ГЛАВА   2

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ   ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Ответы и решения

72.  Числитель преобразуется   к   виду   а²—b²,   знаменатель — к виду а+b.

Ответ. а — b.

Замечание. Чтобы корни были арифметическими, числа а и b не должны быть отрицательными.

____________________________________________________________________

73. Первый радикал равен

Ответ b(а³—b³)

Замечание. Предполагается, что а > b (иначе первый корень не будет арифметическим)

__________________________________________________________________

74.  В этом примере величина, стоящая под знаком   кубического радикала, всегда отрицательна. Действительно, выражения √16x  и √2x  (они имеют действительные    значения    лишь при х > 0) мы должны считать положительными   (иначе  выражение
2√6x —4 √2x   теряет однозначность). Но тогда разность   2√6x —4 √2x = √24x —√32x отрицательна.

Итак, под знаком кубического корня стоит отрицательное число. Поэтому и сам кубический корень имеет отрицательное значение! Выполним такое преобразование:

Теперь радикал, стоящий в правой части, является   арифметическим корнем. После приведения к одному показателю с первым из данных сомножителей получаем

Перемножая корни, получаем:

Ответ

Замечание. Если не обратить внимания на отрицательность выражения под знаком кубического   корня, то получится    неверный ответ .

_{___________________________________________________________________}

75. Первый радикал равен   Вынося множитель

(a+1) за знак радикала, получаем . Заданное выражение равно

Приведем радикалы к одному показателю:

Если    число а+1   положительно, то |а+1|=а+1, и по сокращении получаем .

Замечание. Число а+1 и будет положительным. Действительно, так как подкоренное выражение (а+1)⁴ (а—1) предполагается положительным (или равным нулю), а множитель (а+1)⁴ ни в каком случае не может быть отрицательным, то а—1>0, т. е. а >1, а при этом условии а+1>2.

Ответ.   

__________________________________________________________

76. Считая все корни арифметическими,   приведем   сомножители

к одинаковому показателю 6. Первый и второй сомножители примут соответственно вид

'

Перемножив их, получим  

Замечание. Первый сомножитель является арифметическим корнем только при условии а>0 (при а<0 подкоренное выражение отрицательно, при а=0 оно теряет смысл). Второй же сомножитель является арифметическим корнем при любом значении а (крoме а= — 1). Следовательно, величине а можно давать любые положительные значения.

Ответ.

_________________________________________________________________

77. Введем ab под знак первого радикала.   Данное   выражение примет вид

Замечание. Чтобы данные радикалы были арифметическими корнями, должно быть а> b. Случай а = b исключается, так как второй сомножитель теряет смысл.

Ответ. 1.

___________________________________________________________________

78. Освобождаемся от иррациональности в знаменателях; получим

(√6  — 11) (√6   + 11) = —115.

Ответ — 115.

___________________________________________________________

79. Делимое      равно ;   делитель      равен ; частное равно .

Замечание. Чтобы все данные корни были арифметическими, должны одновременно удовлетворяться три условия: а>0, а—b>0, а+b>0   (их  можно заменить двумя  условиями:  а>0,   |b|<|а|,

Отв.  

__________________________________________________________

80 Делимое   равно , делитель  Частное ²/₃. Величина a может иметь любое положительное значение; b может иметь любое значение, кроме ± √a

Отв. ²/₃ '

___________________________________________________

81. Числитель первой дроби приводится к виду

Если  выражения   1+ а  и   1 —а  оба  положительны,  то   (см. предварительные замечания, п. 3)    числитель   равен    . При  том же условии знаменатель равен дробь равна  ¹/_а ,   а данное выражение равно 0.

Замечание. Чтобы радикалы, входящие в данное выражение были арифметическими корнями, нужно, чтобы величины 1+а  и 1 — а имели одинаковые знаки. Но невозможно, чтобы обе они были отрицательны, так как 1+а<0 при условии а< — 1 и 1—а<0 при условии а>1, а эти условия несовместны. Для того же, чтобы величины 1+а и 1—а были обе положительны, нужно, чтобы выполнялось условие —1<а<1, т. е. чтобы было |а|<1 (значения а = ±1  исключаются, так как при  каждом, из них одно   из   данных выражений   теряет смысл; значение а=0 тоже исключается, так как дробь ¹/_а   теряет смысл).

Отв. 0.

___________________________________________________

82.Подставив  в   выражение  ,   получим

Так как по условию а>1, то а— ¹/_а >0. Поэтому

Точно так же найдем

Подставляем найденные значения  радикалов в   данное   выражение,

Ответ 

_______________________________________________

83.Подставляя  в   выражения   , находим

Так как величина 1+m² всегда положительна, то и величина а должна быть положительной (при а<0 оба корня мнимы, при а=0 они равны нулю, и данное выражение неопределенно). Так как, согласно дополнительному условию, |m|< l, то обе величины 1+т и 1—т положительны.

Данное выражение принимает вид

Oтвет. ¹/_m (При a>0).

___________________________________________________________