Графический способ решения тригонометрических уравнений

Уравнения, с которыми приходится сталкиваться при решении практических задач, как правило, значительно отличаются от тех, которые мы рассматривали. Для таких уравнений иногда вообще нельзя указать никакого способа, который позволял бы найти корни абсолютно точно. В таком случае приходится ограничиваться нахождением лишь приближенных значений корней. Современная математика располагает эффективными методами приближенного решения уравнений. Эти методы излагаются в учебниках по вычислительной математике и требуют определенных знаний, которых у нас пока еще нет. Поэтому мы остановимся лишь на одном из доступных нам способов — графическом способе.

Пусть, например, нужно решить уравнение

sin х = 1 — х.

На одном и том же рисунке начертим два графика: график функции y = sin х и график функции у = 1— х .

Эти графики пересекаются в одной точке М. Абсцисса этой точки и дает нам единственный корень нашего уравнения:

х ≈ 0,5.

Для уточнения полученного результата полезно использовать тригонометрические таблицы или кмпьютерные программы.  При х = 0,5  

sin x ≈ 0,4794,
1 — х = 0,5;

следовательно, sin х < 1 — х. Но тогда, как легко понять из рисунка , корень уравнения sin х = 1 —х будет больше, чем 0,5. Проверим значение х = 0,6. Имеем (при х = 0,6):

sin х ≈ 0,5446,
 1 — х = 0,4;

следовательно, sin х > 1 — х. Но тогда, как легко понять из того же рисунка , искомый корень x₀ должен быть меньше, чем 0,6. Теперь уже мы знаем, что x₀ находится в интервале [0,5; 0,6]. Поэтому с точностью до 0,1

x₀ ≈0,5 (с недостатком),
x₀ ≈ 0,6 (с избытком).

С помощью таблиц можно найти приближенное значение x₀ и с точностью до 0,01. Разделим интервал [0,5; 0,6] пополам. В средней точке (x = 0,55) этого интервала

sin х ≈ 0,5227,
1 — х = 0,45.

Опять получаем, что sin х > 1 — х. Следовательно, x₀ < 0,55.

Проверим точку х = 0,52 (она близка к средней точке х = 0,525 интервала [0,50; 0,55], в котором заключен корень x₀). При х = 0,52

sin х ≈ 0,4969,
1 — х = 0,48.

Снова sin x > 1 — х; поэтому  x₀ < 0,52. Итак, 0,50 <  x₀ < 0,52. Поэтому   с  точностью  до   0,01

x₀ ≈ 0,51.

*********************************

Гораздо более интересен современный метод решения этой задачи в программе Mapple. Меняя  параметр Plot -> Axes -> Range, мы постепенно приближаемся ко все более точному значению.

 Упражнения

1).   Выше мы показали, что с точностью до 0,01 корень уравнения sin х = 1 —х  равен 0,51. Определите,  какое это значение корня: с недостатком или с избытком.

2).   Найти корни данных уравнений с точностью до 0,01:
a) cos х = х — 1; б) sin х + 0,5 = х.

3).   Сколько корней имеет уравнение 10sin х = x?

4).   Найти   наименьший   положительный   корень   уравнения tg x = 1 —х с точностью до 0,01.

Все упражнения можно выполнять и в Mapple.