ГЛАВА 7

СОЕДИНЕНИЯ   И  БИНОМ   НЬЮТОНА

708.. Найти т и п, зная, что

C ^m+1_n+1   :  C ^m_n+1  : C ^m—1_n+1   = 5 : 5 : 3.    Решение

709. Найти коэффициент при x⁸ в разложении

( 1 + x² — x³ )⁹       Решение

710..  Найти   коэффициент   при х^m в  разложении по степеням х выражения

(1 +х)^k + (1 +х)^k+1 + ... + (1 +х)ⁿ.

Разобрать при этом случаи т < k,    m  > k.   Решение

711..   В разложении   биномиальный коэффициент третьего члена на 44 больше   коэффициента второго члена. Найти член, не содержащий х. Решение

712.  Найти слагаемое в разложении не содержащее х. Решение

713..При   каком   значении   k   член   T_k+1   разложения по формуле бинома Ньютона

(1+√3 )¹⁰⁰

будет   одновременно больше   предыдущего и больше последующего членов этого разложения? Решение

714..Найти  условие,   при   котором   разложение   (l + a)ⁿ    (п — целое   положительное   число)   по   степеням   а =/= 0   содержит два равных последовательных слагаемых.  Могут ли в   разложении   содержаться   три   равных   последовательных слагаемых? Решение

715..Найти  число различных   не подобных между собой членов разложения

(x₁+   x₂  +   x₃   + ... +  x_n  )³ ,

получающихся после возведения в степень.  Решение

716..Пусть   p₁,    p₂,  ...,  p_n — различные простые числа. Сколько делителей имеет число q  =   p₁ p₂...p_n, включая 1 и q?  Решение

717..Показать, что если  каждый коэффициент в  разложении x (l + x)ⁿ   разделить   на   показатель   степени х, при которой   этот   коэффициент   стоит,   то   сумма   полученных частных будет равна

    Решение

718..Доказать, что при целом п > 0

Решение

719.   Каким  числом   способов   можно   разделить   колоду из 36 карт пополам так, чтобы в первой и во второй пачке было по 2 туза? Решение

720.. Сколько  можно   составить   телефонных номеров из пяти цифр   так,   чтобы  в   каждом  отдельно   взятом номере все цифры были различны? Решение

721..Даны 2n элементов. Рассматриваются всевозможные разбиения  их   на  пары,   причем   разбиения,   отличающиеся только порядком   элементов   внутри   пар и порядком расположения пар, считаются совпадающими. Сколько существует таких различных разбиений? Решение

722.. Сколько можно сделать из п элементов перестановок, в которых два элемента а и b не стоят рядом? Решение

723..В  вещевой   лотерее   разыгрывается   8   предметов. Первый  подошедший  к  урне  вынимает  из   нее  5 билетов. Каким числом способов он может их вынуть, чтобы: 1) ровно два   из   них  оказались   выигрышными; 2) по крайней  мере, два из них оказались выигрышными. Всего в урне 50 билетов. Решение

724..На одной из двух параллельных прямых выбрано т точек, на другой — п точек.   Каждая из т  точек на первой прямой   соединена   прямой   линией   с   каждой   из   п   точек на   второй   прямой.   Найти,   сколько   раз   пересекаются   все отрезки, соединяющие точки, если известно, что нет ни одной точки,   в   которой   пересекались   бы   три и   более  отрезков одновременно. Решение

725.. п   параллельных   прямых   плоскости   пересекаются cерией из т параллельных прямых. Сколько параллелограммов можно выделить в образовавшейся сетке? Решение

726..Некоторый алфавит состоит из шести букв, которые для передачи по телеграфу кодированы так:

• ;   —   ;   • • ;  —  — ;  •  —   ;  —  • ;

При передаче одного слова не сделали промежутков, отделяющих букву от буквы, так что получилась сплошная цепочка точек и тире, содержащая 12 знаков. Сколькими способами можно прочитать переданное слово? Решение