|
Гармоническое колебание в электротехнике.
Электрический ток, которым питаются городские осветительные сети, является переменным током. Его величина I постоянно изменяется, совершая гармоническое колебание
I = I0 sin (2π/T • t + φ) (1)
где I0 — максимальное значение тока, Т — период колебания, φ — начальная фаза.
Выясним, в какие моменты времени ток достигает экстремальной (то есть минимальной или максимальной) величины и когда его величина обращается в нуль.
Как это следует из формулы (1), своей минимальной величины сила тока достигает при условии, что sin (2π/T • t + φ) = — 1
Это уравнение дает: 2π/T • t + φ = 3π/2 + 2nπ, откуда
t = T ( n + 3 /4 — φ/2π ) (2)
Если 3 /4 > φ/2π, или φ < 3π/2, то первый момент минимума можно получить из формулы (2) при n = 0:
t1 = T ( 3 /4 — φ/2π )
Если же 3 /4 < φ/2π, или φ > 3π/2, то первый момент минимума получается из (2) при n = 1:
t1 = T ( 7 /4 — φ/2π )
Каждый последующий момент минимума наступает через Т секунд после предыдущего момента минимума (докажите это!).
Своей максимальной величины ток I достигает при условии, что sin (2π/T • t + φ)=1. Это уравнение дает: 2π/T • t + φ = π/2 + 2nπ, откуда
t = T ( n + 1 /4 — φ/2π ) (3)
Если 1 /4 > φ/2π, или φ < π/2, то первый момент максимума можно получить из формулы (3) при n = 0:
t1 = T ( 1 /4 — φ/2π )
Если же 1 /4 < φ/2π, или φ > π/2, то первый момент максимума получается из (3) при n = 1:
t1 = T ( 5 /4 — φ/2π )
Каждый последующий момент максимума наступает через T секунд после предыдущего момента максимума (докажите это!).
Теперь выясним, в какие моменты времени величина тока I обращается в нуль. Для этого нужно решить уравнение sin (2π/T • t + φ) = 0
которое дает 2π/T • t + φ = nπ откуда
t = T/2 ( n — φ/π ) (4)
Так, впервые величина тока станет нулевой в момент времени
t = T/2 ( 1 — φ/π ) если φ < π,
и в момент времени
t = T/2 ( 2 — φ/π ) если φ > π.
Каждый последующий такой момент наступает через T/2 секунд после предыдущего (докажите это!).
Упражнения
1. Знаете ли вы, какова частота колебания тока в ваших осветительных сетях?
2. В какие моменты времени величина у, изменяющаяся по закону
y = sin ( πt/2 + 2π/3) принимает экстремальные (то есть минимальные или максимальные) значения и когда она обращается в нуль?
3. То же, что и в задаче 2, для законов колебаний:
а) у =2 sin [3t + π/5 ], б) у = 7 sin [2t + 5π/6 ]
|