ГЛАВА   1

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ    ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

50. Доказать тождество

sin⁶ x + cos⁶ x = 1 — ³/₄sin² 2x         Решение

51. Доказать тождество

cos² α + cos² (α + β) — 2 cos α  cos β  cos (α + β) = sin² β     Решение

52.  Доказать,   что  при   всех  допустимых   значениях х имеет место формула

tg х + tg 2х  — tg 3х  = — tg х  tg 2х  tg 3х .      Решение

53. Доказать, что при всех допустимых значениях х справедливо равенство

tg 3х = tg х tg ( ^π/₃ — х) tg ( ^π/₃ + х)            Решение

54. Доказать тождество

 Решение

55. Доказать, что

sin α + sin β + sin γ = 4 cos  ^α/₂ cos ^β/₂ cos ^γ/₂,

если

α + β + γ = π .            Решение

56. Доказать, что при n целом и α + β + γ = π имеет место тождество

sin 2nα  + sin 2nβ + sin 2nγ = (— 1 )^п+14 sin nα sin nβ sin nγ .     Решение

57. Доказать, что если

cos (α + β ) = 0, то    sin (α + 2β ) = sin α.    Решение

58. Доказать, что если 3 sin β =sin (2α + β), то

tg(α + β) = 2tg α

при всех допустимых значениях α и β.    Решение

59. Доказать, что если sin α = A sin (α + β),  то

при всех допустимых значениях α и β.   Решение

60. Показать, что если углы α и β связаны соотношением

то имеет место равенство

Решение

61. Доказать, что если cos x cos y cos z =/= 0 , то имеет место формула

cos (x + y + z) = cos x cos y cos z ( l —tg x tg y— tg y tg z — tg z tg x).   Решение

62. Доказать, что если α , β , γ  — углы треугольника, то имеет место равенство

tg ^α/₂ tg ^β/₂+ tg ^β/₂tg ^γ/₂ + tg ^γ/₂ tg ^α/₂ = 1.      Решение

63. Пусть х  + у  +  z =  ^π/₂ k   Для   каких   целых    значений k сумма

tg у tg z + tg z tg х + tg х tg у

не будет зависеть от х, у, z?   Решение

64. Найти алгебраические связи между углами α , β , γ , если известно, что

tg α + tg β + tg γ = tg α tg β tg γ.    Решение

65. Преобразовать в произведение

ctg² 2x — tg² 2x — 8 cos 4x ctg 4x.     Решение

66. Преобразовать в произведение

sin²  α + sin²  β + sin²  γ + 2 cos α cos β cos γ — 2.    Решение

67. Вычислить без таблиц

     Решение

68. Доказать, что

cos^π/₅ — cos  ^2π/₅ = ¹/₂    Решение

69. Доказать, что

cos ^2π/₇+ cos ^4π/₇ + cos ^6π/₇ = — ¹/₂.    Решение

70. Вычислить без таблиц

sin^{4 π}/₁₆+ sin^{4  3π}/₁₆+ sin^{4   5π}/₁₆ + sin^{4   7π}/₁₆        Решение

71. Доказать, что

tg20°  tg40°  tg80°=√3        Решение