АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ ОДНОГО И ТОГО ЖЕ АРГУМЕНТА.

Прежде всего отметим уже известные нам тождества

             (1)

           (2)

Из   этих    двух    тождеств     следует,    что

tg φ • ctg φ = 1.      (3)

Теперь   покажем,   что для  любого   угла  φ

sin² φ + cos²φ = 1  .   (4)

 Предположим, что О А = (х, у)   есть вектор единичной длины, образующий с осью x  угол φ . Тогда

cosφ=x

sinφ=y

Квадрат длины любого вектора равен сумме квадратов его координат. Из этого утверждения и вытекает формула (4).

Нам известны также следующие соотношения:

              (5)

                (6)

К полученным шести тождествам добавим еще два:

1 + tg² φ = sec² φ,                              (7)

1 + ctg² φ = cosec² φ.                        (8)

Докажем,  например, тождество (7):

Аналогично   доказывается   и   тождество   (8).

Упражнения

1.  Могут ли sin φ и cos φ одновременно равняться   нулю?

2.  Могут ли tg φ и ctg φ и по абсолютной величине быть: а) оба больше 1; б) оба меньше 1?

3.  Может ли одно из чисел tg φ и ctg φ быть положительным,   а другое отрицательным?

4.   Какова область допустимых  значений  φ в  тождестве

tg φ • ctg φ = 1?

5.  Доказать неравенство |sec φ| > 1  не менее чем  двумя различными  способами.

6.  Выразить     3sin α—cos α      через tg α.
                          sin α + 2 cos α

7. Найти sin α · cos α, если sin α + cos α = a.