3ГОНОМЕТРИЯ     В НАЧАЛО

Однородные уравнения

Примерами однородных тригонометрических уравнений могут служить уравнения:

sin х — cos х = 0,
sin2 х — 5 sin х cos х + 6 cos2 х = 0,
cos2 х — sin х cos х = 0.

Это такие уравнения, все члены которых имеют одну и ту же общую степень относительно sin x и cos x. Например, все члены первого уравнения имеют общую степень 1, а все члены других двух уравнений — общую степень 2.

Решим уравнение sin х — cos х = 0. Для этого заметим, что в данном случае cos x не может быть равен нулю. Если бы было cos х = 0, то должно было бы быть и sin х = 0. Но тогда не выполнялось бы тождество sin2 х  +cos2 х = 1. Итак, в данном случае
cos х =/=
 0. Поэтому обе части данного уравнения можно разделить на cos2 х. В результате получим tg x — 1 = 0, откуда

tg x = 1,    хπ/4   + 2nπ

Аналогично решается и уравнение sin2 х — 5 sin х cos х + 6 cos2 х = 0. Разделив обе части этого уравнения на cos2 х, получим:

tg2 х — 5 tg х  + 6  = 0;       (tg x)1 = 2;       (tg x)2 = 3.

Поэтому

x = arctg 2 + nπ    х = arctg 3 + kπ.

Теперь решим уравнение cos2 х — sin х cos х = 0.

Здесь уже равенство cos х = 0 возможно, поэтому делить обе части уравнения на
cos2 х нельзя. Зато можно утверждать, что sin х =/= 0. В противном случае из уравнения вытекало бы, что cos х = 0. Но тогда не выполнялось бы тождество sin2 х  +cos2 х = 1. Итак, sin х =/= 0. Поэтому обе части данного уравнения можно разделить на sin2 х. В результате получим:

ctg2 х — ctg х = 0,

откуда (ctg х)1 = 0; (ctg х)2 = 1. Соответственно этому получаются две группы корней:

хπ/2   + nπ     и    хπ/4   +

Некоторые тригонометрические уравнения, не являясь однородными, легко сводятся к однородным.

Например, если в уравнении

sin х cos x = 0,5

представить 0,5 в виде 0,5 (sin2 х  +cos2 х), то получится однородное уравнение
sin х cos x = 0,5 sin2 х + 0,5 cos2 х Это уравнение предлагаем учащимся решить самостоятельно.

Упражнения

Решить  уравнения:

1). 3 sin x — \/3 cos x = 0.
2). 2 cos x — \/2 sin x = 0.
3). 3sin x + 5 cos x = 0.
4). sin2 x — (1 + \/3) sin x cos x +  \/3 cos2 x = 0.
5). sin2 x — 4 sin x cos x + 3 cos2 x = 0.
6). \/3sin2 x — 4 sin x cos x + \/3 cos2 x = 0.
7). 2sin x — cos x sin x  = 0.
8). \/3cos x + cos x sin x  = 0.
9). cos x sin x = 1/\/3  cos2 x.
10). cos2 x — 3 cos x sin x  + 1 =  0.
11). sin2 x  + 3 cos2 x — 2 sin x cos x = 5 - \/3 /2
12). sin x cos x = — 0,25.
13). sin x + cos x =  \/2.

 

 

Используются технологии uCoz