Преобразование суммы (разности) тангенсов двух углов

При  решении  некоторых  задач бывают  полезны следующие формулы:

Сумма тангенсов двух углов равна отношению синуса суммы этих углов к произведению косинусов тех же углов.

Разность тангенсов двух углов равна отношению синуса разности этих углов к произведению косинусов тех же углов.

Докажем,   например,   формулу   (1).   Имеем:

но  sin x • cos y +  cos x • sin y = sin ( x + y ) , поэтому

тем самым форму ла (1) доказана. Аналогично  доказывается и формула (2).

Пример.    Доказать,    что   тангенсы   углов   α  =/= ^π/₂ + nπ  и  β =/= ^π/₂ + nπ  равны тогда и только тогда, когда эти углы разнятся на угол, кратный π.

Пусть α и β разнятся на угол, кратный π; тогда α =  β + nπ, где n — некоторое целое число. Но в таком случае

tg α = tg (β + nπ) = tg β.

Обратно, пусть tg α = tg β. Тогда tg α — tg β = 0 и по формуле (2)

Но это возможно лишь при условии, что sin (α — β) = 0. Как известно, синус обращается в нуль лишь для углов, кратных π. Поэтому

α — β = nπ,

α =  β + nπ,

что и требовалось доказать.

Упражнения

1. Вычислить, не пользуясь тригонометрическими таблицами:

а).  tg 22°30' + tg 67°30'.          в). tg ^11π/₁₂ +  tg ^5π/₁₂.

б).  tg 22°30' — tg 67°30'         г). tg ^11π/₁₂ —  tg ^5π/₁₂.

2. Упростить выражение

3.  Данные выражения представить в виде произведений:

a) \/3 — tg α;                    б) 1 + tg α.

4.  Найти условие,  при котором котангенсы углов α и β pавны между собой.

5.Доказать тождества:

а)  tg (^π/₄ + ^α/₂)  — tg (^π/₄ — ^α/₂) = 2 tg α.

б)