3ГОНОМЕТРИЯ     В НАЧАЛО

Тригонометрические неравенства

При  решении  тригонометрических  неравенств  полезно  обращаться к графикам. Пусть, например, нужно решить неравенство

cos x > 1/2

На   одном и   том   же   чертеже   построим    графики  функций у = cos х и у = 1/2 

Как    видно   из    рисунка, один из интервалов, в котором выполняется данное неравенство, заключен между наименьшими по абсолютной величине корнями уравнения
cos х = 1/2, то есть между точками х = — π/3  и х = π/3 Все остальные интервалы, в которых выполняется данное неравенство,  получаются путем сдвига интервала  
(π/3,  π/3) влево или вправо на расстояния, кратные .    Поэтому   неравенство
cos x > 1/2 выполняется при условии, что

π/3 + 2< х < π/3 + 2nπ ,

где n — любое целое число.

Рассмотрим еще один пример.  Решить неравенство

2 cos2 х + 3 cos x — 2 > 0.

Обозначив cos x  через у, придем к следующему квадратному неравенству:

2 + 3у — 2 > 0.

Это неравенство выполняется при у < —2 и  у  > 1/2. Поэтому все решения данного неравенства должны удовлетворять либо неравенству cos х < —2, либо неравенству
cos х >  1/2 . Первое из этих неравенств не выполняется ни при каких значениях х; второе же неравенство, как мы показали выше, выполняется     при

π/3 + 2nπ < х < π/3 + 2nπ ,

Упражнения

Решить неравенства:

1). tg x > l

2). sin x < — \/ 2/2

3). 2sin2x — 5sin x + 3 > 0

4). sin2 x > cos x

5). |sin x| > 1/2

 

Используются технологии uCoz