5. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЛЮБОГО АРГУМЕНТА

§ 23. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
МЕЖДУ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ
ОДНОГО И ТОГО ЖЕ АРГУМЕНТА

1108. Существует ли такое значение угла α , для которого.

1) sin α  = ¹²/₁₃ ,  a cos α  = ⁵/₁₃;       2) sin α  = 0,4, a cos α  = 0,87;
3) sin α  = ²/₃,  a  tg α  = ¹/₃ ;             4) cos α = ²⁹/₁₀₀,   а   tg α  = 4,95?

1109. Выразить тригонометрические функции угла α через
1) sin α; 2) cos α; 3) tg α; 4) ctg α и полученные зависимости свести в одну таблицу.

1110. Найти значения тригонометрических функций угла α по заданному значению одной из них. Вычисления произвести двумя способами: а) по таблицам; б) применяя тригонометрические тождества.

1) Дано: sin α = 0,8,    0° < α < 90°.  Определить cos α, tg α и ctg α.
2) Дано: cos α = — ⁵/₁₃, 90° <α< 180°. Определить sin α, tg α и ctg α.
3) Дано: tg α = 3 ¹⁵/₁₆, 180°< α <270°. Определить sin α, cos α и ctg α.
4) Дано: ctg α = — ⁹/₄₀,  270° < α <360°.  Определить sin α, cos α и tg α.

1111. Найти значения всех тригонометрических функций угла  α, если известно, что:

1) sin α = ⁴/₅;         2) sin α = — 0,6;     3) cos α = ⁴⁵/₅₃;
4) cos α = —²/₃;   5) tg α = 0,225;        6) tg α = —3 ³/₇;
7) ctg α = 1⁷/₈;      8) ctg α = —2,4;      9) sin α = ^m/_n,    0 < m < n.

1112. Какие значения могут принимать sin α и cos α  в задаче 972?

1113. Полагая 0° < α < 90°, вычислить значение тригонометрической функции угла α по заданному значению другой тригонометрической функции того же угла:

1) sin α = 0,28; вычислить cos α;       2) cos α = ³/₅; вычислить tg α;
3) tg α = 2,4; вычислить sin α;           4) ctg α = ⁸/₁₅; вычислить sin α.

1114. Считая  90° < α < 180°, вычислить значение тригонометрической функции угла α  по заданному значению другой тригонометрической функции того же угла.

1) tg α = —0,75; вычислить sin α;
2) sin α = ¹⁵/₁₇; вычислить, cos α;
3) sin α = ²⁰/₁₀₁:; вычислить tg α;
4) ctg α = —0,5; вычислить cos α.

1115. Положив 180° < α < 270°, вычислить значение тригонометрической функции угла α по заданному значению другой тригонометрической функции того же угла:

1) ctg α = 2; вычислить sin α;
2) cos α = — ⁵/₁₃; вычислить ctg α;
3) tg α= 1 ⁷/₈; вычислить cos α;
4) sin α = —√1 — a²  ; вычислить cos α. Каким должно быть число а?

1116. Принимая 270°< α <360°, вычислить значения тригонометрических функций угла α по заданному значению другой тригонометрической функции того же угла:

1) ctg α = —⁵/₁₂ вычислить sin α;
2) cos α = 0,5 √3 ; вычислить tg α;
3) sin α = — ¹⁵/₁₇; вычислить tg α;
4) sin α = — ³/₅; вычислить cosα.

1117. Дано: 0° < α < 90°, cos α = 1 + а. Вычислить sin α. Каким должно быть число а?

Вычислить:

1118. 1) sin (arcsin 0,34);           2) cos (acrsin 0,6);
          3) tg (arcsin ²¹/₂₉);            4) ctg (arcsin ¹⁵/₁₇);
          5) cos (arccos  ¹/_π ) ;        6) sin[arccos(—0,28)];
          7) tg (arccos ⁵/₁₃ );           8) ctg (arccos 0,8).

1119.  1) tg (arctg √5);                     2) ctg (arctg 3);
           3) sin [arctg (— 1 ⁷/₈)];         4) cos (arctg 0,225).
           5) ctg (arcctg π);                   6) tg (arcctg 3,5);
           7) sin (arcctg ¹¹/₆₀);               8) cos [arcctg(—1,05)].

1120*. Выразить через арксинус:

1) arccos ¹²/₁₃;       2) arctg ⁸/₁₅;        3) arcctg ²⁰/₂₁.

1121*. Выразить через арккосинус:

1) arcsin ³³/₆₅;         2) arctg 0,75;      3) arcctg ⁶⁶/₇₂.

1122*. Выразить через арктангенс:

1) arcsin ³⁵/₃₇;         2) arccos ¹¹/₆₁;   3) arcctg 3 ¹⁵/₁₆.

1123*. Выразить через арккотангенс:

1) arcsin ⁹/₄₁;          2) arccos ⁵/₁₃;       3) arctg 1 ⁷/₈.

Упростить следующие выражения и указать в каждом случае допустимые значения для аргументов.

 1180. Решить тригонометрические уравнения как алгебраические относительно данной тригонометрической функции:

1) sin² x + 2sin x — 3 = 0;       2) 2cos²x = 3cos x + 2;
3) 2 sin²x — sin x = 0;             4) tg²x + √3  = (1 + √3 ) • tg x;
5) cos x (2cos x + 1) = 1;        6) tg² x — 5tg² x + 4 = 0.

1181. Решить следующие уравнения, преобразовав их в алгебраические относительно какой-либо тригонометрической функции:

1) 8sin² x — 2 cos x = 5;          2) 3sin x = 2cos² x,
3) tg x + 3 ctg x = 4;                 4) sin² x — sin⁴ x + cos⁴ x = 1;
5) sin⁶ x + cos⁶ x + 3 sin² x • cos² x = sin x.

1182. Решить тригонометрические уравнения разложением левой части уравнения на множители:

1) sin² x — sin x = 0;                2) 0,5 cos² x + cos x = 0;
3) tg² x — 3 tg x = 0;               4) ctg³ x = ctg x;
5) 1 + cos x = sin x + tg x;        6) sin x— cos x + 2sin x • cos x = 0,5.

1183. Решить тригонометрические уравнения, однородные относительно sin x и cos x:

1) sin x = cos x;            2) 5sin x — 2cos x = 0;
3) sin² x = 3cos² x;       4) 2sin² x — 3sin x • cos x + cos² x = 0;
5) sin² x = 3sin x • cos x;
6) 4sin² x • cos x — 4sin x • cos² x + cos³ x = 0.

1184. Решить тригонометрические уравнения, преобразовав их в однородные относительно sin  x и cos  x:

1) sin x • ctg x + cos x • tg x = 0;
2) sin³ x • (1 — ctg  x) — cos³ x • (1 — tg  x) = 0;
3)  ¹/_{cos x}  = 4 sin x + 6 cos x;
4) sin x — cos x — 4 cos² x • sin x = 4sin³ x;
5) 3sin² x — 4 sin x • cos x + 5 cos² x = 2;
6) 2sin² x + (√3 + 1) (cos x — sin x) cos x = 1.

1185. Решить тригонометрические уравнения:

1) 2sin x + cos x • ctg x + 2 = 0;
2) sin x • cos x + 2 = cos x + 2sin x;
3) sin² x + ctg² x = 1;
4) 2 (1 + sin⁶ x + cos⁶ x) — 3 (sin⁴ x + cos⁴ x) — cos x = 0;
5) 1 — sin⁴ x — cos⁴ x = 0.

1186* Решить неравенства:

1) sin⁴ x + 6cos² x— 1 > 0;          2) tg² x + ctg² x > 2;
3) sin πx — cos πx > 0;                4) 1 — cos x < tg x — sin x.

ОТВЕТЫ