ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ К РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ.

УПРАЖНЕНИЯ

Задачи  на многогранники
Параллелепипед и призма
Пирамида
Усеченная пирамида
Задачи   на   круглые   тела
Цилиндр
Конус
Усечённый конус
Шар и его части.
Задачи на комбинации геометрических тел
Комбинации многогранников
Комбинации цилиндров, конусов и многогранников.
Комбинации геометрических тел с шаром.
Задачи   на   тела вращения

Задачи  на многогранники

Параллелепипед и призма

1. Углы, образуемые диагональю прямоугольного параллелепипеда с его рёбрами, исходящими из одной с ней вершины, равны , ß и . Доказать, что cos²  + cos² ß + cos²  = 1, и вычислить /   , если = 31°10' и ß = 69°10' (преобразовать предварительно выражение для cos²   в произведение).

2.Даны в пространстве три взаимно перпендикулярных луча, выходящих из одной точки, и вектор, исходящий из этой же точки. Доказать, что если вектор составляет с лучами углы , ß и ,   то   справедливо   соотношение:   cos²  + cos² ß + cos²  = 1.
Справедливо ли это соотношение, если направление вектора совпадает с направлением одного их трёх данных лучей?

3. Диагональ  прямоугольного  параллелепипеда  образует с тремя его неравными гранями углы , ß и . Доказать: 1)sin²  + sin² ß + sin²  = 1  2) cos²  + cos² ß + cos²  = 2

4. 1) Стороны основания прямоугольного параллелепипеда а = 36 см и b = 15 см. Диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол  = 38°. Определить площадь боковой поверхности параллелепипеда и его объём.

2) Основанием прямого параллелепипеда служит ромб со стороной а = 58 см и острым углом =63°. Большая диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью его основания угол ß == 52°. Определить объём параллелепипеда.

5. Определить объём прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого а составляет с плоскостью основания угол , а с большей боковой гранью угол ß. Исследовать полученную формулу решения.

6.В прямоугольном параллелепипеде диагональ основания d, угол между диагоналями основания , а угол, образуемый диагональной  плоскостью,   проведённой  через  большую  сторону основания, с плоскостью основания ß. Определить объём параллелепипеда. (Вычислить при d = 7,5;  = 43° и ß = 57° .)

7.Каждое ребро параллелепипеда равно 1 см. У одной из вершин параллелепипеда, в гранях его, три угла острые, по 2 каждый. Определить объём параллелепипеда.  Исследовать полученную формулу решения.

8.В параллелепипеде длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины, а, b и с; рёбра а и b взаимно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них угол . Определить объём параллелепипеда и угол между ребром с и плоскостью основания.

9.Высота правильной четырёхугольной призмы равна h. Из одной вершины основания проведены в двух смежных боковых гранях две диагонали, угол между которыми равен . Определить площадь боковой поверхности призмы. Исследовать полученную формулу решения.

10.Через диагональ нижнего и вершину верхнего основания правильной четырёхугольной призмы проведена плоскость, пересекающая две смежные боковые грани призмы по прямым, образующим угол  = 58°. Сторона основания призмы a = 6,4 см. Определить объём призмы  .

11.В правильной треугольной призме сторона основания равна а. Две вершины верхнего основания соединены с серединами противоположных им сторон нижнего основания. Определить объём призмы,  если угол между  проведёнными  прямыми,  обращенный к плоскости основания, равен . Исследовать полученное решение.

 12.1) Основанием прямой призмы служит треугольник ABC, у которого сторона АС = b, сторона ВС = а, угол АСВ = . Боковое ребро призмы равно высоте треугольника ABC, проведённой из вершины С. Определить объём призмы.

2) Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник,   в  котором  угол между равными сторонами а равен . Из вершины верхнего основания проведены две диагонали равных боковых граней; угол между ними равен ß. Найти площадь боковой поверхности призмы. Исследовать формулу решения. (Вычислить при а = 97,84 см;  = 63°28' и ß = 39°3б'.)

13. Основанием призмы служит /\ ABC, в котором ВС =  а и АВ = АС. Ребро АA₁, равно b и перпендикулярно ВС; двугранный угол при  ребре АA₁,  равен . Определить объём и площадь боковой поверхности призмы.

14.Сторона основания правильной пятиугольной призмы а, высота призмы   равна ¹/₄  диагонали основания.   Вычислить площадь поверхности призмы.

15.В треугольной призме каждая сторона основания равна а. Одна из вершин верхнего основания имеет своей проекцией центр нижнего основания. Боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом . Определить площадь боковой поверхности призмы.   Исследовать формулу  решения.

16. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна d и наклонена к боковой грани под углом . Определить площадь боковой поверхности призмы. Исследовать формулу решения.

17. Определить объём прямой четырёхугольной призмы, если высота её h, диагонали её наклонены к плоскости основания под углами  и ß и острый угол в пересечении диагоналей основания равен .

18.Плоскость, проведённая через ребро основания куба и составляющая с плоскостью основания угол , делит куб на треугольную и четырёхугольную призмы. Определить объём каждой призмы,   если ребро куба  равно а.    Исследовать   формулу   решения.

19.Высота  правильной  треугольной  призмы равна h. Через одно из рёбер основания и противоположную ему вершину другого основания проведена плоскость. Найти площадь получившейся в сечении фигуры, если угол её при взятой вершине призмы равен 2. Исследовать полученную формулу решения.

20.В правильной треугольной призме через сторону основания проведена плоскость под углом  к плоскости основания. Сторона основания призмы равна а. Найти площадь получившегося сечения. Исследовать полученное решение.

21.1) В прямой четырёхугольной призме площадь основания m, площади диагональных сечений р и q, двугранный угол между ними . Определить объём призмы.
2) Площади двух боковых граней треугольной призмы равны m и n, двугранный угол между ними равен . Определить объём призмы, если её боковое ребро а.

22. 1) В основании прямой призмы лежит трапеция. Через противоположные основания трапеций верхнего и нижнего оснований призмы проведена плоскость под углом  к основаниям призмы. Каждая диагональ получившейся в сечении фигуры равна d, а угол между диагоналями, обращенный к основаниям, ß. Определить объём призмы.
2) Высота h прямой призмы равна 20 см; основанием служит прямоугольная трапеция с острым углом  = 46°, описанная около круга радиуса r = 6 см. Найти объём призмы.

23. В треугольной призме расстояния между тремя боковыми рёбрами последовательно равны a, b и с. Высота призмы Н и составляет с боковым ребром призмы угол . Найти объём призмы и площадь её боковой поверхности.

24.Основанием призмы служит правильный шестиугольник со стороной а. Боковое ребро составляет с плоскостью основания угол , и его проекция на эту плоскость равна радиусу окружности, описанной около основания  призмы.  Определить объем призмы.

25.Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая две боковые ее грани по прямым, составляющим между собой угол . Определить наклон этой плоскости к основанию призмы.

26.Через диагональ нижнего и вершину верхнего основания правильной четырёхугольной призмы проведена плоскость, пересекающая две смежные боковые грани призмы по прямым, угол между которыми равен . Определить объём призмы, если ребро её основания равно .

27.В треугольной призме два угла основания и ß, радиус описанного около основания  круга  R.   Каждое боковое ребро  наклонено к плоскости основания под углом . Определить объём призмы.

28.В правильной четырёхугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра и наклонённая к плоскости основания под углом . Сторона основания равна а. Определить площадь полученного сечения.

29.В   правильной  четырёхугольной   призме  проведена плоскость через середину оси и середины двух последовательных сторон основания. Зная, что сторона основания равна а, а боковое ребро b, определить: 1) площадь полученного сечения и 2) угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания.

30.1) Если правильную четырёхугольную призму переcечь так, чтобы в сечении получился ромб с острым углом , то секущая плоскость окажется параллельной диагонали основания и составит с плоскостью основания такой угол ,  что  Доказать.

2) Основанием прямой четырёхугольной призмы служит ромб c острым углом . Если её пересечь плоскостью, параллельной большей диагонали   ромба,   под таким   углом      к   плоскости основания, чтобы в сечении  получился квадрат с вершинами на боковых рёбрах   призмы,   то    . Доказать.

Пирамида

31. 1) По данной модели правильной треугольной пирамиды рассчитать: угол наклона бокового  ребра   к  плоскости  основания;   угол наклона боковой грани к плоскости основания; измерить транспортиром плоские углы при вершинах.
2)  В правильной четырёхугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Определить двугранный угол при ребре основания пирамиды.
3)  В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом . Определить двугранный угол при боковом ребре.
4)   В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при ребре основания равен . Определить угол наклона бокового ребра к плоскости основания.

32.  1*) В правильной n-угольной пирамиде двугранный угол при боковом ребре равен 2. Определить двугранный угол при ребре основания.
2*) В правильной n-угольной пирамиде двугранный угол при боковом ребре равен 2. Определить угол наклона бокового ребра к плоскости  основания   пирамиды.
3) В правильной n-угольной пирамиде угол между боковым ребром и смежным ребром основания равен . Определить угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания.

33. Основанием пирамиды служит правильный треугольник; из боковых граней одна перпендикулярна к основанию, а две другие наклонены к нему под углом . Как наклонены к плоскости основания боковые рёбра?

34. В  правильной  n-угольной  пирамиде высота  вдвое меньше стороны основания. Определить двугранный угол при ребре основания.

35.  В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна a и составляет с боковым ребром угол . Определить площадь сечения, проведённого через боковое ребро и высоту пирамиды. Почему угол  должен быть больше 30°?

36. 1) В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно b и образует с плоскостью основания угол . Через диагональ основания параллельно боковому ребру проведена плоскость. Определить площадь сечения.

2) В правильной треугольной пирамиде SABC   ребро основания а и двугранный угол при ребре основания .
Определить площадь сечения DEFK, проведённого через центр основания  параллельно  непересекающимся  рёбрам SA и  ВС.

37. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а и боковое ребро образует с плоскостью основания угол . Через центр основания проведена плоскость параллельно двум непересекающимся рёбрам пирамиды. Определить площадь сечения.

38.1) В правильной четырёхугольном пирамиде сторона основания равняется а и двугранный угол при ребрe основания 2. Определить площадь сечения, которое делит данный двугранный угол пополам. Исследовать формулу решения.
2) В правильной четырёхугольной пирамиде двугранный угол при ребре основания равен . Через ребро основания проведена плоскость под углом ß к основанию (ß < ). Ребро основания пирамиды равно а. Определить площадь сечения.

39. В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна h, а двугранный угол при ребре основания   равен .  Определить   площадь сечения,  образованного     плоскостью, проходящей через середину высоты пирамиды параллельно боковой грани.

40.1) В правильной четырёхугольной пирамиде ребро основания равно а и боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом . Через одну из вершин основания   проведена   плоскость   перпендикулярно   к   противолежащему боковому ребру. Определить площадь сечения. Исследовать формулу решения.
2) В правильней четырёхугольной пирамиде плоский угол при вершине равен  и ребро основания равно а. Через диагональ основания проведена плоскость, перпендикулярная к противолежащему боковому ребру. Определить площадь получившегося сечения. Исследовать формулу решения.

41. 1) В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно а и наклонено к основанию под углом . Найти площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проведённой внутри пирамиды через её вершину, параллельно стороне основания и под углом ß к плоскости основания. (Рассмотреть два случая.)
2) В правильной четырёхугольной пирамиде, высота которой h составляет с боковым ребром угол , через диагональ основания проведена плоскость под углом  к основанию. Определить площадь сечения.

42.1) В правильной четырёхугольной пирамиде через сторону основания проведена плоскость,  перпендикулярная к противоположной боковой грани. Определить площадь получившегося сечения, если сторона основания пирамиды а и двугранный угол при основании .
2) В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна a и плоский угол при вершине равен 2. Определить площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через одну из сторон основания перпендикулярно к противолежащему боковому ребру. Исследовать формулу решения.

43.В   правильном   четырёхугольной  пирамиде сторона основания равна а и боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом . Из центра основания пирамиды на две смежные боковые грани опущены перпендикуляры. Определить площадь сечения, образованного плоскостью, проведённой через два построенных перпендикуляра.

44.Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна h, и плоский угол при вершине равен 2. Определить площадь боковой поверхности пирамиды.

45.В треугольной пирамиде плоские углы при вершине ,  и ß. Боковое ребро, служащее общей стороной равных углов, перпендикулярно к плоскости основания и равно а. Определить площадь боковой поверхности пирамиды.

46.1) Основанием пирамиды служит квадрат со стороной a. Из боковых граней две перпендикулярны к основанию, а две другие образуют с ним угол . Определить площадь поверхности пирамиды.
2) Основанием пирамиды служит прямоугольник. Две смежные боковые грани перпендикулярны к основанию, а две другие образуют с ним углы  и ß. Высота пирамиды равна h. Определить площадь боковой поверхности пирамиды.

47. Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и острым углом . Две смежные боковые грани, заключающие угол , перпендикулярны к основанию, а две другие наклонены к нему под углом . Определить площадь боковой поверхности пирамиды.

48.Определить объём правильной n-угольной пирамиды, боковое ребро которой b наклонено к плоскости её основания под углом ß. Вычислить при n = 8; b = 3,5 м; ß = 78°.

49.В треугольной пирамиде две боковые грани — равнобедренные прямоугольные треугольники, гипотенузы которых равны b, и угол между ними . Определить объём пирамиды.

50. В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 2а и плоский угол при вершине равен 2. Определить объём пирамиды.

51. В правильной n-угольной пирамиде сторона основания равна 2а и двугранный угол при боковом ребре равен 2. Определить объём пирамиды. Исследовать формулу решения.

52.1) Основанием пирамиды  является  прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом . Боковая грань, проходящая через гипотенузу, перпендикулярна к плоскости основания, а каждая другая боковая грань образует с плоскостью основания угол ß. Определить объём пирамиды.
2) Основанием пирамиды служит прямоугольный  треугольник с гипотенузой с и острым углом . Боковая грань, проходящая через катет, прилежащий к углу , перпендикулярна к плоскости основания, а две другие боковые грани наклонены к основанию под углом . Определить объём пирамиды.

53.Доказать, что если основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды (т. е. вершина пирамиды проектируется в центр круга, описанного около основания пирамиды), то:

а)  все боковые рёбра (l) пирамиды равны между собой;
б)  углы ( ) наклона боковых рёбер пирамиды к плоскости основания равны между собой;
в)  имеют   место   соотношения:   H = l · sin  = R · tg ;  R = l · cos  ;
Н — высота пирамиды;
R — радиус окружности, описанной около основания пирамиды.
В этом случае какие из известных вам четырёхугольников могут быть основанием пирамиды?
Если основанием такой пирамиды является прямоугольный треугольник, то в какую точку проектируется вершина пирамиды?

54.Определить объём пирамиды, имеющей основанием треугольник, два угла которого  и ß, радиус описанного круга R. Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости её основания под углом .

55. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из острых углов которого , а каждое боковое ребро равно b и образует с плоскостью основания угол ß. Определить объём пирамиды.

56.В основании пирамиды лежит прямоугольник.   Каждое боковое ребро пирамиды равно m и составляет со смежными сторонами прямоугольника углы  и ß. Определить объём пирамиды. Исследовать формулу решения.

57.Основанием пирамиды служит трапеция, в которой каждая из боковых сторон и меньшая из параллельных имеют длину а, а острые углы равны ; боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания угол . Определить объём пирамиды.

58. В треугольной пирамиде все боковые рёбра и два ребра основания равны а. Угол между равными рёбрами основания ранен . Определить объём пирамиды.

59. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны а и угол между ними . Боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом ß. В этой пирамиде проведена плоскость через её высоту и вершину угла . Определить площадь полученного сечения.

60.Доказать, что если основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в основание пирамиды (т. е. вершина пирамиды проектируется в центр круга, вписанного в основание пирамиды), то:

а)  двугранные углы при рёбрах основания пирамиды равны между собой;
б)  высоты боковых граней пирамиды, проведённые из её вершины, равны между собой;
в)  имеют   место   соотношения:   r = h · cos ;   Н = r · tg  = = h · sin .

Н — высота пирамиды; h — высота боковой грани, проведённая к ребру основания; r — радиус круга, вписанного в основание, и  — двугранный угол при ребре основания.

В этом случае какие из известных вам четырёхугольников могут быть основанием пирамиды?

Указание. Если в треугольной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости, в которой лежит основание пирамиды, под одинаковыми углами, то вершина пирамиды проектируется в центр вписанной или вневписанной окружности.

61. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катеты которого 6 см и 8 см. Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости, в которой лежит основание пирамиды, под углом 60°.
Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Указание. Рассмотреть четыре возможных случая решения, когда вершина пирамиды проектируется в центр вписанной и вневписанной окружностей в основание пирамиды.

62. В треугольной пирамиде стороны основания 13 см, 14 см   и 15 см и боковые грани пирамиды наклонены к плоскости, в которой лежит основание пирамиды, под углом в 45°. Вычислить площадь боковой поверхности пирамиды.

63. Стороны основания треугольной пирамиды равны а, b и с; каждый двугранный угол при рёбрах основания равен . Определить площадь боковой поверхности и объём пирамиды.

64. Основание пирамиды — ромб со стороной а и острым углом . Каждый двугранный угол при рёбрах oснования . Определить площадь боковой поверхности и объём пирамиды.

65. В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция, параллельные стороны которой равны а и b (а   > b). Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом . Определить площадь поверхности пирамиды.

66.Основание пирамиды — равнобедренная    трапеция, диагональ которой равна l и составляет с большим основанием угол . Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом . Определить площадь поверхности пирамиды.

67.Если все боковые грани какой-либо пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом , то

      ^и        

где S₁ -площадь боковой грани, S — площадь поверхности, Q — площадь основания. Доказать.

68. Дан правильный тетраэдр. Определить:
1) угол между двумя смежными гранями и 2) угол наклона ребра к плоскости противолежащей грани.

69. Дан правильный октаэдр. Определить угол между двумя смежными гранями.

70. 1) Дан икосаэдр . Определить угол между двумя его смежными гранями.

2) Дан додекаэдр. Определить угол между двумя его смежными гранями.

71. В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде стороны нижнего и верхнего оснований соответственно равны а и b (а > b), двугранный угол при ребре нижнего основания равен . Определить объём и площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

Усеченная пирамида

72. В правильной усечённой треугольной пирамиде рёбра нижнего и верхнего оснований соответственно равны а и b. (а > b), двугранный угол при ребре нижнего основания равен . Определить объём усечённой пирамиды и площадь её поверхности.

73.В правильной n-угольной усечённой пирамиде даны боковое ребро с и стороны оснований а и b. Определить высоту усечённой пирамиды.

74. В усечённой правильной четырёхугольной пирамиде стороны оснований относятся как m : n (m > n);  боковые рёбра наклонены к плоскости большего основания под углом . В этой пирамиде проведена плоскость через сторону большего основания и противоположную ей сторону меньшего основания. Какой угол образует эта плоскость с большим основанием пирамиды?

75.В усечённой правильной четырёхугольной пирамиде даны высота Н и  и ß — углы, образуемые боковым ребром и диагональю усечённой пирамиды с плоскостью её большего основания. Определить площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

76.В усечённой правильной четырёхугольной пирамиде даны стороны оснований а и b (а > b) и острый угол  в боковой грани. Определить объём. Исследовать формулу решения.

77.По данной модели правильной усечённой четырёхугольной пирамиды рассчитать:
1)  угол наклона   бокового   ребра   к   плоскости   основания и
2)  угол наклона боковой грани к плоскости основания.

Задачи   на   круглые   тела

Цилиндр

78. В равностороннем цилиндре точка окружности верхнего основания соединена с одной из точек окружности нижнего основания.
Угол между  радиусами,  проведёнными в эти точки,  равен 30°.
Определить угол между проведённой прямой и осью цилиндра.

79. В равностороннем цилиндре, радиус основания которого равен R, точка окружности верхнего основания соединена с точкой окружности нижнего основания. Проведённая прямая образует с плоскостью основания угол .  Определить расстояние этой прямой от оси цилиндра. Исследовать формулу решения.

80.К цилиндру проведена касательная прямая под углом  к плоскости основания. Определить расстояние центра нижнего основания от этой прямой, если его расстояние от точки касания равно d и радиус основания равен R.

81.Сечение   цилиндра   плоскостью,   параллельное   его высоте Н, представляет собой квадрат, отсекающий от окружности основания дугу . Определить расстояние этого  сечения от оси цилиндра.

82.Цилиндр, высота которого h, пересечён плоскостью, параллельной оси цилиндра и отстоящей от оси на расстояние d. Секущая  плоскость отсекает от окружности основания дугу . Определить площадь сечения.

83.Высота цилиндра равна h. В развёртке его боковой поверхности образующая составляет с диагональю развёртки угол . Определить объём и площадь поверхности цилиндра.

Конус

84.Радиус основания конуса равен R, а образующая наклонена к плоскости основания под углом . В этом конусе проведена плоскость через его вершину под углом  к его высоте. Определить площадь полученного сечения. Исследовать формулу решения.

85. Между двумя параллельными плоскостями заключён конус так, что его основание находится на одной из них, а вершина на другой. Угол между осью конуса и образующей равен . Через середину оси проведена прямая, составляющая с ней острый угол ß и пересекающая боковую поверхность конуса в двух точках. Отрезок этой прямой между параллельными плоскостями равен а. Определить отрезок её, заключенный внутри конуса.

86.Площадь боковой поверхности конуса втрое больше площади основания. Найти угол между образующей и основанием.

87.Через две образующие конуса, составляющие между собой угол , проведена плоскость, наклонённая к плоскости основания конуса под углом . Площадь сечения равна S. Определять высоту конуса ( = 52°16';  = 33°10'; S = 618 см²).

88. Высота конуса Н, образующая наклонена к плоскости основания под углом . Перпендикулярно к высоте в конусе проведена секущая плоскость так, что она делит пополам площадь поверхности конуса.Определить расстояние секущей плоскости от вершины конуса.

89. Угол при вершине в осевом сечении конуса равен ; определить центральный угол в развёртке боковой поверхности конуса. Найти этот угол для равностороннего конуса.

90. Через вершину конуса проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу  и образующая с плоскостью основания угол ß. Определить угол при вершине получившегося сечения.

91. На   плоскости   основания   равностороннего   конуса (вне конуса) дана точка, удалённая от окружности основания на расстояние радиуса. Через эту точку проведены к конусу две касательные плоскости. Определить угол между ними

92. Через вершину конуса проведена плоскость, делящая боковую поверхность на две части; если развернуть эти части на плоскость, то получатся два сектора с углами  и ß ( >ß). Определить угол при вершине проведённого сечения.

93. Угол откоса для песка   = 259. Куча песка имеет вид конуса,  длина  окружности  основания  которого с  5,0 м. Узнать возможный наибольший объём кучи.

Усечённый конус

 94.Через две образующие усечённого конуса, составляющие между собой угол ß, проведена плоскость, пересекающая основания конуса по хордам, соответственно равным тип (m > n). Каждая хорда стягивает дугу . Найти площадь боковой поверхности усечённого конуса.

95.В усечённом конусе, радиусы оснований которого R и r, проведена плоскость под углом ß к основанию. Эта плоскость Отсекает от окружности каждого основания дугу б и не пересекает Высоту усечённого конуса. Определить площадь сечения.

96.В усечённом конусе высота равна h;  образующая составляет с плоскостью нижнего основания угол и перпендикулярна к линии, соединяющей верхний конец её с нижним концом противоположной образующей. Определить площадь боковой поверхности усечённого конуса.

97.Площади нижнего и верхнего оснований усечённого конуса и боковой поверхности пропорциональны m, n и р. Определить угол между образующей и плоскостью нижнего основания.

98.В усечённом конусе отношение площадей оснований равно 4, образующая имеет длину l и наклонена к плоскости основания под углом ß. Определить объём усечённого конуса.

99.В усечённом конусе диагонали осевого сечения взаимно перпендикулярны, а образующая составляет с плоскостью большего основания угол  и равна l. Определить площадь поверхности и объём усечённого конуса (l= 12;  = 70°).

Шар и его части.

100.Через точку, данную на поверхности шара радиуса R, проведены две плоскости: одна касательная к шару, другая под углом  к первой. Определить площадь сечения шара второй плоскостью.

101.Дан шар радиуса R; плоскость, пересекая диаметр под углом , делит его на две части в отношении 3 : 1. На какиe-части разделилась поверхность шара?

102.Высота шарового сегмента h; дуга в осевом сечении равна . Определить площадь сферической поверхности сегмента.

103. Дан шаровой сегмент; через середину его высоты проведена плоскость параллельно основанию; площади сечения и основания равны. Определить дугу в осевом сечении сегмента.

104.Определить угол в осевом сечении шарового сектора, если   плоскость,   проведённая   через  середину  среднего  радиуса перпендикулярно к нему, делит коническую поверхность сектора на две равновеликие части.

105.На поверхности шара радиуса R через данную её точку проведены два равных взаимно касательных круга; угол между их плоскостями равен . Определить часть поверхности шара, заключённую между этими плоскостями.

106.На поверхности шара даны четыре точки на одинаковом расстоянии друг от друга. Определить углы между радиусами шара, проведёнными в какие-либо две из них.

107.1) Радиус земного шара равен  6370 км. Найти длины окружностей тропика (широта 23°30' ) и полярного круга  (широта 66°30').

2) Наблюдатель, находясь на вершине горы в точке А , измерил угол DAC = , составленный лучом зрения АС, идущим к горизонту, и вертикальной линией AD. Зная радиус Земли r, определить высоту горы AD.

108. Бак, имеющий форму шара радиуса R (внутренний размер), наполнен до некоторой высоты жидкостью, удельный вес которой равен d. Дуга АСВ  равна ^о.Найти вес жидкости.

109.Резервуар для газа состоит из цилиндра, закрытого сверху шаровым сегментом.  Внутренние    размеры цилиндра:    диаметр — 24,0 м, высота — 6,0 м. Дуга в осевом сечении   шарового  сегмента,   покрывающего цилиндр, содержит 74°. Найти ёмкость резервуара.

Задачи на комбинации геометрических тел

Комбинации многогранников

110.В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна а, а боковое ребро образует с плоскостью основания угол . В эту пирамиду вписан куб так, что четыре из его вершин лежат на апофемах пирамиды. Определить ребро куба.

111. В  правильной  четырёхугольной  пирамиде боковое ребро а и составляет с плоскостью основания угол . В эту пирамиду помещён куб так, что вершины одной его грани совпадают с серединами ребер основания пирамиды, а каждое ребро противолежащей грани куба пересекает одно из боковых рёбер пирамиды. Определить объём части куба, расположенной вне пирамиды.

112. Правильная треугольная пирамида с ребром основания а и двугранным углом а при этом ребре пересечена плоскостью, параллельной основанию, так, что площадь полученного сечения равна  площади боковой  поверхности образовавшейся  усечённой пирамиды. Определить расстояние секущей плоскости от вершины пирамиды.

113. В правильную треугольную пирамиду вписана другая правильная пирамида так, что её вершина лежит в центре основания первой, а вершины основания лежат на боковых рёбрах первой. Ребро основания первой пирамиды равно а, и боковое её ребро составляет с плоскостью основания угол . Боковое ребро вписанной пирамиды наклонено к плоскости её основания под углом ß. Определить объём вписанной пирамиды.

114.Две правильные четырёхугольные пирамиды имеют общее основание, и одна из них находится внутри другой. Боковое ребро большей пирамиды наклонено к плоскости основания под углом , a боковое ребро меньшей — под углом ß. Радиус круга, описанного около общего основания пирамид, равен R. Определитьобъём части пространства, ограниченной боковыми гранями этих пирамид. Исследовать полученное решение.

115. Две правильные треугольные пирамиды имеют общую высоту; вершина каждой пирамиды лежит в центре основания другой; боковые рёбра одной пересекают боковые рёбра другой. Боковое ребро / одной пирамиды образует с высотой угол , боковое ребро второй образует с высотой угол ß. Определить объём общей части двух пирамид.

116. В правильной усечённой четырёхугольной пирамиде сторона большего (нижнего) основания равна а; боковое ребро также равно а и составляет со стороной нижнего основания угол . Центр нижнего основания служит вершиной пирамиды, основание которой совпадает с верхним основанием данной усечённой пирамиды. Определить разность объёмов усечённой и внутренней пирамид.

117.Основанием пирамиды служит квадрат, сторона которого равна а. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а большее боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом ß. В пирамиду вписан прямоугольный параллелепипед так, что вершины его верхнего основания лежат на боковых рёбрах пирамиды, а вершины нижнего основания — в плоскости основания пирамиды. Определить объём параллелепипеда, если диагональ его составляет с плоскостью основания угол  (а  = 45,3 см;  = 41°30'; ß = 43°54').

118. Общим основанием двух параллелепипедов является квадрат со стороной а. Две стороны верхнего основания одного являются продолжением двух сторон верхнего основания другого. Две противоположные боковые грани каждого параллелепипеда наклонены к плоскости основания под одним углом , а две другие боковые грани перпендикулярны к той же плоскости. Определить объём общей части двух параллелепипедов.

Комбинации цилиндров, конусов и многогранников.

119. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно а и образует с плоскостью основания угол . В эту пирамиду вписан равносторонний цилиндр так, что его нижнее основание лежит в плоскости основания пирамиды. Определить высоту цилиндра.

120. Определить ребро куба, вписанного в конус, образующая которого равна l и наклонена к плоскости основания под углом .

121. В конусе даны радиус основания R и угол  между образующей и плоскостью основания. В конус вписана прямая треугольная призма с равными рёбрами так, что её нижнее основание лежит в плоскости основания конуса. Определить длину её рёбер.

122. Круг, радиус которого R = 5,38 м, служит общим основанием двух конусов, построенных по одну от него сторону. Образующая одного конуса составляет с плоскостью основания угол  = 74°36', образующая другого составляет с той же плоскостью угол ß = 60°12' ( > ß). Определить объём части пространства, заключённой между боковыми поверхностями этих конусов.

123. На чертеже изображён продольный разрез доменной  печи.  Внутренность её состоит из двух усечённых конусов. Верхнее и нижнее отверстия имеют радиусы r1 и r2. Углы наклона образующих к основанию и ß  . Общий объём V. Определить радиус общего основании конусов и их высоты.

124. В  усечённый  конус  вписан  конус, имеющий с ним общее меньшее основание, общую высоту и образующие, соответственно параллельные образующим усечённого конуса. Определить объём части усечённого конуса, заключённой между   поверхностями   обоих   конусов.   Наибольший угол между продолжениями образующих усечённого конуса, из которых каждая а, равен .

125. Образующая конуса равна l и наклонена к основанию под углом . Определить высоту   вписанного равностороннего   цилиндра,   если нижнее основание цилиндра лежит в плоскости основания конуса.

126. В конус вписан цилиндр, диагонали осевого сечения которого параллельны образующим конуса. Образующая конуса равна l и составляет с плоскостью основания конуса угол . Найти объём части пространства, ограниченной боковыми поверхностями конуса и цилиндра.

127. Два конуса имеют общую высоту H и параллельно расположенные основания. Образующая одного конуса наклонена к плоскости основания под углом , образующая другого- под углом ß. Определить длину линии, по которой пересекаются их боковые поверхности.

128. В равносторонний конус вписана правильная n-угольная пирамида. Определить двугранные утлы при рёбрах основания пирамиды.

129. В конус вписана правильная n-угольная пирамида, плоский угол при вершине которой равен . Определить площадь боковой поверхности конуса, если радиус основания его r.

130. Два конуса имеют общую вершину, высота каждого из них лежит на боковой поверхности другого. Определить угол между линиями их пересечения, если угол между высотой и образующей в каждом конусе равен

131. Около конуса описана треугольная пирамида. Боковая поверхность конуса линиями касания делится на три части пропорционально числам 5, 6 и 7. В каком отношении делят те же линии боковую поверхность пирамиды?

132. Два конуса имеют общее основание. В общем осевом сечении образующая одного их них перпендикулярна к противоположной образующей другого. Объём одного вдвое меньше объёма другого. Определить угол наклона образующих большего конуса к плоскости основания конусов.

133. Внутри куба, ребро которого а, помещается конус так, что его вершина совпадает с одной из вершин куба, а окружность основания касается трёх граней куба, сходящихся в противоположной вершине. Образующая конуса   составляет  с   его  осью   угол . Определить радиус   основания   конуса

134.Радиус основания конуса равен  r,   а  образующая  наклонена  к плоскости основания под углом . Около конуса описана пирамида, имеющая в основании прямоугольный треугольник с острым углом . Определить объём и площадь боковой поверхности пирамиды.

135. В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно b и образует с плоскостью основания угол . В эту пирамиду вписан равносторонний цилиндр так, что одна из образующих расположена на диагонали основания пирамиды, а окружность каждого основания касается двух смежных боковых граней пирамиды. Определить радиус основания цилиндра.

136. Два конуса имеют концентрические основания и общую высоту h. Разность углов, составляемых образующими с осью, равна ß, угол наклона образующей внутреннего конуса к плоскости его основания равен . Определить объём части пространства, заключённой между поверхностями конусов.

137. Определить площадь боковой поверхности усечённого конуса, описанного около правильной  треугольной усечённой пирамиды, если острый угол в боковой грани пирамиды равен , а радиус вписанного в неё круга равен r.

138.В конус, у которого площадь боковой поверхности m и угол наклона образующей к плоскости основания , вписана треугольная пирамида, имеющая основанием прямоугольный треугольник с острым углом . Определить объём пирамиды.

139. В цилиндр вписан параллелепипед; большая сторона его основания а, угол между диагональю параллелепипеда и его большей боковой гранью ß , а угол между диагональю пaраллелепипеда и плоскостью его основания равен . Найти площадь боковой поверхности цилиндра.

140. На общем основании построены два конуса один внутри другого так, что их вершины находятся друг от друга на расстоянии а. Определить объём части пространства, ограниченной коническими поверхностями обоих конусов, если угол при вершине осевого сечения большего конуса равен , a меньшего конуса -   ß    (= 53°17'; ß = 90°; а = 32,52 м).

141. В правильной треугольной пирамиде вершина основания находится на расстоянии b от противолежащей боковой грани. Найти площадь поверхности конуса, вписанного в данную пирамиду, зная, что апофема пирамиды наклонена к плоскости основания под углом  (b = 10,16 м;  = 61°16').

142. Общим основанием пирамиды и прямой призмы, расположенных по одну его сторону, является правильный треугольник со стороной а. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания: равные боковые ребра пирамиды образуют между собой угол . Высота призмы в два раза меньше высоты пирамиды. Определить объём призмы (а = 3,52 м;  = 41°20').

При обработке конических поверхностей на токарном станке играет роль понятие конусности. Конусностью называется отношение диаметра основания конуса к его высоте. Решить следующие задачи:

143. Определить угол при вершине в осевом сечении конуса, если конусность равна ¹/₃ .

144. Из цилиндрического бруска меди требуется выточить деталь в форме конуса, образующая которого 125 мм, а конусность равна 1 : 20. Определить вес вытачиваемого конуса (удельный вес меди d 8,9).

Комбинации геометрических тел с шаром.

145. На чертеже  изображено осевое сечение цилиндра (прямого кругового) и шара, описанного около цилиндра; считая, что радиус шара R, а диагональ прямоугольника в осевом сечении цилиндра составляет с основанием угол , доказать, что Н = 2R • sin  и r = R • cos , где Н — высота цилиндра и r — радиус его основания.

Рассмотрите самостоятельно случай шара,  вписанного в  цилиндр.

146.1) На чертеже  изображено осевое сечение конуса (прямого кругового) и шара, описанного около конуса. Считая, что радиус шара R и угол при вершине осевого сечения конуса , доказать,   что /  АОО₁ = ;   SО₁ = Н = 2R cos² /2;   l = 2R cos² /2;  H(2R—H)= r²;  r = Rsin = l sin/2 = H tg /2

2) На чертеже  изображено осевое сечение конуса (прямого кругового) и шара, вписанного в конус. Считая радиус шара равным R и угол при вершине осевого сечения конуса , доказать справедливость соотношений:

где r — радиус окружности касания поверхности конуса с поверхностью шара;

147.На чертеже  изображено осевое сечение прямого кругового усеченного конуса и шара, описанного около конуса.Считая известным радиус шара R, образующую конуса l и угол  наклона образующей конуса к плоскости нижнего его основания, доказать справедливость следующих соотношений:

d = 2R sin ; Н = l sin ; (r₂ + r₁ )² = sin²  (4R² — l²);
r₂ — r₁ = lcos

(l — образующая, H — высота, d — диагональ осевого сечения, r₁ и r₂ — радиусы нижнего и верхнего оснований).

 148.1) Шар радиуса R вписан в усечённый конус. Угол наклона образующей к плоскости нижнего основания конуса . Найти радиусы оснований и образующую усечённого конуса.

2) Правильная n-угольная призма вписана в шар радиуса R. Ребро основания призмы а. Найти высоту призмы при n = 3; 4; 6.

149.Сторона основания правильной n-угольной пирамиды равна а, двугранный угол при основании равен . Определить радиус шара, вписанного в пирамиду.

150.Определить радиус шара, описанного около правильной n-угольной пирамиды, если сторона основания равна а, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом . (Вычислить, при n= 8; а = 3,5 м; = 58°.)

151. Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и острым углом , двугранные углы при основании равны .   Определить радиус шара, вписанного в эту пирамиду.

152. В конусе даны длина с окружности основания и угол между образующей и основанием. Определить длину линии, по которой взаимно касаются боковая поверхность конуса и поверхность вписанного в него шара.

153.В конус вписан шар; линией касания поверхность этого шара делится в отношении m : n. Определить угол наклона образующей конуса к его оси.

154. Определить угол между образующей и плоскостью основания конуса, объём которого в m раз более объёма вписанного в конус шара. (Найти наименьшее значение m вычислить угол, если m=2 ¹/₄

155.  Сечение, перпендикулярное к высоте конуса, делит конус на две равновеликие части и проходит через центр описанного около конуса шара. Найти угол между образующей и плостью основания конуса.

156.  В конусе помещены два шара так, что они касаются цруг друга и поверхности конуса. Отношение радиусов этих шаров равно m : n (m > n). Определить величину угла при вершине осевого сечения конуса.

157.Определить угол при вершине в осевом сечении конуса, описанного около четырёх равных шаров, расположенных так, что каждый касается трёх других.

158.  Определить радиус шара, описанного около усечённою конуса, в котором радиусы оснований R и r, а образующая наклонена к плоскости нижнего основания под углом a (R > r).

159. В усечённый конус, радиусы оснований которого r₁ и r₂, вписан шар. Определить: 1) площадь поверхности шара и 2) угол наклона образующей конуса к плоскости его основания.

160.  1) Высота правильной четырёхугольной призмы равна h, а диагональ призмы наклонена к боковой грани под углом . Определить радиус шара, описанного около призмы.

2) Сторона основания правильной треугольной призмы равна а, диагонали двух боковых граней, проведённых из одной вершины верхнего основания призмы, образуют угол 2, обращенный к основанию. Определить радиус описанного шара.

161. Около шара, объём которого V, описана прямая четырёхугольная призма; основание призмы — ромб с острым углом . Определить объём призмы.

162.В шар радиуса R вписана прямая призма; основание её — прямоугольный треугольник с острым углом , а наибольшая её боковая грань — квадрат. Определить объём призмы.

163.Призма,  основание которой — прямоугольный треугольник с острым углом , описана около шара. Вычислить объём призмы, если перпендикуляр, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу в основании призмы, равен h.

164.В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро b образует с плоскостью основания угол . Определить радиус шара, описанного около пирамиды.

165.В  правильной  четырёхугольной  пирамиде сторона основания равна а и двугранный угол при ребре основания равен . Определить радиус шара, вписанного в пирамиду.

166. В  правильной  четырёхугольной  пирамиде  сторона основания а и плоский угол при вершине равен . Определить: 1) радиус вписанного шара и 2) радиус описанного шара.

167.В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида с плоским углом  при вершине. Определить высоту пирамиды.

168. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, каждый из равных углов которого  и сторона между ними а. Каждая боковая грань пирамиды наклонена к плоскости основания под углом . Определить радиус вписанного в пирамиду шара.

169.1) Около шара радиуса R описана четырёхугольная пирамида, в основании которой лежит ромб с острым углом . Каждая боковая грань пирамиды наклонена к основанию под углом ß. Определить объём и площадь поверхности пирамиды.

2) В шар радиуса R вписана правильная четырёхугольная пирамида, у которой двугранный угол при боковом ребре равен 2. Определить ребро основания пирамиды.

170. В   правильной   четырёхугольной   пирамиде  центры вписанного и описанного шаров совпадают. Определить двугранный угол при ребре основания пирамиды.

171. Основанием пирамиды служит прямоугольник с углом  между диагоналями, а боковые рёбра образуют с плоскостью основания угол . Определить объём этой пирамиды, если радиус описанного около неё шара равен R.

172. Определить радиус шара, вписанного в правильную n-угольную пирамиду, сторона основания которой равна а и плоский угол при вершине равен .

173.Определить радиус шара, описанного около треугольной пирамиды, стороны основания которой а, b и с, а боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом .

174. В правильную шестиугольную пирамиду c двугранным углом  при ребре основания вписан шар радиуса R. Определить площадь боковой поверхности усечённой пирамиды, которая отсечена от данной пирамиды плоскостью, касательной к шару и параллельной плоскости основания пирамиды.

175. Около шара описана правильная четырёхугольная усечённая пирамида: объём восьмигранника, вершинами которого служат точки касания поверхности шара с гранями усечённой пирамиды, вчетверо меньше объёма шара. Определить двугранные углы при ребре основания пирамиды.

176. В правильной четырёхугольной пирамиде плоский угол при вершине равен ; высота h пирамиды служит диаметром шара. Найти длину кривой пересечения их поверхностей.

177. В конус вписан шар; сечение, касательное к шару и параллельное основанию конуса, делит конус на две равновеликие части. Определить угол наклона образующей к плоскости основания конуса.

178. Вокруг шара радиуса R описан усечённый конус, образующая которого наклонена к плоскости большего основания под углом . Определить длину линии, по которой шар касается боковой поверхности усечённого конуса.

179. В усечённый конус вписан шар радиуса R; из центра шара диаметр большего основания усечённого конуса виден под углом . Определить объём усечённого конуса.

180.1) В шар радиуса R вписан конус, образующая которого составляет с высотой угол . Определить объём конуса.

2) Определить площадь поверхности шара, вписанного в конус, высота которого h и угол наклона образующей к плоскости основания .

181.Вычислить объём конуса, зная радиус R шара, вписанного в конус, и угол , под которым из центра шара видна образующая  конуса.  Исследовать формулу решения.

182.В полушар радиуса R вписан усечённый конус так, что его большее основание совпадает с основанием полушара, а образующая наклонена к плоскости большего основания под углом . Определить площадь поверхности конуса.

183. Шар касается боковой поверхности конуса по окружности основания. Поверхность шара делится при этом на две части, из которых одна в n раз больше другой. Определить угол наклона образующей конуса к плоскости его основания.

184. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна Н; перпендикуляр, опущенный из центра шара, описанного около пирамиды, на её боковуо грань, образует с высотой угол . Определить объём шара.

185.  Основание пирамиды — прямоугольный треугольник. Две боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания и образуют острый двугранный угол , а третья боковая грань наклонена к плоскости основания под углом . Пирамида вписана в шар радиуса R. Найти объём пирамиды.

186.Около шара описан прямой параллелепипед, объём которого в m раз больше объёма шара. Определить углы в основании параллелепипеда.

187. Площадь поверхности шара,  вписанного в конус, равна площади основания конуса. Определить угол при вершине осевого сечения конуса.

Задачи   на   тела вращения

188. Треугольник,  одна  из сторон  которого а = 6,5 м и прилежащие к ней углы В = 97° и С = 13°, вращается вокруг данной стороны. Вычислить объём и площадь поверхности тела, получившегося при вращении.

189. Определить  объём тела,   образованного вращением треугольника ABC около оси, проходящей через вершину А и параллельной стороне ВС, зная, что ВС = а = 23,54 м, проекция стороны АВ на ось вращения b' = 7,33 м, а угол между АВ и осью = 18°36'.

190. Правильный треугольник, сторона которого а, вращается около оси, проходящей вне его через конец его стороны под острым углом  к этой стороне. Определить площадь поверхности тела вращения.

200. Равнобедренный   треугольник, у которого боковая сторона равна b, а угол при вершине , вращается около боковой стороны. Найти объём и площадь поверхности тела вращения.

201. Ромб со стороной а и острым углом  вращается около оси, проходящей через вершину острого угла перпендикулярно к его стороне. Определить площадь поверхности и объём тела вращения.

202. В треугольнике даны стороны b и с и угол между ними ; этот треугольник вращается около оси, которая проходит вне его через вершину угла  и равно наклонена к сторонам b и с. Определить объём тела вращения.

203.  В треугольнике даны основание а и прилежащие углы  и (90° +). Определить объём тела, полученного при вращении этого треугольника около его высоты.

204. Два треугольника — равнобедренный с углом = 54°1б' при вершине и равносторонний — лежат   в одной плоскости и имеют общее основание  а = 25,34  см. Определить объём и площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольников около оси, проходящей через одну из общих вершин этих треугольников параллельно высоте равнобедренного треугольника.

205. Определить объём и площадь поверхности тела, полученного при вращении прямоугольника ABCD около оси, проходящей через его вершину А, перпендикулярно диагонали АС = d, если угол CAB =      (d = 34,06 см;  = 56°14').

206. Периметр прямоугольного треугольника 2р = 27,4 см, один из острых углов  = 41°10'. Определить объём тела, полученного при вращении треугольника около гипотенузы.

207. В прямоугольной трапеции, описанной около круга радиуса R, острый угол . Определить площадь поверхности тела, полученного при вращении этой трапеции около меньшей из непараллельных её сторон.

208. Расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из вершины тупого угла ромба на его стороны, равно d. Угол между этими перпендикулярами равен . Определить объём тела, полученного при вращении ромба вокруг оси, проходящей через вершину его острого угла перпендикулярно к большей диагонали.

2) Острый угол прямоугольного треугольника разделён медианой, равной а, на части, из которых большая равна . Определить объём тела, полученного при вращении данного треугольника вокруг оси, проходящей через вершину прямого угла параллельно данной медиане.