, к радиусу круга, вписанного в нее, равно k. Найти углы трапеции и допустимые значения k.

3593.  Отношение  периметра  параллелограмма   к его большей диагонали равно k. Найти углы параллелограмма, если известно, что большая диагональ делит угол  параллелограмма  в отношении 1 : 2.

3594.  В   равносторонний  треугольник   ABC вписан равносторонний треугольник DEF: точка  D  лежит на стороне ВС, точка   Е — на  стороне   АС  и  точка  F — на  стороне  АВ.   Сторона АВ относится к стороне DE, как 8 : 5. Найти синус угла DEC.

3595.  Тангенс угла между медианой и высотой, проведенными к боковой стороне равнобедренного треугольника, равен ¹/₂. Найти синус угла при вершине.

3596.    Прямая,   перпендикулярная   к   хорде  сегмента,   делит хорду в отношении   1 : 4, а дугу — в отношении 1: 2. Найти косинус центрального угла, опирающегося на эту дугу.

3597.  В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. К шару  проведена  параллельно  основанию  пирамиды касательная плоскость, которая разделила  объем пирамиды в отношении т : n, считая от  вершины. Найти угол между высотой пирамиды и ее боковой гранью.

3598.   Через вершину основания правильной треугольной пирамиды проведена плоскость перпендикулярно   противоположной боковой грани и параллельно противоположной  стороне  основания. Эта плоскость составляет с плоскостью основания пирамиды угол, равный α. Найти плоский угол при вершине пирамиды.

3599.  Прямоугольник вращается около оси, проходящей через его   вершину   параллельно   диагонали.   Найти поверхность  тела вращения,   если    площадь   прямоугольника    равна   S,   а   угол между диагоналями равен α.

3600.  Найти радиус шара, касающегося основания и боковых   ребер   правильной   треугольной   пирамиды,   у   которой   сторона основания равна а,   а  двугранный  угол при основании равен α.

3601.  Сторона оснований   правильной  четырехугольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен α.   Найти расстояние  от   центра   шара,   вписанного   в   эту   пирамиду,  до бокового ребра.

3602.  Правильная треугольная пирамида пересечена плоскостью, проходящей  через ее боковое  ребро и высоту.   В сечении   образовался  треугольник   с углом  ^π/₄ при вершине пирамиды. Найти угол между боковой гранью и плоскостью основания  пирамиды.

3603.   Сторона  основания правильной треугольной   пирамиды равна а, плоский угол при вершине равен α. В пирамиду вписан шар.   Найти площадь сечения этого шара   плоскостью,   проходящей через центр основания пирамиды перпендикулярно ее боковому ребру.

3604.  Основанием пирамиды, вписанной в конус, служит четырехугольник,   у   которого  одна  сторона  равна  а,   а   каждая из остальных  трех  сторон  равна  b.   Вершина  пирамиды лежит на середине одной  из образующих.   Найти  объем пирамиды,   если угол между образующей и высотой конуса равен α.

3605.  Отношение объема усеченного конуса к объему вписанного в него шара равно k. Найти угол между образующей конуса и плоскостью его основания и допустимые значения k.

3606.  Осевое сечение цилиндра — квадрат. Отрезок АВ, соединяющий точку   А   окружности   верхнего  основания   с точкой В окружности  нижнего   основания   цилиндра,   равен  а   и отстоит от оси цилиндра  на расстоянии,   равном   b. Найти угол   между прямой АВ и плоскостью основания цилиндра.

3607.   Через вершину основания правильной четырехугольной пирамиды проведена плоскость,   пересекающая   противоположное боковое ребро под прямым  углом.   Площадь сечения в два раза меньше площади основания пирамиды. Найти угол между боковым ребром и плоскостью основания.

3608.  ОМ,  ON  и  ОР — три    попарно   взаимно   перпендикулярных  луча.   На  луче ОМ взята точка   А на расстоянии ОА, равном а; на лучах ON и ОР взяты соответственно точки В и С так, что угол ABC равен α,   а   угол   АСВ   равен β. Найти ОВ и ОС.

3609.  В конус вписан  шар.   Окружность касания шаровой и конической  поверхностей делит объем  шара в   отношении 1 :2. Найти угол между образующей и плоскостью основания.

3610.  Поверхность шара, вписанного в правильную усеченную треугольную пирамиду,  относится  к  полной   поверхности пирамиды, как π : 6√3 . Найти угол  между  боковой   гранью и плоскостью основания  пирамиды.

3611.   Угол между плоскостями двух   равных  прямоугольных треугольников  ABC и   ADC с общей   гипотенузой АС равен α. Угол между равными катетами  АВ  и   AD равен β. Найти угол между катетами ВС и CD.

3612.  Сторона нижнего  основания   правильной усеченной четырехугольной пирамиды   в пять   раз больше   стороны верхнего основания.   Боковая  поверхность  пирамиды  равна  квадрату   ее высоты. Найти угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания.

3613.   В основании прямой призмы лежит равнобочная трапеция,   диагонали   которой   перпендикулярны  к   соответствующим боковым   сторонам.   Острый   угол между диагоналями   трапеции равен α. Отрезок прямой, соединяющий   вершину верхнего основания с центром окружности,  описанной около нижнего основания, равен l и образует с плоскостью основания угол, равный β. Найти объем призмы.

3614.  В основании   прямой призмы лежит параллелограмм с острым  углом α.   Диагонали   призмы составляют с плоскостью основания углы, соответственно равные β и γ     (β<γ ). Найти объем призмы, если ее высота равна Н.

3615.  Основанием   призмы   служит  правильный треугольник со стороной, равной   а.   Боковое   ребро  равно b и составляет c пересекающими   его  сторонами   основания   углы, соответственно равные α и β. Найти объем призмы.

3616.  Основанием призмы служит параллелограмм с  острым углом, равным α . Боковое ребро, проходящее через вершину данного угла α ,   равно b и составляет с прилежащими   сторонами основания  равные  углы,   каждый   из   которых  равен  β. Найти высоту призмы.

3617.  В основании прямого параллелепипеда   лежит параллелограмм с диагоналями, равными а и b (a > b), и острым углом между  ними,   равным   α.   Меньшая   диагональ параллелепипеда образует с большей диагональю основания   острый угол, равный β. Найти объем параллелепипеда.

3618.  Сторона основания  правильной  треугольной  пирамиды равна а, двугранный угол  при  основании  равен α. В эту пирамиду вписана прямая треугольная призма: три ее вершины лежат на апофемах пирамиды,   а   три   другие   вершины — в   плоскости основания пирамиды. Найти объем призмы, зная, что центр вписанного в пирамиду шара   лежит  в  плоскости  верхнего основания призмы.

3619.  Основанием прямой призмы служит ромб. Одна из диагоналей призмы равна  а  и   составляет с плоскостью основания угол, равный α, а с одной из боковых граней — угол, равный β.  Найти объем призмы.

3620.  Отношение двух  отрезков,  заключенных между параллельными плоскостями, равно k, а углы, которые каждый из этих отрезков составляет с   одной   из   плоскостей, относятся соответственно, как 2 : 3. Найти эти углы и допустимые значения k.

3621.  Угол между  плоскостью  квадрата  ABCD   (AB || CD) и   некоторой плоскостью Р равен α, а   угол между стороной АВ и той же плоскостью равен β.   Найти  угол  между   стороной  AD и плоскостью Р.

3622.  В правильной четырехугольной  призме ABCDA'B'C'D', (АА' || ВВ' || СС' || DD') через середины   двух смежных сторон основания DC и  AD и  вершину   В'   верхнего основания проведена плоскость.   Найти   угол   между   этой   плоскостью  и плоскостью основания, если периметр сечения в три раза больше диагонали основания.

3623.   Расстояния от центра основания   правильной четырехугольной пирамиды до боковой грани и до бокового ребра соответственно равны а и b. Найти двугранный угол при основании пирамиды.

3624.  Основанием пирамиды служит правильный треугольник. Одна из боковых граней пирамиды перпендикулярна к плоскости основания.   Найти косинус угла между двумя другими боковыми гранями, если обе они  составляют о плоскостью основания один и тот же угол, равный α.

3625.  Основанием наклонной  призмы служит   прямоугольный треугольник с острым  углом,   равным  α.   Боковая грань, содержащая   гипотенузу,   перпендикулярна   к   основанию,   а боковая грань, содержащая катет,   прилежащий к   данному углу, составляет с основанием острый угол,   равный β.   Найти   острый угол между третьей боковой гранью и основанием.

3626.  Сторона ВС треугольника ABC, лежащего   в основании , наклонной призмы АВСА'В'С' (АА'||ВВ'||СС), равна а, прилежащие к ней углы равны соответственно β и γ. Найти угол между боковым ребром  и   плоскостью   основания,   если   объем   призмы равен v и А'А = А'В = А'С.

3627.  В правильную усеченную треугольную пирамиду вписаны два шара:   один  касается  всех   ее граней,  другой — всех ребер. Найти синус  угла  между   боковым  ребром и   плоскостью основания.

3628.  В основании четырехугольной  пирамиды   лежит равнобочная трапеция с основаниями а и b (a >2b) и углом φ между неравными отрезками ее диагоналей. Вершина пирамиды, проектируется в точку пересечения  диагоналей   основания.  Углы, которые составляют с плоскостью основания боковые грани, проходящие через основания трапеции, относятся, как 1 : 2. Найти объем пирамиды.

3629.  Сторона основания  правильной  треугольной   пирамиды равна а. Боковая грань составляет с плоскостью основания угол, равный α. Найти   расстояние  между   боковым  ребром   и непересекающей его стороной   основания.

3630.  В треугольной  пирамиде  все   грани — правильные треугольники. Через  сторону  основания   проведена  плоскость,  делящая объем пирамиды в отношении   1 :3, считая от основания. Найти угол между этой плоскостью и плоскостью основания.

3631.  В   правильной   четырехугольной   пирамиде   через   два боковых ребра, не принадлежащих одной   грани, проведена плоскость. Отношение площади  сечения к   боковой поверхности пирамиды равно k. Найти угол  между  двумя смежными боковыми гранями и допустимые значения k.

3632.   В   основании   прямой   призмы   лежит   параллелограмм с углом между диагоналями, равным φ. Диагонали боковых граней пересекаются соответственно под углами α и β (α > β), обращенными к соответствующим сторонам  основания.   Найти объем призмы, если ее высота равна h.

3633.  Основанием   пирамиды   ABCDE   служит   ромб  ABCD (AB || CD). Высота пирамиды проходит через середину стороны АВ. Боковые ребра ЕС   и  ED составляют   с  плоскостью   основания углы, соответственно равные α и β. Найти  косинус острого угла ромба, если   cos α = ¹/_√3  и cos β = ¹/_√5.

3634.  Сторона  основания правильной  четырехугольной пирамиды равна а. Угол между высотой пирамиды и боковым ребром равен α   (α < arctg ^√2/₂) . Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проведенной через середину высоты перпендикулярно одному из ее боковых ребер.

3635.   АВ — диаметр нижнего основания цилиндра, А'В'—хорда  верхнего основания,  параллельная АВ. Плоскость, проведенная  через  прямые АВ и А'В', составляет с плоскостью нижнего основания цилиндра острый угол, равный α , а прямая АВ' составляет с той же плоскостью угол, равный β. Найти высоту цилиндра, если радиус основания цилиндра равен R. (Точки А и А' лежат по одну сторону от прямой, соединяющей середины отрезков АВ и А'В'.)

3636.  Высота правильной треугольной пирамиды равна Н. Через вершину основания проведена плоскость перпендикулярно к противоположному боковому ребру. Эта плоскость составляет с плоскостью основания угол, равный α. Найти объем той части пирамиды, которая заключена между плоскостью основания и плоскостью сечения.

3637.   Высота правильной четырехугольной усеченной пирамиды равна Н. Боковое ребро составляет с основанием угол, равный α, а диагональ  пирамиды составляет с основанием угол, равный β. Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через диагональ пирамиды параллельно диагонали основания.

3638.   Стороны   нижнего   и   верхнего   оснований   правильной треугольной  усеченной   пирамиды  соответственно   равны   а   и  b  (а > b).  Боковая грань составляет с плоскостью основания угол, равный α.  Найти площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей   через   среднюю  линию   боковой  грани и центр нижнего основания.

3639.   Найти радиус шара, вписанного в правильную треугольную  пирамиду,   у которой   высота равна Н, а угол между боковым ребром и плоскостью основания равен α.

3640.  Радиус   шара,   описанного  около  правильной  четырехугольной   пирамиды,   относится   к  стороне основания, как 3: 4. Найти угол между боковой гранью и плоскостью основания.

3641.   В конус, осевое сечение которого — прямоугольный треугольник,   вписан   цилиндр:   нижнее  основание цилиндра лежит в плоскости основания конуса. Отношение боковой поверхности конуса к боковой поверхности цилиндра равно 4√2. Найти угол между   плоскостью   основания   конуса   и   прямой,   соединяющей центр верхнего основания цилиндра с произвольной точкой окружности основания конуса.

3642.   Основанием   пирамиды   служит   равнобочная   трапеция с  острым углом, равным α. Эта трапеция описана около окружности  основания  конуса. Вершина пирамиды лежит на одной из образующих   конуса  и ее проекция на плоскость основания совпадает с  точкой пересечения диагоналей трапеции. Найти объем пирамиды,   если  образующая   конуса  равна l и составляет с  его высотой угол, равный β.

3643.   Основанием  пирамиды   ABCF служит   равнобедренный треугольник  ABC,  у   которого угол  между   равными сторонами АВ и АС равен α  (α < ^π/₂).   В   пирамиду   вписана   треугольная призма AEDA'E'D': точки А', Е', D' лежат соответственно на боковых ребрах AF, CF и BF пирамиды, а сторона ED основания AED проходит через центр окружности, описанной около треугольника ABC. Найти отношение объема призмы  к объему пирамиды.

3644.  В кубе ABCDA'B'C'D'  (AA'|| ВВ' || СС' || DD') проведена плоскость через середины ребер DD' и D'C 'и вершину А. Найти угол между этой плоскостью и гранью ABCD.

3645.  Отношение   объема  правильной   треугольной   усеченной пирамиды к объему вписанного в нее шара равно k. Найти угол между боковой гранью пирамиды и плоскостью основания и допустимые значения k.

3646.   Отношение  полной  поверхности   конуса к поверхности вписанного в него  шара   равно k.   Найти   угол   между   высотой и образующей конуса и допустимые значения k.

3647.  Отношение боковой поверхности усеченного конуса, описанного около шара, к сумме площадей  его оснований   равно k.  Найти угол между образующей и плоскостью основания и допустимые значения k.

3648.  Образующая усеченного конуса составляет с плоскостью основания угол, равный α. Внутри конуса расположены два шара, касающиеся друг друга и боковой  поверхности   конуса,   причем первый шар касается нижнего основания конуса, второй — верхнего основания.   Расстояние между   центрами   шаров   равно   l. Найти радиусы оснований конуса.

3649.  АВ и СО —взаимно перпендикулярные   диаметры нижнего основания усеченного конуса; EF — диаметр верхнего основания, параллельный прямой CD. Найти косинус острого угла между прямыми АЕ и BF, если образующая  конуса есть среднее пропорциональное между диаметрами оснований и составляет с плоскостью основания угол, равный α (α > ^π/₃).

3650.   Двугранный   угол,    между двумя   смежными   боковыми гранями правильной четырехугольной пирамиды равен α . Высота пирамиды равна H. Найти радиус описанного шара.

ОТВЕТЫ