Выражение тангенса половинного угла через синус и косинус целого угла

Тангенс половинного угла можно выразить через синус   и   косинус целого угла с помощью формул:

Действительно,

Тем самым доказана формула (1). Аналогично   доказывается   и формула (2).

Формулы   (1)   и   (2)   удобнее  доказанной   в  ранее  формулы

поскольку они не содержат радикала и, следовательно, не нужно решать, какой знак должен стоять перед радикалом. Однако при расчетах по формуле (3) достаточно знать лишь косинус угла α , а при расчетах по формулам (1) и (2), помимо косинуса, нужно знать и синус этого угла.

Упражнения

1.  Найти   tg ^α/₂,   если   известно,   что   sin α  = ¹²/₁₃ и   угол α оканчивается не в 1-й четверти.

2. Найти tg α, если известно, что sin 2α = — 0,8 и  угол 2α оканчивается не в 4-й четверти.

3. Доказать,   что если  синус  и   косинус  угла  2α рациональны, то тангенс угла α также рационален. Верно ли обратное утверждение?