РЕШЕНИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

УПРАЖНЕНИЯ

1.Вычислить площадь ромба по его стороне а = 7,5 см и острому углу  = 22°12'.

2.Диагонали ромба d₁ = 28 см и d₂ = 49 см; вычислить углы ромба.

3.По основанию b = 28,13 м и боковой стороне а =17,53  м  равнобедренного  треугольника  вычислить  угол  при основании.

4. По основанию b= 31,26 м и высоте h = 20,75 м равнобедренного треугольника вычислить угол при его вершине.

5.Основание трапеции а и b, одна из боковых сторон с, острый угол, прилежащий к ней, . Определить площадь трапеции.

6.В кругу радиуса R = 4,175 м вычислить длину хорды, стягивающей дугу  = 37°42'.

7.Смежные стороны прямоугольника а = 75,2 см  та b = 63,6 см; вычислить, на какие части делит диагональ прямоугольника угол при его вершине.

8. Смежные стороны прямоугольника а = 13,5 см и b  = 7,4 см. Вычислить угол между его диагоналями.

9.  В круге радиуса R = 35,8 см проведена хорда длиной а = 28,7 см. Найти число градусов и минут в меньшей дуге, стягиваемой этой хордой, и расстояние хорды от центра круга.

10. Хорда равна ³/₄ диаметра круга. Определить число градусов и минут в меньшей дуге, которая стягивается этой хордой.

11. Угол , вписанный в окружность, опирается на хорду, длина которой а. Определить радиус круга.

12. Дан круг радиуса R = 3,35 см. Из точки, отстоящей от центра на а = 8,32 см (а > R), проведены две касательные. Вычислить угол между касательными.

13. Линия центров двух кругов, один из которых расположен вне другого, равна d = 6,245 м, а радиусы их равны R =  3,065 м и r =1,007 м. Определить углы, под которыми общие внутренняя и внешняя касательные этих кругов пересекают линию их центров.

14.Боковая   сторона   равнобедренного треугольника а, угол при вершине ß. Определить радиусы описанной (R) и вписанной (r) в этот треугольник окружностей.

15.  Определить радиус круга, описанного около прямоугольного треугольника, катет которого равен а, а прилежащий к пому острый угол равен ß.

16.

С маяка, высота которого над уровнем моря Н 150 м, определяют расстояние до проходящего мимо парохода. Угол понижения = 9° . Вычислить искомое расстояние.

17.Самолёт радирует капитану рыболовецкого судна, что он находится над косяком рыбы на высоте Н  950 м. С судна определяют угол    26°30' возвышения самолёта. Вычислить расстояние судна от косяка рыбы .

18.Чтобы измерить высоту башни главного входа здания Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, измерили угломерным инструментом угол возвышения . Расстояние угломера от главного входа равно а. Вычислить приближённое значение определяемой высоты, если высота угломерного инструмента h (    53°; а  180 м; h 1,2 м).

19.Штурман на карте прокладывает курс корабля и при прохождении мимо маяка измеряет угол возвышения . Вычислить отрезок, который на карте отложит штурман от точки, изображающей маяк, для установления местонахождения корабля. Высота маяка   H,  масштаб  карты1:100000 (   2°50'; H 150 м).

20.Чтобы определить ширину реки, проводят на одном берегу, непосредственно у воды, базис AB, равный а ; из конца А базиса, по перпендикулярному к нему направлению, на противоположном берегу у самой воды видно дерево С; из другого же конца В базиса это дерево видно под углом ß к базису. Вычислить ширину реки, если а  45 м и ß   25°

21.Горная   железная   дорога   поднимается   на   0,5 м   на каждые 30 м пути. Найти угол подъёма.

22. Поперечный разрез насыпи, при постройке которой был применён наибольший возможный откос , представляет равнобедренную трапецию.Нижнее основание трапеции а, высота h. Вычислить верхнее основание трапеции, если а  10,0 м, h  3,0 м и    39°.

23. Две точки выходят одновременно из вершины прямого угла и движутся равномерно первая по одной, а вторая по другой стороне этого угла; первая проходит по а метров, а вторая — по b метров в секунду. Под каким углом  к направлению движения первой точки видна из неё вторая точка?

24.На прямой MN взята точка А, и из неё под острым углом  к прямой MN проведён отрезок АВ длиной а. Определить проекцию отрезка AВ на прямую MN. Как изменяется величина этой проекции при увеличении угла  от 0 до 90°?

25. Две силы: Р 4,ЗкГ  и  Q 5,6 кГ — направлены перпендикулярно друг к другу. Найти равнодействующую этих сил и угол, который она образует с направлением силы Р.

26. Принимая Землю за шар с приближённым значением диаметра, равным 12 740 км, по широте места  определить длину окружности параллели, соответствующей этому месту. Вычислить для Москвы при   56°.

27. Вагонетка весом Р движется по рельсам в гору под углом . Какую наименьшую силу нужно приложить, чтобы удержать вагонетку на месте, если Р 0,7т и    12°40'?

28. Большее основание трапеции служит диаметром описанной около неё окружности, радиус которой равен R. Острый угол трапеции . Определить площадь трапеции.

29.В угол 2 вписан круг радиуса R. К этому кругу проведена касательная, перпендикулярная к биссектрисе угла (между вершиной угла и окружностью). Определить периметр отсечённого треугольника.

30.К двум внешне касающимся друг друга кругам проведены две общие внешние касательные, образующие угол . Радиус большего круга R. Найти радиус меньшего круга.

31.  Радиус круга, вписанного в прямоугольный треугольник с острым углом , равен r. С центром в вершине угла  построена   окружность,   касающаяся   противолежащего   катета.   Определить длину этой окружности.

32.  Основание  равнобедренного треугольника  равно  b, угол при основании равен . Определить периметр треугольника.

33.  1) Определить  площадь треугольника  по двум его углам  и ß и по высоте h , опущенной из вершины третьего угла.

2) Доказать, что площадь всякого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

34. Хорда а, проведённая из конца диаметра круга, образует с диаметром угол . Через другой конец хорды проведена касательная к кругу и продолжена до пересечения с диаметром. Определить отрезок касательной от точки касания до общей точки её с продолжением диаметра.

35. В равнобедренный треугольник с углом  при основании вписана  окружность.Периметр треугольника,  полученного соединением точек касания, равен р. Определить периметр данного треугольника.

36.  В круговой сектор радиуса R с центральным углом  вписан круг. Определить радиус круга.

37. Расстояние между центрами двух внутренне касающихся окружностей равно d. Касательная, проведённая к меньшей окружности из центра большей, составляет с линией центров угол . Определить, радиус большей окружности.

38. Диагональ трапеции, вписанной в круг радиуса R, образует с её боковыми сторонами углы  и 2 . Определить площадь трапеции.

39.Определить длину наименьшей диагонали правильного n-угольника, сторона которого равна а.

40.К окружности радиуса R из одной и той же внешней точки проведены две касательные, образующие между собой угол . Определить площадь фигуры, ограниченной отрезками касательных и меньшей дугой окружности, заключённой между точками касания.

41. В данный угол  вписан круг радиуса R. Определить радиус такого круга, который, касаясь внешним образом данного круга, касается в то же время сторон данного угла (два случая).

42.Острый угол ромба равен . Определить площадь ромба, если площадь вписанного в него круга К кв. ед.

43. В круг вписан правильный n-угольник, сторона которого равна а. Определить сторону правильного вписанного 2n-угольника.

44. В сегмент вписан квадрат; две его вершины, лежащие на дуге, делят дугу на три равные части. Определить дугу сегмента.

45.Две окружности пересекаются, отсекая друг от друга дуги 2 и 2ß. (2 — дуга большей окружности.) Определить угол между общими внешними касательными.

46. Около правильного n-угольника со стороной а описана окружность, и в него вписана другая окружность. Найти площадь образовавшегося кольца.

47. В равнобедренном треугольнике высота равна h,  a высота, опущенная на боковую сторону, равна h₁. Определить угол при основании треугольника.

48. Перпендикуляр, опущенный из середины основания равнобедренной трапеции на боковую сторону, равен h и делит боковую сторону пополам; тупой угол трапеции равен . Найти площадь трапеции.

49.К плоскости восставлен перпендикуляр длиной р из основания его как из центра описана в плоскости окружность радиуса r. Определить угол между перпендикуляром и наклонной, соединяющей  вершину  перпендикуляра с любой точкой окружности (р = 4,5; r = 8).

50. Через центр О квадрата, сторона которого АВ = а, проведён перпендикуляр к плоскости квадрата: на нём взят отрезок ОМ = d, а из М на А В опущен перпендикуляр МС. Вычислить угол между МС и его проекцией на плоскость квадрата.

51.  Ребро куба а = 10 см. Вычислить угол, под которым диагональ куба наклонена к его грани. Изменится ли этот угол, если изменить длину ребра куба?

52. В основании четырёхугольной пирамиды лежит квадрат со стороной 8 см. Высота пирамиды, равная 7 см, проходит через точку пересечения диагоналей основания. Под каким углом боковое ребро пирамиды наклонено к плоскости её основания?

53.  Из центра О правильного треугольника ABC, сторона которого равна а, восставлен перпендикуляр к плоскости треугольника, на нём взята точка М так, что отрезок МА = а; из М на АС опущен перпендикуляр MD. Вычислить угол между MD и плоскостью треугольника ABC.

54.Концы отрезка АВ = а удалены от данной плоскости на m и n. Определить угол, который отрезок составляет с плоскостью, и вычислить этот угол, если а = 13 см, m= 5 см и n = 8 см. (Рассмотрите два случая.)

55. Дан двугранный угол . Из точки, лежащей на одной грани этого угла на расстоянии а от ребра, восставлен перпендикуляр до пересечения с другой гранью. Определить длину этого перпендикуляра (а = 6,06; = 41°50').

56. Прямоугольный треугольник ABC расположен так, что гипотенуза его АВ лежит в плоскости Р, а катеты образуют с плоскостью Р углы  и ß. Определить угол между плоскостью треугольника и плоскостью Р.

57. В прямоугольном треугольнике даны гипотенуза а и острый угол . Определить расстояние от вершины прямого угла до плоскости,  которая проходит через гипотенузу  и составляет угол  с плоскостью треугольника.

58.  Одна сторона (АВ) треугольника ABC лежит на плоскости Р. Две другие стороны (СА и СВ) составляют с плоскостью углы  и ß, тангенсы которых  соответственно   равны ¹/₃   и  ¹/₄,   а проекции этих сторон на плоскость Р взаимно перпендикулярны. Определить угол наклона плоскости треугольника ABC к плоскости Р.

59. Параллелограмм и плоскость Р расположены так, что одна из меньших сторон параллелограмма находится в плоскости Р, а противоположная ей удалена от плоскости Р на расстояние, равное расстоянию между большими сторонами  параллелограмма. Определить угол между плоскостью Р и плоскостью параллелограмма, если стороны параллелограмма относятся как 3 : 5.

60. Наклонная образует с плоскостью угол ;  через вершину этого угла проведена в данной плоскости прямая под углом ß к проекции наклонной на плоскость. Определить угол между наклонной и прямой в плоскости.

61. Прямая, находящаяся вне плоскости, пересекаясь с прямой, лежащей в плоскости, образует с этой прямой угол , a эта последняя образует угол ß с проекцией первой прямой на плоскость. Определить угол первой прямой с плоскостью ( = 8°20'; ß=5°40').

62. Из двух точек плоскости, удалённых друг от друга на расстояние а, проведены две параллельные наклонные под углом  к плоскости. Определить расстояние между ними, если расстояние между их проекциями на плоскость равно b.

63.Отрезок АВ параллелен плоскости. Из его концов проведены к плоскости две наклонные: АС = с и BD = d. Наклонная АС составляет с плоскостью угол . Определить угол наклона BD к этой плоскости.

64. Через концы трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины, проведена плоскость, образующая угол  с плоскостью основания. Смежные стороны основания имеют длины а и b. Определить площадь получившегося сечения.

65.Общие внешние касательные к двум внешне касающимся окружностям между точками касания имеют длину а и составляют с линией центров угол . Точки касания прямых каждой окружности соединены хордами. Определить площадь четырёхугольника, вершинами которого являются точки касания.

66.Между двумя параллельными плоскостями проведены наклонная, образующая с ними угол , и перпендикуляр, равный 2а. Определить расстояние между серединами этих прямых, если расстояние между их концами в каждой плоскости равно b.