ВЕКТОРЫ

Понятия вектора и оси
Проекция вектора на ось
Свободные и связанный векторы
Координаты вектора на плоскости
Обобщение понятий угла и дуги
Теорема об отношениях координат вектора к его длине

Понятия вектора и оси

Все величины, которые изучаются в математике и физике, можно разбить на две группы.
К одной группе относятся величины, которые полностью характеризуются их числовыми значениями. Таковы длина, площадь, объем, время, масса и другие величины. Если мы скажем, что карандаш имеет длину 10 см или что температура воздуха равна —5°, то длина карандаша и температура воздуха тем самым будут определены полностью.
Но наряду с такими величинами существуют и величины, которые нельзя полностью охарактеризовать числовыми значениями. Из физики, например, известно, что сила, скорость, ускорение и некоторые другие величины характеризуются не только своими числовыми значениями, нo и направлениями. Если на материальную точку действует сила 5кГ, то для того чтобы сказать, к чему это приведет, нужно знать еще направление этой силы. Для полного описания подобных величин наряду с числовыми значениями необходимо задавать и их направления.

Величины, которые полностью определяются своими числовыми значениями, называются скалярными.
Величины, которые характеризуются не только своими числовыми значениями, но и направлениями, называются векторными величинами.

Подобно тому как скалярные величины можно характеризовать отрезками числовой прямой, векторные величины можно характеризовать направленными отрезками, или векторами.

Вектор есть направленный отрезок, то есть отрезок с фиксированным положением своего начала и своего конца.

Направлением вектора считается направление от его начала к его концу. Обычно вектор обозначается двумя буквами, над которыми ставится стрелочка, обращенная острием вправо. При этом первая буква обозначает начало вектора, а вторая — конец.

Так, векторы, представленные на рисунке , обозначаются

, ,

Единственно существенной характеристикой отрезка является его длина.

Вектор же имеет несколько характеристик: начало, направление, длину. Каждая из этих характеристик является по-своему важной. Незнание хотя бы одной из них делает вектор неопределенным.

Наряду с понятием вектора, большую роль в математике играет также понятие направленной прямой, или оси.

Проекция вектора на ось

Как известно, проекцией точки А на ось l называется основание В перпендикуляра, опущенного из точки А на эту ось

Проекцией вектора  на ось l называется величина отрезка A₁B₁, соединяющего проекцию начала данного вектора с проекцией его конца на ось l .

Эта величина считается положительной, если направление вектора   совпадает с направлением оси l, и отрицательной в противном случае.

Рассмотрим   несколько  примеров.

1. Вектор  длины r параллелен оси l.  

Если направление этого вектора совпадает с направлением оси l , то проекция его на ось l равна r.

Если же направление вектора противоположно направлению оси l , то его проекция равна    -r.

2. Вектор перпендикулярен оси l

В этом случае точки А и В проектируются в одну и ту же точку. Поэтому проекция вектора на ось l равна нулю.

3. Вектор  длины r расположен по отношению к оси l так, как показано на рисунке. Тогда его проекция на ось l равна длине отрезка A₁B₁ или АС. Из прямоугольного треугольника ABC находим АС = ^r/₂(катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы).

Упражнения

1. Как изменится проекция вектора на ось, если:
а) длину вектора увеличить вдвое;
б) направление векторa изменить на противоположное, a направление оси оставить прежним;
в) направление оси изменить на противоположное, а направление вектора оставить прежним;
г) направление оси и направление вектора изменить на противоположные?

2.Что можно сказать о взаимном расположении вектора и оси, если при изменении направления вектора на противоположное проекция этою вектора на ось не изменяется?

Свободные и связанный векторы

Как уже отмечалось , каждый вектор определяется своим началом (или точкой приложения), направлением и длиной. Точку приложения вектора особенно важно учитывать при решении физических задач.

Пусть, например, на диск, закрепленный на оси , действует сила F = 1 кГ, направленная вертикально вниз. Если эта сила приложена в точке А, то диск под действием ее будет вращаться по часовой стрелке. Если эта сила приложена в точке В, то диск будет вращаться против часовой стрелки. Если же сила F приложена в точке С, то диск будет находиться в состоянии покоя.

В математике в основном рассматриваются лишь такие задачи, в которых точка приложения вектора не играет существенной роли. Примером может служить хотя бы следующая задача:   какой   угол   образуют   между   собой   векторы  и ?

В дальнейшем мы будем иметь дело только с такими векторами. Они называются свободными, и отличие от связанных векторов, для изучения которых важно знать, где располагаются их начальные точки.

Свободные векторы, где бы они ни начинались, всегда можно перенести так, чтобы их начальные точки совпали; направления векторов и их длины при этом останутся прежними. Удобно считать, что точкой приложения свободного вектора является начало координат. Поэтому в дальнейшем мы будем в основном рассматривать лишь векторы, выходящие из начала координат.

Координаты вектора на плоскости

Пусть хОу — прямоугольная система координат.  
Проекции х и у вектора  на оси абсцисс и ординат называются координатами этого вектора.
Координаты вектора обычно записываются в виде (х, у), а сам вектор так:  = (х, у).

Рассмотрим несколько примеров.

1. Пусть вектор  длины r лежит на оси х и направлен в ту же сторону, что и ось х . Тогда ₁ = (r, 0).

Если   бы   направление   вектора      было   противоположно    направлению оси х , то мы имели бы ₂ = (- r, 0).

Аналогично, вектор ₃ имеет   координаты (0, r),

а вектор ₄ — координаты (0,  -r)

2. Вектор ₁ длины r, образующий с осями координат равные углы имеет координаты

Это легко доказать, рассмотрев прямоугольный треугольник OB₁C₁.

Аналогично,   векторы     ₂,    ₃   и ₄, изображенные на рисунках ,соответственно имеют координаты:

Координаты являются исчерпывающей характеристикой любого вектора, так как по координатам можно построить и сам вектор. Зная координаты, легко найти и длину вектора.

Теорема. Квадрат длины любого вектора равен сумме квадратов его координат.

Доказательство. Пусть координаты вектора  равны х и у, а длина r. Покажем,  что

r² = x² + y²        (1)

Если вектор  лежит на какой-нибудь координатной оси, то, как было показано выше, одна из его координат равна нулю, а другая либо  + r,  либо  - r. В этом случае равенство (1) верно.

Если вектор  лежит в первой четверти , то (1) следует из теоремы Пифагора, примененной к /\ АВО.

Аналогично обстоит дело и в случае, когда вектор  лежит в какой-нибудь другой четверти  (докажите это!).

Из доказанной теоремы вытекает следующее важное для дальнейшего следствие:

любая координата вектора по абсолютной величине не превышает длины этого вектора.

Другими словами, если вектор длины r имеет координаты х и у,то

|x| < r  ,  |y| < r

Действительно,      r² = x² + y²   Поэтому r² > x²,  откуда |x| < r . Аналогично показывается, что | y| < r.

Упражнения

1. Построить векторы с координатами: (2; 5); (0; 3); (4; 0); (-1;2); (0; -3); (-7; -6).
2. Как изменятся координаты псктора,  если:
а)  направление   вектора изменить на противоположное;
б)  уменьшить длину вектора вдвое, не меняя  направления?
3. Найти длины векторов с координатами: (3; 4); (-5; 12); (0;   -75); (2; \/5).
4. Что представляет собой множество концов векторов, если координаты (х, у) этих векторов удовлетворяют уравнению (х —а)² + (у—b)²=r²?

Обобщение понятий угла и дуги

В геометрии мы рассматривали в основном углы, меньшие «полного» угла, то есть угла в 360°. Чаще всего (например, в треугольниках) это были даже углы, меньшие «развернутого» (180°). Но иногда нам приходилось иметь дело и с углами, большими 360°. Вспомните хотя бы теорему об углах выпуклого многоугольника: сумма всех внутренних углов выпуклого n-угольника равна

2d(n — 2).

Согласно этой теореме сумма внутренних углов выпуклого пятиугольника равна

2d · 3 = 6d = 540°.

Как же представить себе такой угол?

Любой угол можно рассматривать как фигуру, образующуюся при вращении луча вокруг своей начальной точки.

Например,  угол в  90° получится, если луч   совершит четверть полного оборота вокруг точки 0.

Аналогично развернутый угол получится, если   этот луч   совершит пол-оборота вокруг точки 0.

Полный угол описывается в результате одного полного оборота и т. д.

Угол, больший полного, получится, если луч совершит более одного оборота вокруг точки 0. Например, в результате 1¹/₈ оборота образуется угол, в 1¹/₈ раза больший полного.

B результате двух оборотов получается, угол, в два раза больший полного.

Подобные углы описывают, например, стрелки часов, лопасти пропеллера самолета и т. д.

В то время как сам луч при повороте вокруг своей начальной точки описывает угол, любая его точка, отличная   от   начальной   точки,   описывает дугу окружности.

Если, например,луч совершит четверть полного оборота,то точка А опишет четверть полной дуги (то есть четверть окружности радиуса 0А);

При    двух полных   оборотах луча точка А опишет  дугу,  которая вдвое больше полной дуги, и т.д.

Представление о таких   дугах дает,   например, намотанная на катушку нить.

Луч можно вращать вокруг начальной точки в двух направлениях: по часовой  стрелке и против часовой стрелки. Направление против часовой стрелки принято называть положительным, а по часовой стрелке — отрицательным.
Соответственно этому углы и дуги, полученные вращением оси против часовой стрелки, принято считать положительными;
углы и дуги, полученные вращением оси по часовой стрелке, принято считать отрицательными.

За единицу измерения углов и дуг, как и в геометрии, мы примем соответственно угол в 1 градус п дугу а 1 градус.

Угол в 1 градус — это угол, который опишет луч, совершив 1/360 часть полного оборота вокруг своей начальной точки против часовой стрелки.
При такой  единице измерения угол, описываемый в результате одного полного оборота против часовом стрелки, равен 360°, а по часовой стрелке — 360°.

Угол,  изображенный на рисунке а), равен   360° ·1¹/₄ = 450°,   
а  угол,   изображенный   на рисунке б),  равен  —360° ·1¹/₂ = — 540°.

Дуга    в  1    градус — это    дуга,    которую    описывает  точка      луча    при    повороте    этого   луча     на    угол в 1    градус.

Например,   дуга,   изображенная   на рисунке  а), равна   1¹/₄ ·360° = 450°,   
а дуга,  изображенная   на  рисунке   б),    равна   —³/₄ ·360° = —270°.

Дугу в 1 градус и угол в 1 градус не следует отождествлять друг с другом. Это разные, хотя и очень близкие понятия. Чтобы не путать их, иногда угол в 1 градус называют угловым градусом, а дугу в 1 градус — дуговым градусом. Дуга всегда содержит столько дуговых градусов, сколько угловых градусов содержит соответствующий  ей   угол.

В заключение примем следующее соглашение. Пусть угол  образован вращением луча ОА вокруг точки О. Исходное положение ОА этого луча будем называть начальной стороной угла , а положение ОА', которое он займет в результате вращения, —конечной стороной угла . Если начальные стороны двух равных углов совпадают, то совпадут, очевидно, и их конечные стороны.

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Так, углы в 45° и 45° + 360° = 405°  не равны друг другу, хотя начальные и конечные стороны их совпадают.

Упражнения

1 Какие углы описывают   минутная и часовая стрелки за:
а) 5 мин; б)  5 ч?.
2.В   каких   координатных   четвертях   оканчиваются   углы:
а)  75° и —75°;                           в) 140° и —140°;
б)   1000° и  — 1000°;                   г) 191° и  —191°?
3. Могут ли углы  и — оканчиваться в одной и той же четверти? Могут ли они иметь одну и ту же конечную сторону?
4.  Написать общий вид углов,  оканчивающихся:
а)  на  положительной  части  оси  абсцисс;
б)  на отрицательной части оси абсцисс;
в)  на положительной  части  оси  ординат;
г)  на отрицательной части оси ординат;
д)  на биссектрисе первого координатного угла;
е)  на биссектрисе второго или на биссектрисе третьего координатного   угла;
ж)  на биссектрисе четвертого координатного угла.

Теорема об отношениях координат вектора к его длине

Пусть два вектора ₁= (x₁ y₁) и  ₂=(x₂, у₂), длины которых равны соответственно r₁ и r₂, лежат на одной прямой й направлены в одну и ту же сторону, как показано на рисунке .

Тогда x₁ =0B ₁, y₁= A ₁В₁ ; х₂ = 0В₂, у₂ = А₂В₂. Из подобия треугольников 0A₁B₁ и 0А₂В₂ следует, что

 и  

или    ;     (1)

Если бы векторы ₁ и ₂ лежали во второй четверти, то аналогично предыдущему мы имели бы

x₁ = — 0B ₁, y₁= A ₁В₁ ;
х₂ = — 0В₂, у₂ = А₂В₂

 ;    

;  

откуда снова получаются соотношения (1). Таким же образом можно было   бы   рассмотреть   и случаи,    когда векторы ₁ и ₂  лежат в 3-й или 4-й четвертях. Мы и тогда пришли бы к соотношениям   (1).

Формулы  (1)   справедливы     также в случае, когда векторы  ₁ и ₂ лежат на какой-нибудь оси координат. Например, в случае, представленном   на  рисунке.  x₁ =0, y₁= r₁ ; х₂ = 0, у₂ = r₂. Поэтому

 ;   

Равенства

    и    

указывают на то, что отношения ^x/_r и ^y/_r координат х и у вектора к его длине r не зависят от длины вектора. При изменении   длины вектора  эти отношения остаются неизменными,  хотя сами  координаты х и у    при этом,   конечно,   изменяются.

От чего же в таком случае зависят эти отношения? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим два примера.

Если вектор ОА длины r лежит на положительной полуоси абсцисс, то его координаты равны х = r, у = 0. Поэтому для такого вектора

^x/_r  = 1 ,   ^y/_r = 0

Если же вектор О А длины г лежит на положительной полуоси ординат, то, как мы видели выше,

^x/_r  = 0 ,   ^y/_r = 1

Уже из этих частных примеров видно, что отношения координат вектора к его длине изменяются при изменении направления вектора.
Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема. Отношения координат вектора к его длине не зависят от длины вектора, но зависят от его направления

Упражнения . 

1.Зависят ли от длины r вектора :
а)  его координаты x и у;
б)    отношения ^x/_r и ^y/_r?
2. Зависит ли отношение ^x/_y координат вектора от его длины r?