Гармоническое колебание
Пусть точка М движется по окружности радиуса A против часовой стрелки равномерно с постоянной угловой скоростью ω радианов в секунду.
Если в начальный момент времени (t = 0) эта точка занимала положение М0, определяемое углом φ, то через t секунд она займет некоторое положение М, определяемое углом ωt + φ.
В то время как точка М движется по окружности, ее проекция Р на ось ординат совершает колебания вдоль диаметра CD, достигая то наивысшего положения С, то наинизшего положения D. Чтобы математически описать это колебание, выразим ординату точки Р через угол φ, угловую скорость ω и текущее время t. Отношение этой ординаты у к радиусу окружности А является синусом
угла, который образует вектор ОМ с осью х. Но этот угол в момент времени t, как указано выше, равен ωt + φ.
Поэтому y/A= sin (ωt + φ), откуда
у = A sin (ωt + φ) (1)
Формула (1) и представляет собой закон колебания проекции точки М на ось ординат. Колебания такого рода получили название гармонических колебаний. Формула гармонического колебания у = A sin (ωt + φ) определяет у как функцию времени
t. Максимальное значение этой функции равно, очевидно, А, а минимальное (— А). Следовательно, все значения этой функции заключены между —А и A. Поэтому А называется амплитудой колебания.
Переменный угол ωt + φ называется фазой колебания. Начальная фаза колебания φ всегда положительна и меньше 2π.
Время Т, в течение которого точка М сделает один полный оборот по окружности, называется периодом гармонического колебания. В течение этого периода проекция Р точки М пройдет дважды все свои возможные положения и возвратится в первоначальное положение. Исключение составят лишь предельные положения С и D , каждое из которых точка пройдет один раз.
Посмотрим, как выражается период гармонического колебания Т через амплитуду А, угловую скорость ω и начальную фазу φ.
За время Т точка М пройдет путь ωТ радианов. Но этот путь вместе с тем равен длине окружности, то есть 2π радианам. Поэтому ωТ = 2π, откуда
Т = 2π/ω. (2)
Таким образом, период гармонического колебания обратно пропорционален угловой скорости. Он не зависит ни от амплитуды, ни от начальной фазы колебаний.
Период гармонического колебания (1) является периодом функции у = A sin (ωt + φ) Действительно,
у = A sin [ω(t +T)+ φ] = A sin [ω(t + 2π/ω) + φ] = A sin [ωt + φ + 2π] =
= A sin (ωt + φ)
Это можно было бы понять, конечно, и без выполненных преобразований. Ведь в момент времени t + Т точка Р возвращается в то же самое положение, которое она занимала в момент времени t. А значения функции A sin (ωt + φ) представляют собой ординаты точки Р.
Величину, обратную периоду колебания, принято называть частотой колебания и обозначать буквой ν . (греческая буква, читается : ню ).Частота гармонического колебания (1) равна
ν = 1/T =ω/2π. (3)
Эта величина показывает, сколько колебаний совершает точка в течение одной секунды.
Угловая скорость со выражается через частоту ν и период колебания Т следующим образом (см. (3)):
ω = 2πν = 2π/T
Поэтому уравнение гармонического колебания (1) часто записывают в виде:
у = A sin (2π νt + φ),
|