| 3ГОНОМЕТРИЯ В НАЧАЛО |
|
Арксинус числа а Пусть про угол φ известно лишь то, что синус его равен 1/2: sinφ = 1/2. (1) |
|
Можем ли мы найти этот угол? Как известно, sin π/6 =1/2. Поэтому возможно, что φ = π/6. Вместе с тем в силупериодичности синуса sin (π/6 + 2π) = sin π/6 = 1/2 Поэтому не исключена также возможность, что φ = π/6 + 2π. Вообще, каким бы ни было целое число n, sin (π/6 + 2π) = sin π/6 = 1/2 Следовательно, искомым углом φ может быть любой из углов π/6 ; π/6 ± 2π; π/6 ± 4π; π/6 ± 6π и т. д. Таким образом, по значению своего синуса угол определяется неоднозначно. Такой неоднозначности, однако, можно избежать, если потребовать, чтобы искомый угол φ находился в определенных пределах. Например, при дополнительном условии, что 0< φ < π/2 , равенство (1) определяет единственный угол: φ == π/6
Если бы мы в качестве дополнительного ограничения, накладываемого на угол φ, выбрали условие 0<φ<π, то задача опять была бы неопределенной. В интервале (0, π) синусоида у = sin х пересекается с прямой у = 1/2 в двух точках М1 и М2. Абсцисса точки М1 равна π/6, а абсцисса точки М2 равна 5π/6. Поэтому в интервале (0, π) существует два угла φ, синусы которых равны 1/2: φ1 =π/6, φ2 = 5π/6. Какие же ограничения нужно наложить на угол φ, чтобы равенство sin φ = а (2) определяло этот угол однозначно? Один из возможных путей решения .этой задачи состоит в следующем. Прежде всего заметим, что если |а| > 1, то равенство (2) вообще не определяет никакого угла: ведь при любых значениях φ | sin φ | < 1 Далее, будем считать, что угол изменяется в интервале от — π/2 до π/2. Тогда синус его непрерывно возрастает от —1 до +1.
Каким бы ни было число а, не превосходящее по абсолютной величине единицы,в интервале — π/2 < х < π/2 синусоида у = sin x обязательно пересечется с прямой у = а и притом лишь в одной точке. Поэтому при любом |а| < 1 равенство (2) в интервале — π/2 < φ < π/2 определяет и притом единственный угол φ. Этот угол принято называть арксинусом числа а и обозначать arcsin a. Арксинус а есть угол, заключенный в интервале от — π/2 до + π/2 (или от —90° до +90°), синус которого равен а. Примеры. 1) arcsin 1/2 = π/6, или arcsin1/2 = 30°. Действительно, угол в π/6 радианов попадает в интервал [— π/2, π/2] и синус его равен 1/2 2) arcsin (— \/ 3/2) = — π/3 или arcsin (— \/ 3/2) = — 60° Действительно, угол в — 60° попадает в интервал (— 90°, 90°) и синус его равен — \/ 3/2. 3) arcsin 1 = π/2, или arcsin 1 = 90°. Действительно, угол , в π/2 радианов попадает в интервал [ — π/2, π/2] и синус его равен 1. Аналогично arcsin (—1) = — π/2; arcsin 0 = 0 и т. д. Заметим, что из равенства sin π = 0 нельзя сделать вывод, что arcsin 0 = π. Ведь угол в π радианов не попадает в интервал [ — π/2, π/2] и потому не может равняться арксинусу числа 0. Упражнения 1. Какие значения могут принимать величины а и b, если b = arcsin a? 2. Вычислить: а) arcsin 0 + arcsin 1/\/2 + arcsin \/ 3/2 + arcsin 1 б) arcsin 0 + arcsin (—1/\/2 ) — arcsin ( —\/ 3/2) + arcsin (— 1); в) 6 arcsin (— 1) — 12 arcsin \/ 3/2 + 5 arcsin (— 1/\/2 ) 3. а) Можно ли из равенства sin π/4 = \/ 2/2 заключить, что arcsin \/ 2/2 = π/4 б) Можно ли из равенства sin 270° = —1 заключить, что arcsin (-1) = 270°?. 4. (У с т н о.) В каких четвертях оканчиваются углы: а) arcsin 0,6; в) arcsin (—0,8); б) arcsin 0,9; г) arcsin (—0,1)? 5. Вычислить: а) sin (arcsin 0,6); в) cos [arcsin (\/3 — \/2 )] б) sin [arcsin (—0,8)]; г) cos (arcsin π/2). 6. Найти синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы углов: a) arcsin 0,4; б) arcsin (—0,8). 7. Доказать тождества: а) arcsin (sin π/12 ) = π/12 ; б) arcsin (sin 6) = 6 — 2 π; в) arcsin (— х) = — arcsin x. |
