ѕреобразование произведени¤ тригонометрических функций в сумму

—ложив почленно тождества

sin (α + β)  = sin α Х cos β + sin β Х cos α. 

sin (α Ч β)  = sin α Х cos β Ч sin β Х cos α.,

получим:

sin (α + β)  +  sin (α Ч β)  == 2sin α Х cos β,

откуда

sin α Х cos β =  ¹/₂ [sin (α + β)  +  sin (α Ч β)]                 (1)

ѕроизведение синуса одного угла на косинус другого равно полусумме синуса суммы и синуса разности этих углов.

Ќапример,

—ложив почленно тождества

cos (α + β) = cos α cos β Ч sin α sin β

cos (α Ч β) = cos α cos β + sin α sin β

получим:

cos (α + β)  + cos (α Ч β) =2 cos α cos β,

откуда

cos α cos β = ¹/₂ [cos (α + β)  + cos (α Ч β)].                (2)

ѕроизведение косинусов  двух углов равно полусумме косинуса суммы и косинуса разности этих углов.

Ќапример,

cos ^7π/₁₂ Х cos ^π/₁₂ = ¹/₂ [cos (^7π/₁₂ + ^π/₁₂)  + cos (^7π/₁₂ Ч ^π/₁₂) ]  =
= ¹/₂ [cos ^2π/₃   + cos ^π/₂ ] = ¹/₂ [ Ч¹/₂ + 0] = Ч¹/₄

≈сли из тождества

cos (α Ч β) = cos α cos β + sin α sin β

вычесть почленно тождество

cos (α + β) = cos α cos β Ч sin α sin β ,

то в результате получим:

cos (α Ч β) Ч cos (α + β)  = 2 sin α sin β, откуда

sin α sin β =  ¹/₂ [cos (α Ч β)   Ч cos (α + β)].                (3)

ѕроизведение синусов двух углов равно полуразности косинуса разности и косинуса суммы этих углов.

”пражнени¤

1.¬ычислить, не пользу¤сь таблицами:

а).  2 sin 37°30' cos 7°30'.                г). sin 52°30' sin 7°30'.

б).  sin 52°30' cos 7°30'                  д). cos 75° cos 105°.

в).  cos 37°30; cos 7°30'.                 е). sin 45° sin 15°.

2. ƒанные  произведени¤  представить  в виде сумм :

а).  sin3°Х sin 5°.

б).  sin 7° Х cos 9°.

в).   cos 17°Х cos 3°.

г).  sin (x + α) Х sin (x Ч α).

д).  sin (x + α) Х cos (x Ч α).

е).  cos (x + α) Х cos (x Ч α).

ж).  4 sin 20° Х cos 50° Х cos 80°.

з).  4 cos 15° Х sin 20° Х sin 40°.

3. ƒоказать тождества:

а).  2 sin 2α sin α + cos 3α = cos α.

б).  sin α Ч 2sin ( ^α/₂Ч 15°) Х cos ( ^α/₂+ 15°) = ¹/₂.