ГЛАВА 9

РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ

Метод математической индукции

В предлагаемых ниже задачах полезно воспользоваться методом полной математической индукции. Чтобы доказать, что некоторое утверждение верно для всякого натурального п, достаточно доказать, что:

а) это утверждение справедливо при п—1;

б) если это утверждение справедливо для какого-нибудь натурального числа n, то оно справедливо также и для следующего числа n +1.

 

923.  Доказать, что

Решение

924. Доказать, что

Решение

925. Доказать, что

Решение

926. Доказать формулу Муавра

(cos φ + i sin φ)n = cos nφ  + i sin nφ  Решение

927. Доказать,   что   при любом  целом положительном п  величина   ,    где  ,   есть число целое, положительное.

Решение

928. Доказать, что если действительные числа a1, а2, ... .. ., ап,. . . удовлетворяют условию — 1 < аi  <   0,     i =1,2,..., то при всяком п имеет место неравенство

(1 + a1  )(1 + a2  ) ... (1 + ап  )   >  1 + a1 + a2 + ... + ап

Решение

929. Обобщенная  n-я  степень  любого  числа а,  обозначаемая символом (а)п, определяется для целых неотрицательных  п  так:    если   п = 0,   то   (а)п = 1,    если   п > 0,    то     (а)п = а (а —1) ... (а — п + 1). Доказать,   что  для обобщенной степени суммы двух чисел справедлива формула бинома Ньютона

(а + b)п =  Cп0 (а)0(b)п+   Cп1(а)1(b)n—1  + ... +  C nn  (а)п(b)0

Решение
Используются технологии uCoz