Однородные уравнения

Примерами однородных тригонометрических уравнений могут служить уравнения:

sin х — cos х = 0,
sin² х — 5 sin х cos х + 6 cos² х = 0,
cos² х — sin х cos х = 0.

Это такие уравнения, все члены которых имеют одну и ту же общую степень относительно sin x и cos x. Например, все члены первого уравнения имеют общую степень 1, а все члены других двух уравнений — общую степень 2.

Решим уравнение sin х — cos х = 0. Для этого заметим, что в данном случае cos x не может быть равен нулю. Если бы было cos х = 0, то должно было бы быть и sin х = 0. Но тогда не выполнялось бы тождество sin² х  +cos² х = 1. Итак, в данном случае
cos х =/= 0. Поэтому обе части данного уравнения можно разделить на cos² х. В результате получим tg x — 1 = 0, откуда

tg x = 1,    х = ^π/₄   + 2nπ

Аналогично решается и уравнение sin² х — 5 sin х cos х + 6 cos² х = 0. Разделив обе части этого уравнения на cos² х, получим:

tg² х — 5 tg х  + 6  = 0;       (tg x)₁ = 2;       (tg x)₂ = 3.

Поэтому

x = arctg 2 + nπ    х = arctg 3 + kπ.

Теперь решим уравнение cos² х — sin х cos х = 0.

Здесь уже равенство cos х = 0 возможно, поэтому делить обе части уравнения на
cos² х нельзя. Зато можно утверждать, что sin х =/= 0. В противном случае из уравнения вытекало бы, что cos х = 0. Но тогда не выполнялось бы тождество sin² х  +cos² х = 1. Итак, sin х =/= 0. Поэтому обе части данного уравнения можно разделить на sin² х. В результате получим:

ctg² х — ctg х = 0,

откуда (ctg х)₁ = 0; (ctg х)₂ = 1. Соответственно этому получаются две группы корней:

х = ^π/₂   + nπ     и    х = ^π/₄   + kπ

Некоторые тригонометрические уравнения, не являясь однородными, легко сводятся к однородным.

Например, если в уравнении

sin х cos x = 0,5

представить 0,5 в виде 0,5 (sin² х  +cos² х), то получится однородное уравнение
sin х cos x = 0,5 sin² х + 0,5 cos² х Это уравнение предлагаем учащимся решить самостоятельно.

Упражнения

Решить  уравнения:

1). 3 sin x — \/3 cos x = 0.
2). 2 cos x — \/2 sin x = 0.
3). 3sin x + 5 cos x = 0.
4). sin² x — (1 + \/3) sin x cos x +  \/3 cos² x = 0.
5). sin² x — 4 sin x cos x + 3 cos² x = 0.
6). \/3sin² x — 4 sin x cos x + \/3 cos² x = 0.
7). 2sin x — cos x sin x  = 0.
8). \/3cos x + cos x sin x  = 0.
9). cos x sin x = ¹/_\/3  cos² x.
10). cos² x — 3 cos x sin x  + 1 =  0.
11). sin² x  + 3 cos² x — 2 sin x cos x = ^{5 - \/3} /₂
12). sin x cos x = — 0,25.
13). sin x + cos x =  \/2.