Косинус суммы и разности двух углов

В  этом параграфе будут доказаны следующие две формулы:

cos (α + β) = cos α cos β — sin α sin β,                     (1)

cos (α — β) = cos α cos β + sin α sin β.                    (2)

Косинус суммы (разности) двух углов равен произведению косинусов этих углов минус (плюс) произведение синусов этих углов.

Нам удобнее будет начать с доказательства формулы (2). Для простоты изложения предположим сначала, что углы α  и β удовлетворяют следующим условиям:

1)    каждый   из   этих   углов   неотрицателен   и   меньше   2π:

0  < α < 2π,     0 < β  < 2π;

2)  α > β .

Пусть положительная часть оси 0х является общей начальной стороной углов α и β.

Конечные стороны этих углов обозначим соответственно через 0А и 0В. Очевидно, что угол α — β можно рассматривать как такой угол, на который нужно повернуть луч 0В вокруг точки 0 против часовой стрелки, чтобы его направление совпало с направлением луча 0А.

На лучах 0А и 0В отметим точки М и N, отстоящие от начала координат 0 на расстоянии 1, так что 0М = 0N = 1.

В системе координат х0у точка М имеет координаты (cos α, sin α), а точка N — координаты (cos β , sin β ). Поэтому квадрат расстояния между ними равен:

d₁² = (cos α — cos β)² +  (sin α — sin β)² = cos² α — 2 cos α cos β  +

+ cos²β + sin² α — 2sin α sin β + sin² β = 2 (1 — cos α cos β  — sin α sin β).

При вычислениях мы воспользовались тождеством

sin² φ + cos² φ = 1.

Теперь рассмотрим другую систему  координат В0С, которая получается путем поворота осей 0х и 0у вокруг точки 0  против часовой стрелки на угол β.

В этой системе   координат точка М   имеет   координаты (cos (α — β),  sin (α — β)),  а   точка  N —координаты (1,0).   Поэтому    квадрат    расстояния   между ними равен:

d₂²  = [cos (α — β) — 1] ² + [sin (α — β) — 0]² = cos² (α — β) — 2 cos (α — β) + 1 +    

+  sin² (α — β) = 2 [1— cos(α — β)].

Но расстояние между точками М и N не зависит от того, относительно какой системы координат мы рассматриваем эти точки. Поэтому

d₁² = d₂²

или

2 (1 — cos α cos β  — sin α sin β)  = 2 [1— cos(α — β)].

Отсюда и вытекает формула (2).

Теперь следует вспомнить о тех двух ограничениях, которые мы наложили для простоты изложения на углы α  и  β.

Требование, чтобы каждый из углов α  и  β был неотрицательным, на самом деле не существенно. Ведь к любому из этих углов можно прибавить угол, кратный 2я, что никак не отразится на справедливости формулы (2). Точно так же от каждого из данных углов можно вычесть угол, кратный 2π . Поэтому можно считать, что 0 < α < 2π,  0 < β < 2π.

Не существенным оказывается и условие α  >  β. Действительно, если α < β, то β >α; поэтому, учитывая четность функции cos х, получаем:

cos (α — β) = cos (β — α) = cos β cos α + sin β sin α,

что по существу совпадает с формулой (2). Таким образом, формула

cos (α — β) = cos α cos β + sin α sin β

верна для любых углов α и β. В частности, заменяя в ней β на —β и учитывая, что функция cos х является четной, а функция sin х нечетной, получаем:

cos (α + β) = cos [α — ( — β)] =cos α cos (—β) + sin α sin (—β) =

= cos α cos β — sin α sin β,

что доказывает формулу (1).

Итак, формулы (1) и (2) доказаны.

Примеры.

1)  cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° • cos 45°—sin 30°-sin 45° =

2)  cos 15° = cos (45° — 30°) = cos 45° • cos 30° + sin 45°• sin 30° =

Упражнения

1. Вычислить,   не   пользуясь  тригонометрическими   таблицами:

a) cos 17° • cos 43° — sin 17° • sin 43°;

б)  sin 3° • sin 42° — cos 39° • cos 42°;

в)  cos 29° • cos 74° + sin 29° • sin 74°;

г) sin 97° • sin 37° + cos 37° • cos 97°;

д) cos ^3π/₈ • cos ^π/₈ + sin ^3π/₈ • sin ^π/₈;

e) sin ^3π/₅ • sin ^7π/₅ — cos ^3π/₅ • cos ^7π/₅.

2.Упростить выражения :

a). cos (α + ^π/₃) + cos (^π/₃ — α ) .

б). cos (36° + α) • cos (24° — α) + sin (36° + α) • sin (α — 24°).

в). sin (^π/₄ — α ) • sin (^π/₄ + α ) — cos (^π/₄ + α ) • cos (^π/₄ — α )

г)  cos 2α + tg α • sin 2α.

3. Вычислить:

a) cos (α — β) , если

cos α = — ²/₅,   sin β  = — ⁵/₁₃;

90° < α < 180°,   180° < β < 270°;

б) cos (α + ^π/₆ ),   если cos α = 0,6;

^3π/₂ <  α < 2π.

4.   Найти cos (α + β) и cos (α — β),если известно, что sin α = ⁷/₂₅ , cos β = — ⁵/₁₃   и оба угла (α  и  β) оканчиваются   в одной  и той же четверти.

5.Вычислить:

а).  cos  [ arcsin ¹/₃ +  arccos ²/₃ ]

б).  cos [ arcsin ¹/₃ —  arccos (—²/₃ )] .

в).  cos [ arctg ¹/₂ +  arccos (— 2) ]