Равенства, содержащие выражения arcsin a, arccos a и т. д.

Пусть нужно доказать равенство

arctg 2 + arctg 3 = ^3π/₄.

Прежде всего   выясним,   в   каких   пределах   заключен   угол arctg 2 + arctg 3. Каждый из углов arctg 2 и arctg 3 больше 0 и меньше ^π/₂. Поэтому 0 < arctg 2 + arctg 3 < π. Аналогичному неравенству удовлетворяет и угол ^3π/₄:

0 < ^3π/₄ < π

Таким образом, углы arctg 2 + arctg 3  и ^3π/₄ находятся в интервале от 0 до π. Но в таком случае для доказательства их равенства достаточно  показать,   что  равны   их   тангенсы.   Имеем:

Тем самым данное равенство доказано.

Заметим,  что  нахождение тех  пределов,  в которых  заключена сумма
arctg 2 + arctg 3, является обязательным.

Нельзя делать вывод,   что arctg 2 + arctg 3 = ^3π/₄, на основании только того, что
tg (arctg 2 + arctg 3) == tg ^3π/₄. Из равенства тангенсов двух углов еще не cледует, что равны сами эти углы. Однако если углы заключены в пределах от 0 до π, то равенство их тангенсов обеспечивает равенство и самих углов.

Упражнения

Доказать данные равенства:

1. arctg ³/₄ + arctg ¹/₇ = ^π/₄

2.

3. arcsin 0,6 + arcsin 0,8 = ^π/₂.

4. arccos ⁵/₁₃ — arccos ¹²/₁₃ = arccos ¹²⁰/₁₆₉

5. arcsin 0,8 + arccos ⁴/₅  =  ^π/₂

6. arcsin 0,8 — arccos 0,6 = 0.