Арктангенс и арккотангенс числа а

Равенство

tg φ = а              (1)

определяет угол φ неоднозначно. В самом деле, если φ₀ есть угол, удовлетворяющий равенству (1), то в силу периодичности тангенса этому равенству будут удовлетворять и углы

φ₀ + nπ,

где n пробегает все целые числа (n = 0, ±1, ±2, ±3, . . . ). Такой неоднозначности можно избежать,    если    дополнительно потребовать, чтобы угол φ находился в пределах — — ^π/₂ < φ < ^π/₂. Действительно, в интервале

— ^π/₂ < x < ^π/₂

функция у = tg x монотонно возрастает от — ∞ до + ∞.

Следовательно, в этом интервале тангенсоида обязательно пересечется с прямой у = а и притом лишь в одной точке. Абсциссу этой точки принято называть арктангенсом числа а и обозначать arctg a.

Арктангенс а  есть  угол, заключенный в интервале от — ^π/₂ до + ^π/₂ (или от —90° до +90°), тангенс которого равен а.

Примеры.

1). arctg 1 = ^π/₄  или  arctg 1 = 45°. Действительно,   угол     в ^π/₄ радианов попадает в интервал (— ^π/₂ , ^π/₂) и тангенс его равен 1.

2) arctg (— ¹/_\/3) = — ^π/₆, или arctg (— ¹/_\/3) = —30°. Действительно, угол в —30° попадает в интервал (—90°, 90°), тангенс его равен — ¹/_\/3

Заметим, что из равенства

tg π = 0

нельзя заключить, что arctg 0 = π. Ведь угол в π радианoв   не попадает в интервал
(— ^π/₂ , ^π/₂) и потому он не может быть арктангенсом  нуля. Читатель, по-видимому, уже догадался, что arctg 0 = 0.

Равенство

ctg φ = а  ,          (2)

так же как и равенство (1), определяет угол φ неоднозначно. Чтобы избавиться от этой неоднозначности, нужно на искомый угол наложить дополнительные ограничения. В качестве таких ограничений  мы  выберем  условие

0 < φ < π.

Если аргумент х непрерывно возрастает в интервале (0, π), то функция у = ctg x будет монотонно убывать от + ∞ до — ∞. Поэтому в рассматриваемом интервале котангенсоида   обязательно пересечет прямую у = а и  притом лишь в одной точке.

Абсциссу этой точки принято называть арккотангенсом числа а и обозначать arcctg a.

Арккотангенс а есть угол, заключенный в интервале от 0 до π (или от 0° до 180°), котангенс которого равен а.

Примеры.

1)  arcctg 0 = ^π/₂,  или arcctg 0 = 90°. Действительно, угол в ^π/₂ радианов попадает в интервал" (0,  π) и котангенс его равен 0.

2)  arcctg (— ¹/_\/3)  = ^2π/₃  , или   arcctg (— ¹/_\/3) =120°. Действительно, угол в  120° попадает в интервал (0°,180°) и  котангенс его равен  — ¹/_\/3 .

Заметим,  что из равенства

ctg (— 45°) = —1

нельзя заключить, что arcctg (—1) = — 45°. Ведь угол в — 45° не попадает в интервал (0°, 180°) и потому он не может быть арккотангенсом числа —1. Очевидно, что

arcctg   (— 1) = 135°.

Упражнения

I. Вычислить :

1). arctg0 + arctg ¹/_\/3  + arctg \/3 + arctg 1.

2).  arcctg0 + arcctg¹/_\/3  + arcctg \/3 + arcctg 1.

3).  arcctg 0 + arcctg (— 1) —arcctg ( — ¹/_\/3 ) + arcctg(— \/3).

4).  arctg (— 1) + arctg (— \/3) — arctg (— ¹/_\/3 ) — arctg 0.

II.   Какие значения могут принимать величины а и b, если b = arctg  a?

III.   Какие значения  могут принимать величины а и b, если b = arcctg а?

IV.   В. каких четвертях оканчиваются углы:

а)  arctg 5;                 в) arcctg 3;             д) ^π/₂ — arcctg (— 4);

б)  arctg (— 7);           г) arcctg (— 2);        е) ^3π/₂ + arctg ¹/₂ ?

V.   Могут ли выражения arctg а и arcctg а принимать значения: а) одного знака; б) разных знаков?

VI.   Найти  синусы,  косинусы,  тангенсы и  котангенсы следующих углов:

а)  arctg ⁵/₁₂;          в) arcctg (— ⁵/₁₂ );

б)   arctg  (—0,75);   г)  arcctg  (0,75).

VII.  Доказать тождества :

1).  arctg (—х) = — arctg x.

2).   arcctg   (—х) = π — arcctg  x.

VIII. Вычислить:

1).  arcctg  (ctg 2).

2).   arctg  (tg 2)