Глава I. Векторы на плоскости и в пространстве

§ 12. Декартова  система  координат.

Пусть в пространстве заданы две различные произвольные точки О и М, и пусть одна из них, например точка О, выбрана в качестве начальной. Тогда вектор OM^> называется радиус-вектором точки М относительно точки О (рис. 32).

Пусть в пространстве задана точка О и некоторый базис e₁,  e₂ , e₃ . Совокупность этого базиса и точки О называется декартовой системой координат О, e₁,  e₂ , e₃. Точка О называется началом координат.

Если через точку О провести прямые в направлениях, заданных базисными векторами e₁,  e₂ и e₃, то полученные прямые называются осями координат (рис. 33);

прямая Ох — осью абсцисс,     
прямая Оу — осью ординат, а
прямая Oz — осью аппликат.   

Координаты радиус-вектора точки М называются координатами этой точки в данной системе координат ( х — абсцисса,  у — ордината, z  — аппликата).

Аналогично определяется и декартова система координат О, e₁,  e₂ на плоскости (это произвольная фиксированная точка О и некоторый базис e₁,  e₂ на плоскости) (рис. 34).

Координаты точки М записывают обычно рядом с буквой, ее обозначающей: М(х;у) на плоскости и М(х; у; z) в пространстве.

Очевидно, что декартова система координат в пространстве позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и упорядоченными тройками чисел, а на плоскости — взаимно однозначное соответствие между точками плоскости и упорядоченными парами чисел.

Например, точке А (рис. 35) соответствует упорядоченная пара чисел (2; 3); точке A₁ (рис. 36) —упорядоченная тройка чисел  (2; —2; ¹/₂).

Упорядоченной паре чисел (—1; —2) соответствует единственная точка B плоскости (рис. 35), а упорядоченной тройке чисел (1;1;1) — единственная точка В₁ пространства (рис. 36).

Пусть в системе координат О, e₁,  e₂ , e₃ задан некоторый вектор  AB^> (рис. 37).

Тогда

AB^> = OB^> — OA^>.

Пусть координаты точек А и В соответственно равны  (x₁; y₁; z₁)  и (x₂; y₂; z₂) . Тогда по свойству вычитания векторов, заданных своими координатами,

AB^> = (x₂ — x₁;    y₂ — y₁;   z₂ — z₁).

Итак, чтобы найти координаты некоторого вектора, достаточно из координат его конца вычесть одноименные координаты его начала.

Примечание

Если векторы e₁,  e₂ и e₃, составляющие базис, — попарно перпендикулярные единичные векторы, то система координат О,  e₁,  e₂ , e₃ называется прямоугольной декартовой системой координат в пространстве.

Аналогично, если единичные базисные векторы e₁ и e₂ взаимно перпендикулярны, то система координат О, e₁,  e₂  называется прямоугольной декартовой системой координат на плоскости.

Единичные базисные векторы прямоугольной декартовой системы координат обозначают обычно буквами i ,  j и k.

Разложение   вектора   а = OM^> (рис. 38) пространства по векторам i ,  j , k записывают в виде

а = xi + yj + zk.

В этом случае говорят, что вектор а разложен по единичным векторам (ортам) в прямоугольном декартовом базисе пространства.

Разложение вектора а (рис. 39) по векторам i и j  в прямоугольном декартовом базисе плоскости записывают. в виде

a = xi + yj

В §§ 10 и 8 было доказано, что такое разложение вектора всегда возможно и единственно.

Задача 2. Найти    разложения   векторов OM ₁^> и M ₁N^> в изображенном на рис. 40 декартовом прямоугольном базисе (точка M₁ — проекция точки М на плоскость хОу).

Так как точка M₁ есть проекция точки М на плоскость хОу, то M₁(3;4; 0). Поэтому

OM ₁^> = 3i + 4j  + 0 • k.

Найдем теперь координаты вектора M ₁N^> в данном базисе: M ₁N^> = (— 4 — 3; — 3,5 — 4; 2 — 0), т. е. M ₁N^> = (—7; —7,5; 2). Следовательно, M ₁N^> = — 7i —7,5j + k.