| 3ГОНОМЕТРИЯ В НАЧАЛО |
|
Тангенс суммы и разности двух углов Формулы для выражения синуса и косинуса суммы (разности) двух углов через синусы и косинусы этих углов позволяют получить соответствующие формулы для тангенса и котангенса. Действительно,
Предположим, что cos α и cos β отличны от нуля (это равносильно тому, что tg α и tg β определены). Тогда, разделив числитель и знаменатель последней дроби на cos α • cos β, получим.
Итак, если тангенсы углов α , β и α + β определены, то
Тангенс суммы двух углов равен сумме тангенсов этих углов, деленной на единицу минус произведение тангенсов этих углов. Пример.
Заменяя в формуле (1) β на (—β ) и учитывая, что функция у = tg х является нечетной, получаем:
Тангенс разности двух углов равен разности тангенсов этих углов, деленной на единицу плюс произведение тангенсов этих углов. Пример 1.
Пример 2. Пусть прямая у = k1x образует с осью абсцисс угол α , а прямая у = k2x - угол β
Тогда угол φ между этими прямыми будет равен φ = β — α . Предположим, что рассматриваемые прямые не перпендикулярны друг другу. Тогда тангенс угла φ существует и равен
Ho tg α = k1 tg β = k2. Следовательно,
Так, угол между прямыми у = x/2 (k1 = 1/2) и у =3x ( k2= 3) определяется из условия
Поэтому φ = π/4 . Формулы для котангенса суммы и разности двух углов можно получить аналогично. Однако на практике эти формулы используются очень редко, и поэтому приводить их мы не будем. Упражнения 1. Найти tg 105°, представив 105° в виде суммы 60° + 45°. 2. Вычислить:
3. Найти tg (α + β) и tg (α — β), если sin α =0,6; cos β = —12/13 π/2 < α < π ; π < β < 3π/2 4. Найти tg (α + β) и tg (α — β), если sin α = —4/5; cos β = 5/13 причем оба угла (α и β) оканчиваются в одной и той же четверти. 5.Вычислить : а). tg (arctg 2 + arctg 3). б). tg (arсsin 1/3 + arccos 2/3 ).
6.Найти угол между, данными прямыми : а). у = х и у = 2/3 х + 6. б). 3х — 2у = 6 и 2х + 3у — 7 = 0. 7. Доказать, что прямые у = k1х+ b1 и у = k2x + b2 перпендикулярны тогда и только тогда, когда k1k2 = — 1. |
|
|
