Тригонометрические неравенства

При  решении  тригонометрических  неравенств  полезно  обращаться к графикам. Пусть, например, нужно решить неравенство

cos x > ¹/₂

На   одном и   том   же   чертеже   построим    графики  функций у = cos х и у = ¹/₂ 

Как    видно   из    рисунка, один из интервалов, в котором выполняется данное неравенство, заключен между наименьшими по абсолютной величине корнями уравнения
cos х = ¹/₂, то есть между точками х = — ^π/₃  и х = ^π/₃ Все остальные интервалы, в которых выполняется данное неравенство,  получаются путем сдвига интервала  
(— ^π/₃,  ^π/₃) влево или вправо на расстояния, кратные 2π.    Поэтому   неравенство
cos x > ¹/₂ выполняется при условии, что

— ^π/₃ + 2nπ < х < ^π/₃ + 2nπ ,

где n — любое целое число.

Рассмотрим еще один пример.  Решить неравенство

2 cos² х + 3 cos x — 2 > 0.

Обозначив cos x  через у, придем к следующему квадратному неравенству:

2у² + 3у — 2 > 0.

Это неравенство выполняется при у < —2 и  у  > ¹/₂. Поэтому все решения данного неравенства должны удовлетворять либо неравенству cos х < —2, либо неравенству
cos х >  ¹/₂ . Первое из этих неравенств не выполняется ни при каких значениях х; второе же неравенство, как мы показали выше, выполняется     при

— ^π/₃ + 2nπ < х < ^π/₃ + 2nπ ,

Упражнения

Решить неравенства:

1). tg x > l

2). sin x < — ^{\/ 2}/₂

3). 2sin²x — 5sin x + 3 > 0

4). sin² x > cos x

5). |sin x| > ¹/₂