| 3ГОНОМЕТРИЯ В НАЧАЛО |
|
Соотношения между тригонометрическими функциями половинного угла и косинусом целого угла Складывая и вычитая почленно тождества 1 = cos2 α/2 + sin2 α/2 и cos α = cos2 α/2 — sin2 α/2 получаем: 1 + cos α = 2 cos2 α/2 (1) 1 — cos α = 2 sin2 α/2 (2) Эти две формулы очень часто используются для преобразования различных тригонометрических выражений. Кроме того, они позволяют выразить синус и косинус половинного угла через косинус целого угла:
Из последних двух формул, в свою очередь, вытекает тождество
Знаки (+ или —) перед радикалами в формулах (3), (4) и (5) выбираются в зависимости от того, в какой четверти оканчивается угол α/2. Если, например, π/2 < α/2< π , то в формуле (4) нужно взять знак плюс, а в формулах (3) и (5) — минус (синусы углов, оканчивающихся во 2-й четверти, положительны, а косинусы и тангенсы — отрицательны). Примеры. 1) Найти синус и косинус угла 22°30' По формуле (4) получаем ( α/2 = 22°30' α = 45°):
Знак + перед радикалом мы выбрали потому, что синус угла 22°30' положителен. Аналогично, исходя из формулы (3), получим:
2) Найти tg π/8 По формуле (5) получаем ( α/2 = π/8 α = π/4):
Упражнения 1. Доказать тождества : а). 1 + 2 cos 2α + cos 4α = 4 cos2 α cos 2α. б). 1 — 2 cos 3α + cos 6α = — 4 sin2 3α/2 • cos 3α. в). 1 + sin α = 2cos2 (π/4 — α/2). г). 1— sin α = 2sin2 (π/4 — α/2). 2. Упростить выражение 3. Найти sin α, cos α и tg α, если известно, что cos 2α = —0,6. 4. Найти sin α/2, cos α/2 и tg α/2, если известно, что | cos α | = 0,6, причем угол α, оканчивается во 2-й четверти, 5. Найти tg α, если sin 2α = 1/3. 6. Вычислить: а). sin ( 1/2 arccos 0,8 ). в). tg [ 1/2 arcsin (— 0,8 )] б). cos ( 1/2 arcsin 0,6 ) г). tg [ 1/2 arctg (— 0,75 )] |
|
|
