3ГОНОМЕТРИЯ     В НАЧАЛО

Нахождение значений тригонометрических функций угла по значению какой-нибудь одной из них.

Используя основные тригонометрические тождества, легко найти значения всех тригонометрических функций sin х, cos х, tg x, ctg x, sec x, cosec x, если известно значение какой-нибудь одной из них. Поясним это на конкретных примерах.

Пример   1. Найти значения   тригонометрических функций  угла φ, если известно, что sin φ = 3/5.

Из тождества sin2 φ + cos2φ = 1  находим: cos2φ = 1 — sin2 φ = 16/25

Поэтому cos φ = ± 4/5

Знак + или — следует выбирать в зависимости от того,  в какой четверти оканчивается угол φ.

По условию sin φ = 3/5 > 0.

Значит, угол φ оканчивается либо в   1-й,  либо во 2-й четверти.
1)Если он оканчивается в 1-й четверти, то cos φ = + 4/5.   
2)Если же он оканчивается во 2-й четверти, то cos φ = — 4/5.

В  первом случае

Во втором случае

tg φ = — 3/4;  ctg φ = —  4/3;  sес φ = —  5/4; cosec φ = 5/3

 

Пример 2. Найти значения тригонометрических функций угла φ, если  известно,   что  он   оканчивается  в  4-й  четверти и  tg φ = — 3/4

Используя тождество 1 + tg2 φ = sec2 φ, найдем sec φ:

sec φ = \/1 + tg2 φ  = \/1+ (— 3/4 ) 2  =  5/4

Знак + перед радикалом мы взяли потому, что угол φ по условию оканчивается в 4-й четверти, sec φ = 1/cosφ  , а косинус угла, оканчивающегося в 4-й четверти, положителен; поэтому положителен и sec φ.

Далее получаем:                 cos φ = 1/secφ = 4/5

Теперь, используя тождество sin2 φ + cos2 φ = 1, найдем   sin φ:

sin φ = — \/ l — cos2 φ = — 3/5 .

Здесь перед радикалом нужно брать знак — ,  поскольку синус угла, оканчивающегося в 4-й четверти, отрицателен.

Заметим, что в данном случае рациональнее было бы   найти sin φ из тождества tg φ = sin φ/cos φ  . Однако мы сознательно  получили  sin φ  другим путем, чтобы еще раз показать, как нужно  выбирать знак (+ или —) перед радикалом.

Итак, мы получили cos φ, sin φ, tg φ, sec φ. После этого легко найти значения и других тригонометрических функций угла φ:

ctg φ = 1/tg φ = 4/3  ;  cosec φ = 1/sin φ = 5/3

Упражнения

1.  Найти   значения   тригонометрических   функций   угла   α по  следующим данным;

1) sin α = 0,6  0°<α<90°;       4) cosα = —0,8, 180°<α<270°;

2) sinα= — \/2/3, π <α< 3/2  π; 5) tgα = —2,   3/2  π <α< 2π;

3) cosα= 12/13, 270°<α<360°;       6) tgα =  1/3 ,  180°<α<270°.

2.   Найти значения   тригонометрических   функций   угла  φ, если известно,  что
sin φ = \/2ab /a+b     (a > b > 0)  и  угол φ оканчивается не в  1-й четверти.

3.   Найти   значения   тригонометрических   функций   угла   φ, если известно, что tg φ = а2 — 1 ( |а| < 1), и угол φ оканчивается не во 2-й четверти.

 

Используются технологии uCoz