Сложение гармонических колебаний одинаковой частоты

На практике (например, в электротехнике) часто приходится иметь дело с колебаниями одинаковой частоты. Любые два таких колебания можно представить в виде:

y₁ = A₁ sin (ωt + φ₁) ;   y₂ = A₂ sin (ωt + φ₂) .

Особый интерес представляет случай, когда начальная фаза первого колебания равна 0,   а   начальная  фаза   второго   колебания равна ^π/₂.   
Тогда   y₁ = A₁ sin ωt ;   y₂ = A₂ sin (ωt + ^π/₂)  . Сумма таких гармонических колебаний равна:

A₁ sin ωt   + A₂ cos ωt  = \/A₁² + A₂² • sin (ωt + φ).             (1)

где угол φ определяется из условий

            (2)

Формула (1) показывает, что если два гармонических колебания имеют   одинаковую частоту и фазы 0 и ^π/₂, то их сумма есть  гармоническое колебание той же частоты.

Амплитуда А суммарного колебания выражается через амплитуды A₁и A₂ слагаемых колебаний по формуле

A = \/A₁² + A₂²,

а начальная фаза φ определяется из условий (2).

Пример.

Найти амплитуду, частоту и начальную фазу колебания у = sin 5t — \/3 cos 5t.

Имеем: sin 5t — \/3 cos 5t = \/1 + 3 • sin (5t + φ) = 2sin (5t + φ), причем sin φ = — ^\/3/₂ ; cos φ =  ¹/₂.    Поэтому φ =  ^5π/₃ и,   следовательно,

sin 5t — \/3 cos 5t = 2 sin (5t + ^5π/₃)

Амплитуда  данного   колебания   равна   2,  частота ⁵/_2π , а начальная фаза ^5π/₃

Наглядный пример поведения функции у = sin x + sin (x + a) при изменении а от 0 до 6,28 ( построение в программе Maple)

Упражнения .

1.Для каждого из данных гармонических колебаний найти амплитуду, частоту и начальную фазу. Построить графики этих колебаний.

a).  у = sin 2t — cos 2t.               c). у = 4 sin πt + 3 cos πt.

b).  у = \/3 sin 3t + cos 3t.        d). у = 7 sin t— 24 cos t.

2.  Докажите,  что   сумма   двух   произвольных   гармонических   колебаний   одинаковой   частоты  есть   гармоническое   колебание той же частоты.  Как определяются амплитуда, частота и начальная   фаза   суммарного   колебания   через   соответствующие характеристики слагаемых колебаний?

3.   В мастерской установлены два двигателя. При включении одного из   них   каждая   точка   пола   приходит   в   гармоническое колебание с амплитудой 0,1 мм и частотой  1400  1/мин. При включении другого каждая точка пола начинает совершать гармонические   колебания   с   той   же   амплитудой   и   частотой 1450 l/мин.   Как  будет  колебаться   пол   при  включении   обоих электродвигателей?