Расстояние между двумя точками плоскости.
Системы  координат

Каждая точка А  плоскости характеризуется своими   координатами (х, у). Они совпадают с координатами вектора 0А, выходящего из точки 0 — начала координат .

Пусть А и В — произвольные точки  плоскости с   координатами (х₁ y₁) и (х₂, у₂) соответственно.

Тогда вектор   AB имеет, очевидно, координаты (х₂— х₁, y₂ — y₁).   Известно,  что квадрат длины  вектора  равен  сумме  квадратов   его  координат.  Поэтому  расстояние d между точками А и В, или, что то же самое, длина вектора   АВ,   определяется   из условия

d² = (х₂— х₁)² + (y₂— y₁)².

Отсюда

d = \/(х₂— х₁)² + (y₂— y₁)²

Полученная  формула  позволяет находить расстояние между любыми двумя точками  плоскости, если только известны   координаты этих точек

Каждый раз, говоря о координатах той или иной точки плоскоси,  мы имеем в виду вполне определенную  систему   координат  х0у. А вообще-то систему координат на плоскости можно выбирать по-разному. Так, вместо системы координат х0у можно рассмотреть систему координат х'0у' , которая   получается   в   результате   поворота   старых   осей   координат   вокруг начальной точки 0 против часовой стрелки на угол α.

Если некоторая точка плоскости в системе координат х0у имела координаты (х, у), то в новой системе координат х'0у' она будет иметь уже другие координаты (х', у').

В качестве примера рассмотрим точку М, расположенную на оси 0х' и отстоящую от точки 0 на расстоянии,   равном   1.

Очевидно, что в системе координат x0у эта точка имеет координаты (cos α, sin α), а в системе координат х'0у' координаты (1,0).

Координаты любых двух точек плоскости А и В зависят от того, как в этой плоскости задана система координат. А вот расстояние между этими точками не зависит от способа задания системы координат. Это важное обстоятельство будет существенно использовано нами в следующем параграфе.

Упражнения

I.   Найти расстояния между   точками    плоскости с координатами:

1)   (3,5) и (3,4);            3) (0,5) и (5, 0);        5) (—3,4) и (9, —17);

2)   (2, 1) и (— 5, 1);     4) (0, 7) и (3,3);       6) (8, 21)   и (1, —3).

II.   Найти   периметр  треугольника,   стороны  которого  заданы уравнениями:

x + у — 1 = 0,     2x — у — 2 = 0  и  у = 1.

III.   В системе координат х0у точки М и N имеют   координаты (1, 0) и (0,1) соответственно. Найти координаты этих  точек в новой   системе   координат,   которая   получается   и   результате поворота старых  осей   вокруг   начальной   точки   на   угол в 30° против часовой стрелки.

IV.   В системе координат х0у точки М и N имеют координаты (2, 0) и ( ^\/3/₂ , — ¹/₂) соответственно. Найти координаты этих точек в новой системе координат, которая получается в результате поворота старых осей вокруг начальной точки на угол в 30° по часовой стрелке.