3ГОНОМЕТРИЯ     В НАЧАЛО

 

Преобразование выражения   a sin х + b cos х   путем введения вспомогательного угла

Лемма. Если сумма квадратов двух действительных чисел равна единице, то одно из этих чисел можно рассматривать как косинус, а другое как синус некоторого угла.

Другими словами, если а2 + b2 = 1, то существует угол φ, такой, что

а = cos φ;  b = sin φ.

Прежде чем доказывать эту лемму, поясним ее на следующем примере:

( \/3/2 )2 + ( 1/2 )2 = 3/4 + 1/4 = 1

Поэтому существует угол φ,  такой,  что   \/3/2 = cos φ;   1/2 = sin φ.

В качестве φ в данном случае можно  выбрать любой   из  углов 30°, 30° ± 360°, 30° ± 2 • 360° и т. д.

Доказательство леммы.

Рассмотрим вектор 0А с координатами (а, b). Поскольку а2 + b2 = 1, длина этого вектора равна 1. Но в таком случае его координаты должны быть равны cos φ и sin φ, где φ — угол, который образует данный вектор с осью абсцисс.

Итак, а = cos φ; b =sin φ, что и требовалось доказать.

Доказанная лемма позволяет преобразовать выражение  a sin х + b cos х к более удобному для изучения виду.

Прежде всего вынесем за скобки выражение \/ а2 + b2

Поскольку

первое из чисел    и     можно   рассматривать   как   косинус   некоторого   угла   φ , а второе как синус того же угла φ:

Но в таком случае

a sin х + b cos х = \/ а2 + b2 ( cos φ sin х + sin φ cos х) = \/ а2 + b2 sin ( x + φ )

Итак,

a sin х + b cos х  = \/ а2 + b2 sin ( x + φ ) , где угол φ определяется из условий

Примеры.

1) sin x + cos x = \/2 ( 1/\/2  sin x + 1/\/2   cos x) =  \/2 (cos π/4 sin x + sin π/4 cos x ) =
= \/2 (sin x + π/4)

Полученную формулу  sin x + cos x = \/2 (sin x + π/4) полезно запомнить.

2) Если одно из чисел а и b положительно, а другое отрицательно, то выражение
a sin х + b cos х  удобнее преобразовывать не к синусу суммы, а к синусу разности двух углов. Так,

где под φ можно подразумевать любой угол,  удовлетворяющий условиям:

cos φ = 3/5  ,  sin φ = 4/5

В частности, можно положить φ = arctg 4/3 .   Тогда   получим:

3 sin х — 4 cos x = 5 sin (x — arctg 4/3).

Упражнения

1.Преобразовать данные выражения путем введения вспомогательного угла:

a). sin х + \/3 cos х.            e).  5 sin x — 12 cos x.

b). sin х — cos x.              f). — 7 sin 2x — 24 cos 2x.

c).  3 sin x + 4 cos x.          g). 3sin 3x  — 2 \/2 cos 3x.

d).  4 sin x — 3 cos x.        h). sin 5x  + cos 5x.

2.   Какое наибольшее  и какое наименьшее значение может принимать каждое из данных выражений:

а)  3 sin х + 4 cos х;                       г) 5 — 7 sin x — 24 cos x

б)  | 3sin x — 4cos x |;                     д) \/ sin x — cos x,

в)  — 5 sin x + 12 cos x;                 e)  

3.  Доказать, что уравнение

\/99 sin х — 49 cos x = 51 не имеет корней.

4.Построить графики данных функций :

a).  у = sin x + \/3 cos x.       b). у = sin 2х — cos 2x.

 

 

Используются технологии uCoz