|
Раньше для определения значений тригонометрических функций широко использовались «Четырехзначные математические таблицы» В. М. Брадиса. С их помощью можно определить, чему равно значение той или иной тригонометрической функции острого угла. Чтобы воспользоваться теми же таблицами для определения значений тригонометрических функций любого угла, приходилось преобразовывать угол к острому, используя тригонометрические
тождества.
Сегодня значения тригонометрических функций любого угла можно очень просто получить, воспользовавшись либо инженерным калькулятором, либо в программе Excell. При этом мы можем не задумываться над тем, какому острому углу будет соответствовать введенное нами значение.Однако для исследования поведения тригонометрических функций полезно изучить вопрос о преобразовании любого угла к острому.
Рассмотрим способы преобразования любого угла в острый, и на паре примеров поучимся работе с тригонометрическими функциями в программе Excell.
1. Угол α можно считать положительным. В противном случае можно воспользоваться формулами
|
sin (—α) = —sin α,
|
|
cos (—α) = cos α,
|
|
tg(—α) = — tg α,
|
|
ctg(—α) = — ctg α
|
и свести задачу к нахождению значений тригонометрических функций положительного угла.
2. Можно считать, что угол α заключен в пределах
0° < α < 360°, или 0 < α < 2π.
Действительно, во всех иных случаях угол α можно представить в таком виде:
α = 360° • n + α1 или α = 2nπ + α1,
(где n — некоторое натуральное число), а α находится в пределах
0° < α1 < 360°, или 0 < α1< 2π.
Поскольку угол в 360° (или в 2π радианов) есть общий период синуса, косинуса, тангенса и котангенса, то:
|
sin α = sin (360° • n + α1) = sin α1
|
|
cos α == cos (360°• n + α1) = cos α1
|
|
tg α = tg (360° • n + α1) = tg α1
|
|
ctg α = ctg (360° • n + α1) = ctg α1.
|
Таким образом, задача сводится к нахождению значений тригонометрических функций угла α1 заключенного в интервале
0° < α1 < 360°, или 0 < α1 < 2π.
3. Если угол больше 90° ( α1> 90°), то
|
либо α1 = 90° + α2,
|
|
либо α1 = 180° + α2,
|
|
либо α1 = 270° + α2,
|
где α2 — уже острый угол. Используя формулы приведения, мы можем теперь свести задачу к определению значений тригонометрических функций острого угла α2.
Примеры.
1) Найти sin 757°24' .
Решим задачу в программе Excell.
| |
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
|
1
|
Градусы
|
Минуты
|
=В2/60
|
=A2+C2
|
=sin(Pi()/180*D2)
|
|
2
|
757
|
24
|
0,4
|
757,4
|
0,6074
|
|
3
|
|
|
|
|
=sin(Pi()/180*D4)
|
|
4
|
|
|
|
37,4
|
0,6074
|
a) В ячейке D2 представлен угол в виде десятичного числа в градусах.
б) Инженерный калькулятор позволяет оперировать значениями углов как в градусах, так и в радианах. В программе Excell угол всегда должен быть задан в радианах. Для перевода градусной меры в радианную значение угла просто умножаем на Pi()/180. Формула для вычисления значения sin 757,4° показана в ячейке Е1. Введем эту формулу в ячейку Е2 и получим значение sin 757°24' .
Теперь преобразуем заданный угол к острому. Если все будет выполнено правильно, то значение функции sin не должно измениться.
757°24' = 360° • 2 + 37°24'
Поэтому
sin 757°24' = sin (360° • 2 + 37°24') = sin 37°24' = sin 37,4°.
Вычисляем значение sin 37,4° и убеждаемся, что результат не изменился.
2) Найти tg (—1927°30').
В программе Excell функция тангенс имеет обозначение tan( )
| |
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
|
1
|
Градусы
|
Минуты
|
=В2/60
|
=A2+C2
|
=tan(Pi()/180*D2)
|
|
2
|
-1927
|
30
|
0,5
|
-1927,5
|
1,3032
|
|
3
|
|
|
|
|
=-tan(Pi()/180*D4)
|
|
4
|
|
|
|
1927,5
|
1,3032
|
|
5
|
|
|
|
|
=-tan(Pi()/180*D6)
|
|
6
|
|
|
|
127,5
|
1,3032
|
|
7
|
|
|
|
|
=1/tan(Pi()/180*D8)
|
|
8
|
|
|
|
37,5
|
1,3032
|
(Формулы, указанные в ячейках Е1,Е3,Е5,Е7 заносятся соответственно в ячейки Е2,Е4,Е6,Е8)
D2) Вычислим tg (—1927°30') = tg (—1927,5°)
D4) Если будем считать угол положительным, то tg (—1927,5°) = —tg 1927,5° (E3)
D6) Теперь представим угол в 1927,5° следующим образом
1927°30' = 360° • 5 + 127,5°.
Отсюда
tg 1927,5° = tg (360° • 5 + 127°) = tg 127,5°.(Е5)
D8) Но 127,5° = 90° + 37,5°.
Поэтому, используя формулы приведения, получаем:
tg 127,5°= tg (90° + 37,5°) = — ctg 37,5°. (Е7)
Обратим внимание на формулу в ячейке Е7. Ни в инженерных калькуляторах, ни в программе Excell вы не найдете функции сtg( ). Объясняется это просто. Ведь функции сtg( ) и tg( ) связаны зависимостью сtg α = 1/ tg α, поэтому нет необходимости отдельно вводить дополнительно эту функцию. Воспользуйтесь клавишей 1/x калькулятора после вычисления tg α и получите значение кoтангенса
того же угла.В программе Excell просто учитывайте эту зависимость при составлении формулы.(Е7)
Итак, мы убедились в том, что
Поведение функций sin x, cos x, tg x и ctg x при всех значениях х вполне определяется их поведением при 0 < х < π/2
Упражнение
В программе Excell найти синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы данных углов и острых углов, полученных после преобразований.
1) 112°14'; 5) 283°13'; 9) 824°22'; 13) 5;
2) 217°47'; 6) 351°05'; 10) 1307°21'; 14) 6,3;
3) 233°21'; 7) 100°17'; 11) 1715°39'; 15) 1000;
4) 165°58'; 8) 275°57'; 12) 3928°15'; 16) 3,14.
|