Доказательство тригонометрических тождеств .

Существует много различных способов доказательства тригонометрических тождеств. На конкретных примерах мы рассмотрим некоторые из этих способов.

Пример   1.  Доказать тождество

         (1)

1-й способ. Выражение, стоящее в левой части этого тождества, преобразуем так,  чтобы оно привелось к виду tg (α +^π/₄) Для этого  запишем  cos α  как  sin (^π/₂ + α). Тогда, используя  формулы для суммы и разности синусов двух углов, получим:

cos α + sin α = sin (^π/₂ + α) + sin α = 2 sin (α +^π/₄)• cos ^π/₄ = \/2 sin (α +^π/₄)

cos α — sin α = sin (^π/₂ + α) — sin α = 2 sin ^π/₄• cos (α +^π/₄)  = \/2 cos (α +^π/₄)

Поэтому

2-й способ. Выражение tg (α +^π/₄),   стоящее  в   правой   части данного   тождества, преобразуем   к   виду    для  этого воспользуемся формулой для тангенса суммы двух углов:

Однако   здесь   необходимо  сделать   одно   принципиально   важное замечание.  Когда  мы   писали,   что

, то фактически  мы предполагали,  что выражение  tg α определено, то есть α =/= ^π/₂ + nπ. На самом же деле это предположение может оказаться неверным. Поэтому случай, когда α = ^π/₂ + nπ, нужно рассмотреть отдельно. В этом случае cos α = 0, и поэтому левая часть данного тождества принимает вид:

Правая же часть данного тождества при α = ^π/₂ + nπ  обращается в

tg (α +^π/₄) = tg (^3π/₄ + nπ).   Но π   есть   период  тангенса;   следовательно,

tg (α +^π/₄)  = tg ^3π/₄ = — l.

Таким образом,  и при α = ^π/₂ + nπ   равенство   (1) справедливо.

Теперь можно считать, что данное тождество полностью доказано.

3-й способ. Выражения, стоящие в левой и правой частях данного тождества, преобразуем к одному и тому  же виду.  Для этого   числитель  и   знаменатель   дроби  

  разделим   на cos α, предполагая сначала, что cos α =/= 0. В результате получим:

        (1)

Правую часть данного тождества преобразуем, используя формулу для тангенса суммы двух углов:

          (2)

Сравнивая (2) и (3), получаем:

Случай, когда cos α = 0, нужно рассмотреть отдельно, так же как мы это сделали при рассмотрении способа 2.

Пример  2.  Доказать тождество

cos 3α • sin 5α — sin 2α  =  sin 3α • cos 5α.

Покажем, что разность между выражениями, стоящими в левой и правой частях данного тождества, равна 0. Действительно,  

    cos 3α • sin 5α — sin 2α  —  sin 3α • cos 5α =

= (cos 3α • sin 5α — sin 3α • cos 5α) — sin 2α =  

= sin (5α — 3α) — sin 2α = sin 2α — sin 2α = 0.

Тем самым тождество доказано.

Упражнения

Доказать данные тождества: