Глава III.  Применение тригонометрии к решению геометрических задач

УПРАЖНЕНИЯ

Задачи  на многогранники

Параллелепипед и призма
Пирамида
Усеченная пирамида

Параллелепипед и призма

105 (367). Углы, образуемые диагональю прямоугольного параллелепипеда с его рёбрами, исходящими из одной с ней вершины, равны , ß и . Доказать, что cos²  + cos² ß + cos²  = 1, и вычислить /   , если = 31°10' и ß = 69°10' (преобразовать предварительно выражение для cos²   в произведение).

106 (368).Даны в пространстве три взаимно перпендикулярных луча, выходящих из одной точки, и вектор, исходящий из этой же точки. Доказать, что если вектор составляет с лучами углы , ß и ,   то   справедливо   соотношение:   cos²  + cos² ß + cos²  = 1.
Справедливо ли это соотношение, если направление вектора совпадает с направлением одного их трёх данных лучей?

107 (369). Диагональ  прямоугольного  параллелепипеда  образует с тремя его неравными гранями углы , ß и . Доказать: 1)sin²  + sin² ß + sin²  = 1  2) cos²  + cos² ß + cos²  = 2

108 (370). 1) Стороны основания прямоугольного параллелепипеда а = 36 см и b = 15 см. Диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью основания угол  = 38°. Определить площадь боковой поверхности параллелепипеда и его объём.

2) Основанием прямого параллелепипеда служит ромб со стороной а = 58 см и острым углом =63°. Большая диагональ параллелепипеда составляет с плоскостью его основания угол ß == 52°. Определить объём параллелепипеда.

109 (371). Определить объём прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого а составляет с плоскостью основания угол , а с большей боковой гранью угол ß. Исследовать полученную формулу решения.

110 (372).В прямоугольном параллелепипеде диагональ основания d, угол между диагоналями основания , а угол, образуемый диагональной  плоскостью,   проведённой  через  большую  сторону основания, с плоскостью основания ß. Определить объём параллелепипеда. (Вычислить при d = 7,5;  = 43° и ß = 57° .)

111 (373).Каждое ребро параллелепипеда равно 1 см. У одной из вершин параллелепипеда, в гранях его, три угла острые, по 2 каждый. Определить объём параллелепипеда.  Исследовать полученную формулу решения.

112 (374).В параллелепипеде длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины, а, b и с; рёбра а и b взаимно перпендикулярны, а ребро с образует с каждым из них угол . Определить объём параллелепипеда и угол между ребром с и плоскостью основания.

113 (375).Высота правильной четырёхугольной призмы равна h. Из одной вершины основания проведены в двух смежных боковых гранях две диагонали, угол между которыми равен . Определить площадь боковой поверхности призмы. Исследовать полученную формулу решения.

114 (376).Через диагональ нижнего и вершину верхнего основания правильной четырёхугольной призмы проведена плоскость, пересекающая две смежные боковые грани призмы по прямым, образующим угол  = 58°. Сторона основания призмы a = 6,4 см. Определить объём призмы  .

115 (377).В правильной треугольной призме сторона основания равна а. Две вершины верхнего основания соединены с серединами противоположных им сторон нижнего основания. Определить объём призмы,  если угол между  проведёнными  прямыми,  обращенный к плоскости основания, равен . Исследовать полученное решение.

 116 (378).1) Основанием прямой призмы служит треугольник ABC, у которого сторона АС = b, сторона ВС = а, угол АСВ = . Боковое ребро призмы равно высоте треугольника ABC, проведённой из вершины С. Определить объём призмы.

2) Основанием прямой призмы служит равнобедренный треугольник,   в  котором  угол между равными сторонами а равен . Из вершины верхнего основания проведены две диагонали равных боковых граней; угол между ними равен ß. Найти площадь боковой поверхности призмы. Исследовать формулу решения. (Вычислить при а = 97,84 см;  = 63°28' и ß = 39°3б'.)

117 (379). Основанием призмы служит /\ ABC, в котором ВС =  а и АВ = АС. Ребро АA₁, равно b и перпендикулярно ВС; двугранный угол при  ребре АA₁,  равен . Определить объём и площадь боковой поверхности призмы.

118 (380).Сторона основания правильной пятиугольной призмы а, высота призмы   равна ¹/₄  диагонали основания.   Вычислить площадь поверхности призмы.

119 (381).В треугольной призме каждая сторона основания равна а. Одна из вершин верхнего основания имеет своей проекцией центр нижнего основания. Боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом . Определить площадь боковой поверхности призмы.   Исследовать формулу  решения.

120 (382). Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна d и наклонена к боковой грани под углом . Определить площадь боковой поверхности призмы. Исследовать формулу решения.

121 (383). Определить объём прямой четырёхугольной призмы, если высота её h, диагонали её наклонены к плоскости основания под углами  и ß и острый угол в пересечении диагоналей основания равен .

122 (384).Плоскость, проведённая через ребро основания куба и составляющая с плоскостью основания угол , делит куб на треугольную и четырёхугольную призмы. Определить объём каждой призмы,   если ребро куба  равно а.    Исследовать   формулу   решения.

123 (385).Высота  правильной  треугольной  призмы равна h. Через одно из рёбер основания и противоположную ему вершину другого основания проведена плоскость. Найти площадь получившейся в сечении фигуры, если угол её при взятой вершине призмы равен 2. Исследовать полученную формулу решения.

124 (386).В правильной треугольной призме через сторону основания проведена плоскость под углом  к плоскости основания. Сторона основания призмы равна а. Найти площадь получившегося сечения. Исследовать полученное решение.

125 (387).1) В прямой четырёхугольной призме площадь основания m, площади диагональных сечений р и q, двугранный угол между ними . Определить объём призмы.
2) Площади двух боковых граней треугольной призмы равны m и n, двугранный угол между ними равен . Определить объём призмы, если её боковое ребро а.

126 (388). 1) В основании прямой призмы лежит трапеция. Через противоположные основания трапеций верхнего и нижнего оснований призмы проведена плоскость под углом  к основаниям призмы. Каждая диагональ получившейся в сечении фигуры равна d, а угол между диагоналями, обращенный к основаниям, ß. Определить объём призмы.
2) Высота h прямой призмы равна 20 см; основанием служит прямоугольная трапеция с острым углом  = 46°, описанная около круга радиуса r = 6 см. Найти объём призмы.

127 (389). В треугольной призме расстояния между тремя боковыми рёбрами последовательно равны a, b и с. Высота призмы Н и составляет с боковым ребром призмы угол . Найти объём призмы и площадь её боковой поверхности.

128 (390).Основанием призмы служит правильный шестиугольник со стороной а. Боковое ребро составляет с плоскостью основания угол , и его проекция на эту плоскость равна радиусу окружности, описанной около основания  призмы.  Определить объем призмы.

129 (391).Через сторону нижнего основания правильной треугольной призмы проведена плоскость, пересекающая две боковые ее грани по прямым, составляющим между собой угол . Определить наклон этой плоскости к основанию призмы.

130 (392).Через диагональ нижнего и вершину верхнего основания правильной четырёхугольной призмы проведена плоскость, пересекающая две смежные боковые грани призмы по прямым, угол между которыми равен . Определить объём призмы, если ребро её основания равно .

131 (393).В треугольной призме два угла основания и ß, радиус описанного около основания  круга  R.   Каждое боковое ребро  наклонено к плоскости основания под углом . Определить объём призмы.

132 (394).В правильной четырёхугольной призме через середины двух смежных сторон основания проведена плоскость, пересекающая три боковых ребра и наклонённая к плоскости основания под углом . Сторона основания равна а. Определить площадь полученного сечения.

133 (395).В   правильной  четырёхугольной   призме  проведена плоскость через середину оси и середины двух последовательных сторон основания. Зная, что сторона основания равна а, а боковое ребро b, определить: 1) площадь полученного сечения и 2) угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания.

134 (396).1) Если правильную четырёхугольную призму переcечь так, чтобы в сечении получился ромб с острым углом , то секущая плоскость окажется параллельной диагонали основания и составит с плоскостью основания такой угол ,  что  Доказать.

2) Основанием прямой четырёхугольной призмы служит ромб c острым углом . Если её пересечь плоскостью, параллельной большей диагонали   ромба,   под таким   углом      к   плоскости основания, чтобы в сечении  получился квадрат с вершинами на боковых рёбрах   призмы,   то    . Доказать.

Пирамида

135 (397). 1) По данной модели правильной треугольной пирамиды рассчитать: угол наклона бокового  ребра   к  плоскости  основания;   угол наклона боковой грани к плоскости основания; измерить транспортиром плоские углы при вершинах.
2)  В правильной четырёхугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Определить двугранный угол при ребре основания пирамиды.
3)  В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом . Определить двугранный угол при боковом ребре.
4)   В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при ребре основания равен . Определить угол наклона бокового ребра к плоскости основания.

136 (398).  1*) В правильной n-угольной пирамиде двугранный угол при боковом ребре равен 2. Определить двугранный угол при ребре основания.
2*) В правильной n-угольной пирамиде двугранный угол при боковом ребре равен 2. Определить угол наклона бокового ребра к плоскости  основания   пирамиды.
3) В правильной n-угольной пирамиде угол между боковым ребром и смежным ребром основания равен . Определить угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания.

137 (399). Основанием пирамиды служит правильный треугольник; из боковых граней одна перпендикулярна к основанию, а две другие наклонены к нему под углом . Как наклонены к плоскости основания боковые рёбра?

138 (400). В  правильной  n-угольной  пирамиде высота  вдвое меньше стороны основания. Определить двугранный угол при ребре основания.

139 (401).  В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна a и составляет с боковым ребром угол . Определить площадь сечения, проведённого через боковое ребро и высоту пирамиды. Почему угол  должен быть больше 30°?

140 (402). 1) В правильной четырёхугольной пирамиде боковое ребро равно b и образует с плоскостью основания угол . Через диагональ основания параллельно боковому ребру проведена плоскость. Определить площадь сечения.

2) В правильной треугольной пирамиде SABC   ребро основания а и двугранный угол при ребре основания .
Определить площадь сечения DEFK, проведённого через центр основания  параллельно  непересекающимся  рёбрам SA и  ВС.

141 (403). В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна а и боковое ребро образует с плоскостью основания угол . Через центр основания проведена плоскость параллельно двум непересекающимся рёбрам пирамиды. Определить площадь сечения.

142 (404).1) В правильной четырёхугольном пирамиде сторона основания равняется а и двугранный угол при ребрe основания 2. Определить площадь сечения, которое делит данный двугранный угол пополам. Исследовать формулу решения.
2) В правильной четырёхугольной пирамиде двугранный угол при ребре основания равен . Через ребро основания проведена плоскость под углом ß к основанию (ß < ). Ребро основания пирамиды равно а. Определить площадь сечения.

143 (405). В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна h, а двугранный угол при ребре основания   равен .  Определить   площадь сечения,  образованного     плоскостью, проходящей через середину высоты пирамиды параллельно боковой грани.

144 (406).1) В правильной четырёхугольной пирамиде ребро основания равно а и боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом . Через одну из вершин основания   проведена   плоскость   перпендикулярно   к   противолежащему боковому ребру. Определить площадь сечения. Исследовать формулу решения.
2) В правильней четырёхугольной пирамиде плоский угол при вершине равен  и ребро основания равно а. Через диагональ основания проведена плоскость, перпендикулярная к противолежащему боковому ребру. Определить площадь получившегося сечения. Исследовать формулу решения.

145 (407). 1) В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно а и наклонено к основанию под углом . Найти площадь сечения этой пирамиды плоскостью, проведённой внутри пирамиды через её вершину, параллельно стороне основания и под углом ß к плоскости основания. (Рассмотреть два случая.)
2) В правильной четырёхугольной пирамиде, высота которой h составляет с боковым ребром угол , через диагональ основания проведена плоскость под углом  к основанию. Определить площадь сечения.

146 (408).1) В правильной четырёхугольной пирамиде через сторону основания проведена плоскость,  перпендикулярная к противоположной боковой грани. Определить площадь получившегося сечения, если сторона основания пирамиды а и двугранный угол при основании .
2) В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна a и плоский угол при вершине равен 2. Определить площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через одну из сторон основания перпендикулярно к противолежащему боковому ребру. Исследовать формулу решения.

147 (409).В   правильном   четырёхугольной  пирамиде сторона основания равна а и боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом . Из центра основания пирамиды на две смежные боковые грани опущены перпендикуляры. Определить площадь сечения, образованного плоскостью, проведённой через два построенных перпендикуляра.

148 (410).Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна h, и плоский угол при вершине равен 2. Определить площадь боковой поверхности пирамиды.

149 (411).В треугольной пирамиде плоские углы при вершине ,  и ß. Боковое ребро, служащее общей стороной равных углов, перпендикулярно к плоскости основания и равно а. Определить площадь боковой поверхности пирамиды.

150 (412).1) Основанием пирамиды служит квадрат со стороной a. Из боковых граней две перпендикулярны к основанию, а две другие образуют с ним угол . Определить площадь поверхности пирамиды.
2) Основанием пирамиды служит прямоугольник. Две смежные боковые грани перпендикулярны к основанию, а две другие образуют с ним углы  и ß. Высота пирамиды равна h. Определить площадь боковой поверхности пирамиды.

151 (413). Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и острым углом . Две смежные боковые грани, заключающие угол , перпендикулярны к основанию, а две другие наклонены к нему под углом . Определить площадь боковой поверхности пирамиды.

152 (414).Определить объём правильной n-угольной пирамиды, боковое ребро которой b наклонено к плоскости её основания под углом ß. Вычислить при n = 8; b = 3,5 м; ß = 78°.

153 (415).В треугольной пирамиде две боковые грани — равнобедренные прямоугольные треугольники, гипотенузы которых равны b, и угол между ними . Определить объём пирамиды.

154 (416). В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 2а и плоский угол при вершине равен 2. Определить объём пирамиды.

155 (417). В правильной n-угольной пирамиде сторона основания равна 2а и двугранный угол при боковом ребре равен 2. Определить объём пирамиды. Исследовать формулу решения.

156 (418).1) Основанием пирамиды  является  прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом . Боковая грань, проходящая через гипотенузу, перпендикулярна к плоскости основания, а каждая другая боковая грань образует с плоскостью основания угол ß. Определить объём пирамиды.
2) Основанием пирамиды служит прямоугольный  треугольник с гипотенузой с и острым углом . Боковая грань, проходящая через катет, прилежащий к углу , перпендикулярна к плоскости основания, а две другие боковые грани наклонены к основанию под углом . Определить объём пирамиды.

157 (419).Доказать, что если основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды (т. е. вершина пирамиды проектируется в центр круга, описанного около основания пирамиды), то:

а)  все боковые рёбра (l) пирамиды равны между собой;
б)  углы ( ) наклона боковых рёбер пирамиды к плоскости основания равны между собой;
в)  имеют   место   соотношения:   H = l · sin  = R · tg ;  R = l · cos  ;
Н — высота пирамиды;
R — радиус окружности, описанной около основания пирамиды.
В этом случае какие из известных вам четырёхугольников могут быть основанием пирамиды?
Если основанием такой пирамиды является прямоугольный треугольник, то в какую точку проектируется вершина пирамиды?

158 (420).Определить объём пирамиды, имеющей основанием треугольник, два угла которого  и ß, радиус описанного круга R. Боковые рёбра пирамиды наклонены к плоскости её основания под углом .

159 (421). В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, один из острых углов которого , а каждое боковое ребро равно b и образует с плоскостью основания угол ß. Определить объём пирамиды.

160 ( 422).В основании пирамиды лежит прямоугольник.   Каждое боковое ребро пирамиды равно m и составляет со смежными сторонами прямоугольника углы  и ß. Определить объём пирамиды. Исследовать формулу решения.

161 (423).Основанием пирамиды служит трапеция, в которой каждая из боковых сторон и меньшая из параллельных имеют длину а, а острые углы равны ; боковые рёбра пирамиды образуют с плоскостью основания угол . Определить объём пирамиды.

162 (424). В треугольной пирамиде все боковые рёбра и два ребра основания равны а. Угол между равными рёбрами основания ранен . Определить объём пирамиды.

163 (425). Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны а и угол между ними . Боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом ß. В этой пирамиде проведена плоскость через её высоту и вершину угла . Определить площадь полученного сечения.

164 (426).Доказать, что если основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в основание пирамиды (т. е. вершина пирамиды проектируется в центр круга, вписанного в основание пирамиды), то:

а)  двугранные углы при рёбрах основания пирамиды равны между собой;
б)  высоты боковых граней пирамиды, проведённые из её вершины, равны между собой;
в)  имеют   место   соотношения:   r = h · cos ;   Н = r · tg  = = h · sin .

Н — высота пирамиды; h — высота боковой грани, проведённая к ребру основания; r — радиус круга, вписанного в основание, и  — двугранный угол при ребре основания.

В этом случае какие из известных вам четырёхугольников могут быть основанием пирамиды?

Указание. Если в треугольной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости, в которой лежит основание пирамиды, под одинаковыми углами, то вершина пирамиды проектируется в центр вписанной или вневписанной окружности.

165 (427). Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катеты которого 6 см и 8 см. Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости, в которой лежит основание пирамиды, под углом 60°.
Найти площадь боковой поверхности пирамиды.

Указание. Рассмотреть четыре возможных случая решения, когда вершина пирамиды проектируется в центр вписанной и вневписанной окружностей в основание пирамиды.

166 (428). В треугольной пирамиде стороны основания 13 см, 14 см   и 15 см и боковые грани пирамиды наклонены к плоскости, в которой лежит основание пирамиды, под углом в 45°. Вычислить площадь боковой поверхности пирамиды.

167 (429). Стороны основания треугольной пирамиды равны а, b и с; каждый двугранный угол при рёбрах основания равен . Определить площадь боковой поверхности и объём пирамиды.

168 (430). Основание пирамиды — ромб со стороной а и острым углом . Каждый двугранный угол при рёбрах oснования . Определить площадь боковой поверхности и объём пирамиды.

169 (431). В основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция, параллельные стороны которой равны а и b (а   > b). Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом . Определить площадь поверхности пирамиды.

170 (432).Основание пирамиды — равнобедренная    трапеция, диагональ которой равна l и составляет с большим основанием угол . Все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под углом . Определить площадь поверхности пирамиды.

171 (433).Если все боковые грани какой-либо пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом , то

      ^и        

где S₁ -площадь боковой грани, S — площадь поверхности, Q — площадь основания. Доказать.

172 (434). Дан правильный тетраэдр. Определить:
1) угол между двумя смежными гранями и 2) угол наклона ребра к плоскости противолежащей грани.

173 (435). Дан правильный октаэдр. Определить угол между двумя смежными гранями.

174 (435). 1) Дан икосаэдр . Определить угол между двумя его смежными гранями.

2) Дан додекаэдр. Определить угол между двумя его смежными гранями.

ОТВЕТЫ

Усеченная пирамида

175 (437). В правильной четырёхугольной усечённой пирамиде стороны нижнего и верхнего оснований соответственно равны а и b (а > b), двугранный угол при ребре нижнего основания равен . Определить объём и площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

176 (438). В правильной усечённой треугольной пирамиде рёбра нижнего и верхнего оснований соответственно равны а и b. (а > b), двугранный угол при ребре нижнего основания равен . Определить объём усечённой пирамиды и площадь её поверхности.

177 (439).В правильной n-угольной усечённой пирамиде даны боковое ребро с и стороны оснований а и b. Определить высоту усечённой пирамиды.

178 (440). В усечённой правильной четырёхугольной пирамиде стороны оснований относятся как m : n (m > n);  боковые рёбра наклонены к плоскости большего основания под углом . В этой пирамиде проведена плоскость через сторону большего основания и противоположную ей сторону меньшего основания. Какой угол образует эта плоскость с большим основанием пирамиды?

179 (441).В усечённой правильной четырёхугольной пирамиде даны высота Н и  и ß — углы, образуемые боковым ребром и диагональю усечённой пирамиды с плоскостью её большего основания. Определить площадь боковой поверхности усечённой пирамиды.

180 (442).В усечённой правильной четырёхугольной пирамиде даны стороны оснований а и b (а > b) и острый угол  в боковой грани. Определить объём. Исследовать формулу решения.

181 (443).По данной модели правильной усечённой четырёхугольной пирамиды рассчитать:
1)  угол наклона   бокового   ребра   к   плоскости   основания и
2)  угол наклона боковой грани к плоскости основания.

ОТВЕТЫ